福建省南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1． 答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某物体做直线运动，其位移关于时间的函数是，则该运 动物体在时的瞬时速度为 A．50 B．60 C．35 D．40 2．甲班1人、乙班2人、丙班3人站成一排拍照，要求同班的同学相邻， 则不同的排法总数为 A．36 B．30 C．72 D．60 3．一批零件共有10件，其中有2件不合格，随机抽取3件零件进行检 测，则至少取到1件不合格的概率为 A． B． C． D． 4．若随机变量，且，则 A． B． 　 C． D． 5．已知函数，若曲线在点处的切 线方程，则 A． B． C．　 D． 6．将4人分配到2个学校实习，每人分配到1个学校，每个学校至少 1人，则不同的分配方案的种数为 A．12 B．14 C．20 D．24 7．抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(六个面上的数字分别为 1，2，3，4， 5，6)，如果抛掷后两枚骰子向上一面的点数不相同，则继续抛掷，直 至两枚骰子向上一面的点数相同时停止．那么抛掷3次后停止的概率为 A． B． C．　 D． 8．如图，用,,,四个不同元件连接成一个系统，当和正常工 作且和至少有一个正常工作时系统正常．已知,,,正常工作的概率分别为,,,，则在系统正常工作条件下，,同时正常工作的概率为 （第8题图） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题正确的是 　 A．经验回归直线必过样本数据的中心点 　B．当样本相关系数时，两个变量负相关 　C．甲、乙两个回归模型的决定指数分别为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好 　D．残差的散点图所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 10．如图，在平面直角坐标系中，设，从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示他们之间的距离，则以下结论正确的是 A． B． C．（第10题图） D． 11．甲、乙两人进行比赛，每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为．现比赛 局，若约定甲获胜的局数多于乙，则甲赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为，则　 　 A． B． C． D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两人同时抢答一道问题，他们抢到答题机会是等可能的．已知甲正确回答的概率为，乙正确回答的概率是，则这道问题被正确回答的概率是． 13．已知，则； 　　被4除的余数为． 14．定义在上的可导函数，满足，且，若关于的方程 有且只有1个实数根，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 4名大学生参加实习活动．（以下小题结果用数字作答） （1）有4项不同的工作，每人安排其中一项工作，有多少种不同安排方法？ （2）有4项不同的工作，每人安排其中一项工作，每项工作只安排一人，有多少种不同安排方法？ （3）将4人安排到国庆七天假期值班，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，有多少种不同的安排方法？ 16．（15分） 已知函数在处取得极值4． （1）求的值； （2）求函数在的最大值和最小值． 17．（15分） 用甲、乙两款AI模型进行智能作图，甲、乙每次智能作图达到优质效果的概率分别为，．现用甲、乙模型各自独立地智能作图3次，每次作图前后之间互不影响．记甲、乙作图达到优质效果的次数分别为X，Y． （1）求随机变量X的分布列、数学期望和方差； 　　（2）求事件“”的概率． 18．（17分） 新能源汽车是我国重要的战略新兴产业．某研究机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的经验回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． （1）该机构调查该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表1所示，依据小概率值的独立性检验，能否认为购买新能源汽车与车主性别有关联? 性别 购买新能源汽车 购买非新能源汽车 总计 男性 10 35 45 女性 20 25 45 总计 30 60 90 表1 （2）若，求与的样本相关系数，并据此判断新能源汽车销量与年份的相关性强弱． 参考公式： （i）经验回归方程：，其中 ； （ii）样本相关系数：， 若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 附表： 19．（17分） 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若，当，求证：，； （3）若，设，若，，求实数的取值范围． 高二数学试题第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证 号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的准考证号、姓 名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某物体做直线运动，其位移S关于时间t的函数是s=101+5,则该运 动物体在1=5时的瞬时速度为 A.50 B.60 C.35 D.40 2.甲班1人、乙班2人、丙班3人站成一排拍照，要求同班的同学相邻， 则不同的排法总数为 A.36 B.30 C.72 D.60 3.一批零件共有10件，其中有2件不合格，随机抽取3件零件进行检 测，则至少取到1件不合格的概率为 A B.5 C. 2 D. 高二数学试题第1页（共6页） 4.若随机变量X~N(3,σ2)，且P(X>6)=0.15,则P(0<X<3)= A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.15 5.已知函数f(x)=x2-asin2x+b,若曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切 线方程2x-y+2=0,则a+b= A.1 B.2 C.3 D.4 6.将4人分配到2个学校实习，每人分配到1个学校，每个学校至少 1人，则不同的分配方案的种数为 A.12 B.14 C.20 D.24 7.抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的数字分别为1,2,3,4， 5,6),如果抛掷后两枚骰子向上一面的点数不相同，则继续抛掷，直 至两枚骰子向上一面的点数相同时停止.那么抛掷3次后停止的概率 为 1 1 A. 25 B. C.216 D. 36 36 216 8.如图，用A,A,4,A四个不同元件连接成一个系统，当A和A正常工 作且4和A至少有一个正常工作时系统正常.已知A,4,4,A正常 1221 工作的概率分别为2,3,3,2 ’则在系统正常工作条件下，A,A同时 正常工作的概率为 (第8题图) A C. D. 2-9 高二数学试题第2页（共6页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题 给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是 A.经验回归直线必过样本数据的中心点(，) B.当样本相关系数r>0时，两个变量负相关 C.甲、乙两个回归模型的决定指数R2分别为0.88和0.80，则模型甲 的拟合效果更好 D.残差的散点图所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确 度越高 10.如图，在平面直角坐标系xO中，设A={(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1), (2,1),(0,2)(1,2)(2,2)},从集合A中任取两个不同的点，用随机变量 X表示他们之间的距离，则以下结论正确的是 41 A.PX=)=3 B.PX=2)=} C.P2≤X3)= (第10题图) D.E(X0=2N2 山.甲、乙两人进行比赛，每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为)·现 比赛2(n∈N)局，若约定甲获胜的局数多于乙，则甲赢得比赛.记 甲赢得比赛的概率为P(n),则 A.P(2)=5 2 B.P3) 32 C.Pm)=22 D.P(m)的最小值为月 高二数学试题第3页（共6页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙两人同时抢答一道问题，他们抢到答题机会是等可能的.己知 甲正确回答的概率为，乙正确回答的概率是；，则这道问题被正确 回答的概率是▲ 13.已知(2x+1）2025=a,+ax+a2x2++402sx2025，则a=▲： 2a+22a,++2别2522s被4除的余数为▲。 14.定义在0，+o)上的可导函数fo),满足f)+)=,且 f1)=0,若关于x的方程引f(x)川-c=0有且只有1个实数根，则实 数k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 15.(13分) 4名大学生参加实习活动.（以下小题结果用数字作答） (1)有4项不同的工作，每人安排其中一项工作，有多少种不同安排 方法？ (2)有4项不同的工作，每人安排其中一项工作，每项工作只安排一 人，有多少种不同安排方法？ (3)将4人安排到国庆七天假期值班，每天一人，甲两天，乙三天， 丙和丁各一天，有多少种不同的安排方法？ 16.