2.2 培优课　活用基本不等式求最值 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“活用基本不等式求最值”，通过典型例题导入，涵盖常数代换、消元、换元三种方法，以通性通法总结为支架，衔接基础不等式知识与灵活应用，帮助学生构建解题思路。 其亮点在于例题精研与跟踪训练结合，通过构造定值、消元转化等实例，培养数学思维（推理能力）和数学眼光（抽象能力），通性通法小结提炼方法本质。学生能提升解题技能，教师可直接用于培优教学，提高课堂效率。

培优课　 活用基本不等式求最值 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 常数代换法求最值 【例1】　（1）已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋3 y －5 xy ＝0，则3 x ＋4 y 的 最小值是（　B　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 解析： 由 x ＋3 y －5 xy ＝0，得 ＋ ＝5，所以3 x ＋4 y ＝ （ ＋ ）（3 x ＋4 y ）＝ （13＋ ＋ ）≥ （13＋2 ）＝5，当且仅当 x ＝1， y ＝ 时，取等号.故选B. 目录 数学·必修第一册 （2） a ＞0， b ＞0，且 a ＋2 b ＝1，不等式 ＋ － m ≥0恒成立， 则实数 m 的取值范围为 ⁠. 解析： 因为 a ＋2 b ＝1，所以 ＋ ＝（ ＋ ） （ a ＋ b ＋ b ）＝ ＋ ＋1＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋2 ＝ ＋ ，当且仅当 ＝ ，即 a ＝（ －1） b 时，取等号，因为不等式 ＋ － m ≥0恒成 立，所以 m 小于等于 ＋ 的最小值，所以 m ≤ ＋ . { m ｜ m ≤ ＋ }　 目录 数学·必修第一册 通性通法 常数代换法求最值的思路 　　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为 定值的式子，然后利用基本不等式求最值. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知 a ＞0， b ＞0， ＋ ＝2，则 a ＋ b 的最小值为（　　） 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝2，所以 a ＋ b ＝ （ ＋ ）（ a ＋ b ）＝ （3＋ ＋ ）≥ （3＋2 ）＝ ，当 且仅当 b ＝ a ，即 a ＝ ， b ＝ 时， a ＋ b 有最小值 .故选B. 目录 数学·必修第一册 2. 若 a ， b 是正实数，且 a ＋ b ＝1，则 ＋ 的最小值为 　2 ＋ ⁠. 解析：因为 a ， b 是正实数，且 a ＋ b ＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）·（ a ＋ b ）＝2＋ ＋ ＋1≥2 ＋3＝2 ＋3，当且仅当时等号成立. 2 ＋ 3　 目录 数学·必修第一册 题型二 消元法求最值 【例2】　已知 x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＋2 xy ＝8，求 x ＋2 y 的最小值. 解：由 x ＋2 y ＋2 xy ＝8，可得 y ＝ ， 因为 x ＞0， y ＞0，所以0＜ x ＜8. 所以 x ＋2 y ＝ x ＋ ＝ x ＋ ＝ x ＋ －1＝ x ＋1＋ －2≥2 －2＝4，当且仅当 x ＋1＝ ，即 x ＝2时等号成立. 所以 x ＋2 y 的最小值为4. 目录 数学·必修第一册 通性通法 消元法求最值的思路 　　对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解， 可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入 代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 目录 数学·必修第一册   5＋2 　 解析：由2 a ＋ b ＝ ab －1，得 a ＝ ，因为 a ＞0， b ＞0，所以 a ＝ ＞0， b ＋1＞0，所以 b ＞2，所以 a ＋2 b ＝ ＋2 b ＝ ＋2（ b －2）＋4＝2（ b －2）＋ ＋5≥2 ＋5＝5 ＋2 ，当且仅当2（ b －2）＝ ，即 b ＝2＋ 时等号成立.所以 a ＋2 b 的最小值为5＋2 . 目录 数学·必修第一册 题型三 换元法求最值 【例3】　（1）已知 x ＞1，则 的最大值为 　 　　； 　　 解析： 令 x －1＝ t ，则 x ＝ t ＋1， t ＞0，则 ＝ ＝ ＝ .∵ t ＋ ≥2 ，当且仅当 t ＝ 时，“＝”成立，∴ ≤ ＝ ，∴ 的最大 值为 . 目录 数学·必修第一册 （2）已知 x ， y 为正实数，且 x ＋2 y ＝4，则 ＋ 的最小值 为 ⁠. 解析：设 x ＋2＝ a ，2 y ＋2＝ b ，则 a ＋ b ＝8，原式转化 为 ＋ ＝ a ＋ b ＋ ＋ －8＝ ＋ ＝ （ a ＋ b ）（ ＋ ）＝1＋ （ ＋ ）≥2，当且仅当 a ＝ b ＝4时取等 号，此时 x ＝2， y ＝1.故所求最小值为2. 2　 目录 数学·必修第一册 通性通法 换元法求最值的思路 　　观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元， 将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　若 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝1，则 a ＋2 b 的最小值为 　 ＋ ⁠. ＋ 解析：设则所以 ＋ ＝1，因为 a ＋2 b ＝ ＋2 y －2＝ ，又因为 x ＋3 y ＝（ x ＋3 y ）（ ＋ ）＝1＋ ＋ ＋3≥2 ＋4＝4＋2 ，当且仅当时等号成 立，所以 a ＋2 b ≥ ＝ ＝ ＋ . 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知 a ＞0， b ＞0， ＋ ＝ ，则2 a ＋ b 的最小值为（　　） A. 24 B. 30 C. 45 D. 54 解析： 　由已知，可得6（ ＋ ）＝1，∴2 a ＋ b ＝6（ ＋ ） （2 a ＋ b ）＝6（5＋ ＋ ）≥6×（5＋4）＝54，当且仅当 ＝ ，即 a ＝ b ＝18时，等号成立.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 2. 若正数 x ， y 满足 x2＋ xy －2＝0，则3 x ＋ y 的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　因为 x2＋ xy －2＝0，所以 y ＝ ＝ － x ，所以3 x ＋ y ＝3 x ＋ － x ＝2 x ＋ ≥4，当且仅当 x ＝1时，等号成立.所以3 x ＋ y 的最小值是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 3. 若正数 x ， y 满足 x ＋4 y － xy ＝0，则 的最大值为（　　） C. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　∵正数 x ， y 满足 x ＋4 y － xy ＝0，∴ y ＝ ＞0，解得 x ＞4，∴ ＝ ＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当 x －4＝ ，即 x ＝6时，等号成 立，∴ 的最大值为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 4. 已知正数 x ， y 满足 x ＋2 y ＝2，则 ＋ 的最小值为 　 　. 解析：由于 x ＋2 y ＝2，所以 ＋ ＝ （ x ＋2 y ）·（ ＋ ）＝ （5＋ ＋ ）≥ （5＋2 ）＝ ，当且仅当 ＝ ，即 x ＝ y ＝ 时，等号成立，所以 ＋ 的最小值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $