训练32 平面向量的应用与综合交汇问题-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练32 平面向量的应用与综合交汇问题 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分）】 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.已知a是单位向量，向量b满足|a一b=3,则 7.点P是△ABC所在平面内一点，满足|PB |b|的最大值为 ( PCI-|PB+PC-2PA=0,则△ABC不可能是 A.2 B.4 C.3 D.1 () 2.已知△ABC满足1A店1Psin若-B房.C,则 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 △ABC为 ( 8.(2024·辽宁抚顺模拟)如图1，甲同学发现家里的 A.直角三角形 B.等边三角形 地板砖是正方形的形状，地板砖的平面简化图如 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 图2所示，四边形ABCD和四边形EFGH均为正 3.点O,G,P为△ABC所在平面内的点，且有 方形，且E为AB的中点，则下列各选项正确的是 1OA12+1BC12=OB12+|CA12=1OC12+ ( IAB ,GA+GB +GC=0,(PA +PB).AB= (PB+PC).BC=(PC+PA)CA=0,则点O,G, P分别为△ABC的 ( A.垂心、重心、外心 B.垂心、重心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、垂心、重心 图1 4.已知A,B,C是平面上不共线的三点，O是△ABC 的重心，点P满起O亦-号O+合0C+号O,则 A.AG=5A店1 2 △ACO与△CBP面积比为 ( B.(AG+AE)·(AD-AB)=0 A.5:6 B.3:4 C向量C在向量矿上的投影向量为号矿 C.2:3 D.1:2 5.(2024·山西长治模拟)平面上的三个力F1,F2, D.向量AG在向量AC上的投影向量为AC F3作用于一点，且处于平衡状态.若|F1=1N, 9.(2024·广东梅州模拟)在△ABC中，下列说法正 1r,=5,EN,F,与F,的夹角为45，则F 确的是 () 2 A.若AC.BA<0,则△ABC为钝角三角形 与F1夹角的余弦值为 ( B.若AB+AC|=AB-ACI,则△ABC为直角 A. √6+√2 B.6+V2 三角形 4 4 C.若(AB+AC)·(AB-AC)=0,则△ABC为等 C.-6-② 4 D.6-2 腰三角形 4 6.一条河的两岸平行，河宽600m,一艘船从河岸边 D.若OA+OB+OC=0,且1OA|OB|=OC1, 的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度 则△ABC为等边三角形 的大小为4km/h,水流速度的大小为2km/h,当 三、填空题（每小题5分，共15分） 船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留 10.已知O为△ABC所在平面内一点，D是AB的中 两位小数)为 点，动点P满足OP=(1-A)OD+入O元(，∈R), A.0.17h B.0.15h 则点P的轨迹一定过△ABC的 C.0.13h D.0.10h 得分 (横线下方不可作答) 323 第五章 平面向量、复数 11.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，14.(19分)如图，直线1与△ABC F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交 的边AB,AC分别相交于点D, 于M,则cos∠EMF= 得分 E.设AB=c,BC=a,CA= b,∠ADE=0,请用向量方法 证明a·cos(B一0)+b· cos(A+0）=c·cos0. 