(15分) 已知函数f(x)=x3+mr2+(m,neR)在x=1处取得极值4. (1)求m,n的值： (2)求函数f(x)在[0,4的最大值和最小值. 高二数学试题第4页（共6页） 17.(15分) 用甲、乙两款A【模型进行智能作图，甲、乙每次智能作图达到优质 效果的概率分别为号，方，现用甲、乙模型各自独立抢智能作图3次，每 次作图前后之间互不影响.记甲、乙作图达到优质效果的次数分别为X, Y. (1)求随机变量X的分布列、数学期望和方差： (2)求事件“X+Y=3”的概率. 18.(17分) 新能源汽车是我国重要的战略新兴产业，某研究机构根据统计数据， 用最小二乘法得到电动汽车销量”（单位：万台）关于x(年份)的经验 回归方程为少=r+a,且销量y的方差为s2=50,年份x的方差为s2=2. (1)该机构调查该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到 的数据如表1所示，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否 认为购买新能源汽车与车主性别有关联？ 性别 购买新能源汽车 购买非新能源汽车 总计 男性 10 35 45 女性 20 25 45 总计 30 60 90 表1 (2)若6=4.8，求y与x的样本相关系数r,并据此判断新能源汽车 销量y与年份x的相关性强弱： 高二数学试题第5页（共6页） 参考公式： (i)经验回归方程：)=br+a,其中 ∑：-y-) 6、 a=-b标： 26-列 2(x-(y-) (i)样本相关系数：r 2-2g-列 若>0.9，则可判断y与x线性相关性很强： n(ad-be)2 (i)父=a+bc+da+o)b+d西' 其中n=a+b+c+d, 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19.(17分) 已知函数f(x)=x(ae--1)+bnx+2. (1)若a=0,b=1,求函数f(x)的极值： (2)若b=-1,当a≥1，求证：xe(0,+o),f(x)≥2： （8)若-l,设g=,若%e0+国3e0, f(x)≥g(:),求实数a的取值范围. 高二数学试题第6页（共6页）南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.B2.C3.A4.C5.A6.B7.D8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分。 9.AC 10.ABC 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.1:0(第一空2分，第二空3分) 14.=0或k> 2e 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 【答案】(1)256；(2)24：(3)420. 【解析】 (1)每人各有4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为4=256： 4分 (2)依愿意得A=4×3×2×1=24;… …8分 (3)甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有CCC=420种， .13分 16.(15分) 【答案】(1)m=-6,n=9；(2)f(x)ms=4,f(x)mn=0. 【解析】 （1)f(x)=x3+2+1m,则f"(x)=3x2+2m+n,2分 高二数学试题第1页（共6页） 因为函数(x)在x=1处取得极值4， f(1)=1+m+n=4 所以 f(1)=3+2m+n=0' 4分 =-6 解得 n=9 .6分 经检验，m=-6,n=9符合题意. .7分 (2)由(1)可得f(x)=x3-6x2+9x,f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3) 令f(x)>0,解得x>3或x<1: 9分 令f(x)<0,解得1<x<3: .11分 所以f(x)在(-o,1),(3,+∞)上单调递增，在(L,3)上单调递减， 又f0)=0,f)=4,f(3)=0f4)=4, 13分 故f(x）x=f0)=f（4)=4,f(x)n=f(0)=f(3)=0..15分 17.(15分) 【答案1①分布列见解折，(x)=2,D)号：2)P(X+Y=3)-24 【解析】 4)由题可知随机变量X服从二项分有：X~A3,到引 2分 Px-0=cpx==c号周-号 P(x-2)-c (-3-G 6分 所以随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 2-9 4 27 9 27 均值为B(X)=3x号=2，DX)=3x2×= 3 33 9分 3 (2)由题可知“X+Y=3”的情况可分为四类： 高二数学试题第2页（共6页） @X=oY=3时.R=日6 10分 ②X=1Y=2时， A-GG- 11分 ®x=2=1时月=c周c君 12分 ©x=3=0时，-) 13分 所以P(X+Y=3)=R+B+B+B=21624 63 15分 18.(17分) 【答案】(1)认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05:(2)新能源汽车销量与年份x的相关性较强. 【解析】 (1)零假设为H。:购买新能源汽车与车主性别相互独立， 即购买新能源汽车与车主性别无关。 2分 n(ad-be) I-(@+b)(c+d)(a+c)o+d) 90×(25×10-35×20=5>3.841,6分 45×45×60×30 所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H不成立，7 分 即认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 8分 ∑s--列 (2)相关系数为= ∑4-) 6.厘-5，医48x5_48.096>09. √50 5 .16分 故y与x线性相关较强. 17分 19.(17分) 高二数学试题第3页（共6页） 【答案】(1)极大值为1，无极小值：(2)证明见解析： (3) 【解析】 (1)若a=0,b=1,f)=-x+lnx+2,f=1-x 】分 当xe(0,)时，f"x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增： 当x∈L+)时，f(x)<0,f()在L,+n)上单调递减 所以f(x)无极小值，且当x=1时，f(x)取得极大值f0四)=1,3分 (2)解法1：若b=-1,a21, f)=ae1-x-nx+2=ae+-1-(c+nx-)+1≥eh-(x+hx-)+1, 5分 令t=x+nx-1,要证f(x)≥2，只要证e-t-1≥0，……….6分 设h(0=e-t-1, h)=e-L,当te(-o,0)时，()<0，h()在(-m,0)单调递减： 当t∈(0，+∞)时，()>0，h()在(0，+∞)单调递增， 8分 所以h)之h(0)=0,命题得证.…9分 (2)解法2：由题可知，对任意xe(0,+m),f(x)≥2恒成立. 等价于e1-x-hx+2≥2在(0，+o)恒成立. 所以gxe-(K+mx-1）-1≥0， 即xe-hxC-1≥0在(0，+m)恒成立. e …5分 设t=xex>0,则t>0, e 所以原不等式等价于t-血t-1之0(t>0)恒成立. 设p)=at-nt-1(c0),则p()20(c0)恒成立。 由o0=at-ht-1(>0),得p0=a-c0). …6分 当a>0时，令p0=0,得t=1 当t>上时，p0>0,p0单调递增： a 高二数学试题第4页（共6页） 当0<t<时，p0<0,p0单调递减。 a 所以p0在t=上时，取到极小值，也是最小值，且最小值为白=ha. a 8分 因为a≥1，所以g0≥h1a20,即对任意x∈(0，+w),f(x)≥2恒成立 9分 (3)解法1：设F(x)=simx+cosx-1-x+x2,则F"(x)=cosx-sinx-1+2x, 设R(x)=c0sx-sinx-1+2x,则R(x)=-sinX-c0sx+2>0,11分 所以R(x)在区间[0，)上单调递增，因为R(O)=0,所以R(x)之R(O)=0, …12分 所以F(x)在[0，)上单调递增， 所以F(x)≥F(0)=0,即inx+cosx≥1+x-x2,又xe[0,)时，1+x-x2=1+x0-x)>1 所以g(x)= mx+cosx之1在xe[0,上恒成立. 1+x-x2 13分 由f=x(ae-)+bnx+2得，fx)=2xe-hxC+l, e e 令t=ex>0,则1>0， e 设h0=at-ht-1(>0),H0=a- 14分 当a≤0时，则)≤1-lnt, 当t>e时，h)<0,不合题意，舍去. 15分 当a>0时，当t>时，M0>0,h0单调递增：当0<1<时，M0<0,h 单调递减。 所以h)的最小值为h =1+ha+1,即f(x)的最小值为2+na, 故要使得若x∈(0，+n),3x2∈[0,1)，都有f(x)≥8(x),只需2+na≥1 解得a≥1， 所以实数a范围为 17分 (3)解法2：由g)=smr+cosx 则有 1+x-x2 高二数学试题第5页（共6页） g)co-sn)-(sinx+cos))sinx+(3x)cosx Q+x-x2)月 0+x-x)7 10分 M(x)=(x+x-2)sinx+(3x-x)cosx, M'(x)=(1+2x)sinx+(x+x2-2)cosx+(3-2x)cosx-(3x-x2)sinx =+)(sin+cos), 11分 因为x∈[0,1)所以M'(x)>0,M(x)在xe[0,1)上为增函数， 所以M(x)>M(0=0,即g'()>0,所以g(x)在x∈[0,1)上为增函数，则 g(x)2gQ)=1,即gx)≥g1)=1,所以x∈(0，+)，f(s)21,则有 瓜51--h+1≥0恒成立，13分 即ae3-a4-名-ln+1≥0，所以a≥5+nx-l e+4-1 14分 令t=x+hx-1(teR), 则1eR,a2行a2白 15分 令)ue风，0=e-1号 e 当t∈(-m,1)时，(C)0,h(t)为减函数， 当t∈L,+o)时，(t)>0,h(t)为增函数， 所以Kt)=h0= 所以实数a范围为 e 17分 高二数学试题第6页（共6页）