2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次函数章节的相等与不等关系，核心涵盖用不等式表示实际问题、作差法比较大小及重要不等式。课堂从生活实例（如限速、酸奶质量）导入，回顾初中不等式知识，通过任务驱动搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以情境创设和任务驱动为主线，通过生活问题抽象不等关系培养数学眼光，作差法推导与重要不等式证明发展数学思维，用不等式组表达实际问题强化数学语言。实例丰富如杂志定价、矩形菜园问题，小结系统梳理知识与思想，助力学生构建体系，方便教师教学。

2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 相等关系与不等关系 第二章 一元二次函数、方程与不等式 1 学习目标 1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 2.能用作差法判断实数或代数式的大小 2 创设情境 思考1：你能举出生活中的不等关系的例子吗? 总结：现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 应用本小节不等式的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了，让我们一起探究吧． 3 探究新知 任务1：探究不等关系的表示． 提问1：回顾初中知识，什么是不等式？怎么用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系？ （1）某路段限速40km/h； 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限v的大小不能超过40，于是0＜v≤40; （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； 4 探究新知 （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a-b<c; 如图，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE. （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 任务1：探究不等关系的表示． 提问1：回顾初中知识，什么是不等式？怎么用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系？ 5 总结概括 探究：用不等式表示实际问题中不等关系的方法。 总结：（1）从实际问题中抽象出不等关系； （2）用字母表示不等关系中的相关量； （3）用不等号连接这些字母； （4）建立不等式. 数学抽象的过程 以此研究相应的问题 6 探究新知 解：设提价后每本杂志的定价为x元， 提问2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 则销售总收入为 万元． ≥20 ① 用不等式的性质求出不等式①的解集， 就能知道满足条件的杂志的定价范围． 任务1：探究不等关系的表示． 7 探究新知 思考：如何解这个不等式？ 分析：解方程的主要依据是什么？类比解方程，你能找到解不等式的主要依据吗？ 总结：解方程的依据类比到解不等式的依据，从等式性质类比到不等式性质，最终比较两个式子的大小关系. 8 探究新知 任务2：探究数（式）大小比较. 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系： 思考：不等式是对大小关系的刻画，那么比较两个实数大小关系的依据是什么？ 如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A,B．那么，当点A在点B的左边时，a＜b； 当点A在点B的右边时，a＞b． 9 探究新知 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；反过来也成立. 这个基本事实可以表示为： 归纳总结 10 例题讲解 =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) 解：(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) 例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 =2＞0， 所以 (x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4). 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系. 11 方法归纳 比较两个实数(或代数式)大小的步骤： (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)； (4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； 12 例题讲解 例2 已知a>0,b>0，求证：a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明： 因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b ＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2， 因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b． 注意点： （1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. （2）对于两个正值，可采用作商法比较，比较商与1的大小. （3）对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. 13 1.如图，在一块长为22m,宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分別与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm,根据题意可列出的不等式为（ ） A.(22-x)(17-x)≤300 B.(22-x)(17-x)≥300 C.(22-x)(17-x)>300 D.(22-x)(17-x)<300 练一练 B 22m 17m x 14 练一练 2.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小. 解:(x-3)2-(x-2)(x-4) =x2-6x+9-x2+6x-8 =1＞0 所以(x-3)2＞(x-2)(x-4) 15 探究新知 任务3：探究重要不等式. 4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2+b2． 探究：右图正方形ABCD为4个全等直角三角形围成的图形，你能找出阴影部分的面积和正方形ABCD有什么关系吗？用不等式表示出来. a2+b2＞2ab 由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 16 探究新知 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH中的小正方形缩为一个点，这时有 a2+b2=2ab 于是就有 a2+b2 ≥ 2ab 探究：右图正方形ABCD为4个全等直角三角形围成的图形，你能找出阴影部分的面积和正方形ABCD有什么关系吗？用不等式表示出来. 任务3：探究重要不等式. 17 事实上，利用完全平方公式，得 因为∀a,b∈R,(a-b)2≥0，当且仅当a=b时,等号成立，所以 a2+b2-2ab ≥0． 因此，由两个实数大小关系的基本事实， 得 a2+b2 ≥ 2ab，当且仅当a=b时,等号成立. 一般地，∀a,b∈R,有 a2+b2 ≥ 2ab 当且仅当a=b时,等号成立. a2+b2-2ab=(a-b)2 探究新知 归纳总结 18 随堂小测 1、判断正误： （1）任意两个实数都能比较大小. ( ) （2）a与b的差是非负实数，可表示为a-b＞0. （ ） （3）实数m不大于-3，用不等式表示为m≥-3. ( ) （4）不等式+≥2中的 可以是任意实数. ( ) × × √ √ 19 随堂小测 2、某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩不低于95分,文化课总分高于380分,体育成绩超过45分,用不等式组表示就是（ ） A. B. C. D. B 20 随堂小测 3、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于110㎡，靠墙的一边长为 m.试用不等式组表示其中的不等关系. 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为 m，而墙长为18m， 所以0＜≤18，这时菜园的另一条边长为=(15-)m. 因此，菜园面积S=(15-).依题意有S≥110，即(15-)≥110， 故该题中不等关系可用不等式组表示为. 21 随堂小测 4、已知≤1，比较3与的大小. 解： 由 ≤1，得≤0，而＞0 ∴≤0 ∴3≤ 22 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 23 加油ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ 24 $