得分 12.已知点P在△ABC所在的平面内，则下列各结 论正确的有 .(填序号) 得分 ①若P为△ABC的垂心，AB·AC=2,则AP. AB=2: ②若△ABC为边长为2的正三角形，则PA· (PB+PC)的最小值为-1； ③若△ABC为锐角三角形且外心为P,AP= xAB+yAC且x十2y=1,则AB=BC: ④若AP= 1 )A+ 1 \AC I cos C 2AC,则P在BC的垂直平分 线上 四、解答题（共37分） 13.(18分)在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,M是 边AC上靠近A的一个三等分点，问：在线段BM 上是否存在点P,使得PC⊥BM?得分 红对勾·讲与练324☐ 高三数学·基础版 ■b-b2=-3-32=-12, 1a-b12=a2-2a·b+b2=4-2× (-3)+9=19, 所以b在a一b方向上的投影向量的 模为|b|cosb,a-b)=b· b·(a-b)_b·(a-b)| b1·a-b a-b 19 14.解：(1)因为(2a十b)·(2a-b)=3, 所以4a2-b2=3,故4|a12 b12=3,又a=1,所以b=1. （2)证明：因为b.(a一b)=一2' 1 所以0b-6=一分义6=： 1 所以a·b=2, 所以a·(a-2b)=a2-2a·b=1 2×2=0,所以a上(a-2b). (3)因为a-b=√a-b2= √a-b)'=√a-2a·b+b 1,所以a-b=1, b·(a-b) 因为cos9=b·a-b b·(a-b)=2,b=1,a b=1, 1 所以cos9=一2 训练32平面向量的应用 与综合交汇问题 1.B设OA=a,OB=b,因为|a- b=3,即OA-OB=BA=3,即 AB=3,所以，点B在以A为圆心，3 为半径的圆上，又ā是单位向量，则 OA=1,故O市|的最大值为 1OA+AB|=1+3=4,即b|的 最大值为4.故选B. 2.c 'sin-若-Ci=· CA·cosA,则|AB|=2|CA· cosA,由正弦定理可得sinC 2sinB·cosA,则sin[π-(A+B)]= 2sinB·cosA,即sin(A十B)= 2sinB·cosA,即sin(A-B)=0,所 以A=B,△ABC为等腰三角形.故选C 3.A由OA12+1B元12=O12+ CA12,得OA12-OB2=CA12 1BC12,即(OA+OB)·(OA-OB)= (CA+BC)·(CA-BC),则(OA+ OB)BA=BA·(CA+CB),得(OA+ Oi-CA-C).BA=0,所以2O元. BA=0,则OC⊥AB,同理可得OA⊥ BC,OB⊥AC,即O是△ABC三边上 高线的交点，故O为△ABC的垂心；由 GA+GB+GC=0,得GA+GB= GC,设AB的中点为M,则GA+ GB=2GM=-GC,即G,M,C三点 共线，所以G在△ABC的中线CM上， 同理可得G在△ABC的其余两边的中 538红对沟·讲与练·高三数学· 线上，即G是△ABC三边中线的交点， 故G为△ABC的重心：由(PA+PB)· AB=0,得2PM·AB=0,即PM AB,又M是AB的中点，所以P在AB 的垂直平分线上，同理可得，P在BC, AC的垂直平分线上，即P是△ABC 三边垂直平分线的交，点，故P是 △ABC的外心.故选A 4.D如图，由O是 △ABC的重心，得 0A0B+0元=0， 而0市-0i+ 0B+0元=60P-40A,故20p= OA,所以点P为OA中点，即点P、点 O为BC边中线的两个三等分点，所 以Sam=号a=am 2 1 Sa=号Sam,所以△AC0与 △CBP面积比为1：2.故选D. 5.A三个力平衡，.F1十F2十F3= 0,.Fg=F十F2= √F12+2F1·F2+F2下= 1√+2x1x6 2产c0s45+(6-E 2 √2N.设F?与F1的夹角为0，则F2= √TF1F+FP+2F,F,cos0, 即6E 2 √12+(W2)2+2X1X√2cos0,解得 c0s0=- 6十√ .故选A. 4 6.A设一艘船从岸边A 处出发到河的正对岸，船 在静水中的速度大小为 v1=4km/h,水流速 度大小为|2=2km/h, 河宽为dkm,要使航程最短，需使船在 静水中的速度与水流速度的合成速度 y必须垂直于对岸，如图，则v= √个v1-v2下=25(km/h),所以 d0.6 t= 10 ≈0.17(h).故 选A. 7.ADP是△ABC所在平面内一点， 且Pi-P元-P3+P元-2PA=0, .CB-(PB-PA)+PC- PA)1=0,即1C31=AC+AB|, .AB-AC1=AC+AB|,两边平方 并化简得AC.AB=0,.AC⊥AB, ,.∠A=90°，则△ABC一定是直角三 角形，也有可能是等腰直角三角形，故 不可能是钝角三角形、等边三角形，故 选AD. 8.BCD如图，连接 ) BD,取FG的中点 I,取BD的中点O, 则O为AC的中点， 易得F,G分别是 BC,CD的中点，因 基础版 为DG=2AD=2AB,所以AG √AD+DG= 号AB,即店 5A店，故A错误：易得C武=A它，则 AG+AE=AG+G元=AC,因为AD- AB=BD,AC⊥BD,所以(AG+AE)· (AD-AB)=AC.BD=0,故B正确： 过C作CJ⊥AF交AF的延长线于J, 设AB=2,则CF=1,AF=√5，由等 西积法得2×2x1=2×C1×6. 得C=25,剥F刷 5 CPC三5，所以AJ 号AF,所以向量花在向量症方向上 的授影向量为号应，故C正确：易得 FG∥BD,CF=CG,所以AC⊥GF, △BCD∽△FCG,所以CI=2CO= 子AC,则向量A花在向量AC方向上的 投影向量为三A心，故D正确.故 选BCD. 9.BCD对于A,AC.BA<0,即AC. AB>0,即AC·AB|cosA>0,可 得cOsA>0,不能证明△ABC为钝角 三角形，故A错误；对于B,AB十 AC=AB-AC AB:+AC:+ 2AB.AC =AB+AC:-2AB.AC. 得AB·AC=0,故∠A=90°，故B正 确；对于C,若(AB+AC)·(AB- AC)=0,则AB2-AC2=0,故AB1= AC|,故△ABC为等腰三角形，故C正 确；对于D,因为OA+OB+O心=0，所 以1OA+O12=-O元2，即 OA2+0B12+20A0i=0C12, 又1OA|=|OB|=OC,所以 1OA2+2OA|·OB1·cos∠AOB= 1 0,故cos∠AOB=-2,故∠AOB= 120°，同理∠AOC=∠BOC=120°，结 合OA1=Oi=OC,可得AB= AC=BC|,故△ABC为等边三角 形，故D正确.故选BCD. 10.重心 解析：因为动点P满足OP=(1-入)· OD+λOC(A∈R),且1-A+入=1， 所以P,C,D三点共线，又因为D为 AB的中，点，所以CD为△ABC的边 AB上的中线，所以，点P的轨迹一定 过△ABC的重心. √2 11. 10 解析：设AB=a,AD=b,则A京= 痛+萨=店+专成-丽+ A市=a+子b,D范=A忘-A = 3 }访-市-20-0，又1a b=6,a·b=0,所以cos∠EMF= c0D克A)= D元A市 DE·AF (分a-b).(a+号 1 -a 6 -b2 6 √2 3W5X2√10 10 12.①③④ 解析：对于①，若P为△ABC的垂 心，则AB.P元=0，又ABA元=2， 所以A产.AB=AB.(A元-P元) = AB.AC-AB.PC =2-0=2, ①正确；对于②，取CB的中点O,连 接OA,以O为坐标原点，BC,OA所 在直线分别为x轴、y轴，建立平面直 角坐标系，如图， A C 则B(-1,0),C(1,0),A(0,√3)，设 P(m,n),则PA·(P言+P元) (-mW5-n)·(-2m,-2n)= 2m2+2n2-2W8n=2m2+2(n 时 Pi.(pi+p心)=2m2+2(n ) 取得最小值，最小值为 2，②错误：对于③，由题意得 3 A市=xA店+AC=(1-2y)A yAC,则A立-AB=y(-2AB+AC), 即B产=y(BA+BC),如图，设D为 AC的中点，则BA+BC=2BD,故 BP=2yB币，故B,P,D三点共线， 因为P是△ABC的外心，所以BD垂 直平分AC,所以AB=BC,③正确： 对于④，由题意得AP A AB cos B AC (AB+AC),则A市 AC cos C 2 BC AB.BC AC.BC AB cos B AC cos C 子(i-C)成 A方.BC|cos(π-B) AB cos B 花：成C+合，· AC cos C C=-C+成+号A丽+AC)· 武=+)成，所以2证. BC=(AB-+AC)BC,如图，设E是BC 的中点，则AB+AC=2AE,故2A户， BC=2AE.BC,即(APAE)·BC= E户，BC=O,则点P在BC的垂直平 分线上，④正确. 13.解：不存在.如图所示，以B为原点， 建立平面直角坐标系，过点A作 AD⊥BC于点D, 由题可知，A3,4,M(,)，C(6, 0),所以成=（a,号），假设在线段 BM上存在点P(x,y)(0≤x≤4)使 得PC⊥BM,则BP=(x,y),C产= (x-6,y),由BP与BM共线及C产⊥ 4y一 BM得， 3x=0, 4(x-6)+ 3y=0, 54 解得 x1 36 y=13 因为-君>4，所以在线段BN上 不存在点P,使得PC⊥BM. 4.证明：BA=BC+CA,D元.BA DE.(BC+CA),即DE.BA=D克. BC+DE.CA.又：DE.BA=DE· BA cos/EDA =c DE cos 0, DE.BC DE BC cos(B-0)= a DE cos(B -0),DE.CA DE1CA|cos(A+0)=bDE· cos(A +0),..c DE cos 0 aDE|cos(B-8)十b|DE· cos(A十0)，即a·cos(B-8)+b· c0s(A十0)=c·cos0. 训练33复数 ,C|2-4i=√22+(-4)'=25， 故选C. 2.A由x=5+i→g=5-i,x+x= 10,则i(x十之)=10i.故选A. 3.A由在复平面内，复数之对应的点Z 在第二象限，设之=a十bi,Q<0,b> 0,则兰=a十i=么-只i,显然 4i 4i 44 冬>0，-号>0，所以点2(÷ 一号）在第一象限，故选A 4.A因为复数之在复平面内对应的点 的坐标为(1，一1)，所以x=1一i,所以 帝= (1-i)2 (1+0(1-5= 1+丝=年=i 2 √(-1)=1.故选A 5.A依题意，之1=3-i,由=i,得 x2==3-i =-1一3i,所以 之2=-1十3i.故选A. 6.C因为之1=1-21，所以1=1十2i, 所以x11=1”十22=5，又|2+i= √5，所以121≠2十i,A错误；z1在 复平面内对应的点的坐标为(1,2)， B错误；由之十之1=2知，在复平面 内，之对应的点在以一之1对应的点 (一1,2)为圆心，2为半径的圆上，又 之1=√5，因此W5一2≤|之√5十 2,C正确；心1在复平面内对应的点的坐 标为(1，一2)，因此(x十1)十(y一 2)2=4,D错误.故选C. -i 7.ABD之=1-i=1-i 1（1十i)1一11一0 (1-i0(1+i) 2 1 对于A,之= =1十，故正确： 2+2 对于B,之= √)+() 故正确：时于C=号官宾部 2 为 ,虚部为 2,故错误；对于D. 1 之三。一)在复平面内对应的点的坐 标为（分一】，在第四象限，故正 确.故选ABD. 8.ACD对于A,x3-8=(x-2)(z2十 2x十4)，令x2十2x十4=0，其中△= 4-16=-12<0,由于之1,2为虚数， 故1之2为x2十22十4=0的两个根， 则十2x1十4=0，A正确；对于B, x+2十4=0的两根为2±2W5 2 -1士√3i,若x1=-1十5i,x2= -1-51,则x号=(-1十√3i)2=1 2√3i十3i=-2一2√3i≠x2,B错误： 对于C,由根与系数的关系得1之2= 4,C正确；对于D,由B得，x1=一1十 5i或之1=-1-5i,均有|之1= √/1+3=2，D正确.故选ACD. 参考答案539