5.3.3+借助线段图梳理等量关系课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的应用，核心内容为利用方程组解决几何与行程问题，通过关联一元一次方程中《追赶小明》的线段图法，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生迁移画图梳理等量关系的方法。 其亮点在于借助线段图、表格等直观手段培养几何直观，结合“审设列解验答”步骤发展推理能力，如小长方形拼图、火车过隧道问题均通过图形分析数量关系，强化模型意识。学生能轻松理解抽象等量关系，教师可依托结构化流程提升教学效率。

北师大版 数学 八年级 上册 第五章 二元一次方程组 3.二元一次方程组的应用 第3课时 借助线段图梳理等量关系 1.利用二元一次方程解决几何问题和行程问题； 2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程。 情境导入 学习一元一次方程的应用时，我们在《追赶小明》一课中曾经学习过画线段图解决问题的方法，这种方法能否迁移到二元一次方程组呢？ 问题1：如图 (单位：cm)，8 块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少? (1) 这个问题涉及哪些量? 这些量之间有怎样的等量关系? (2) 你能列方程组解决这个问题吗? 解：(1) 小长方形的宽×3 ＝ 小长方形的长； 小长方形的宽×4 ＝大长方形的宽. (2) 设小长方形的宽为 x cm，小长方形的长为 y cm， 根据题意，得 ，解得 ， 所以每块小长方形墙砖的长是 30 cm，宽是 10 cm. 问题2：火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s ，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s ，求隧道和火车的长度. 解：如图所示，表示两种状态： 隧道 用时 30 s 隧道 用时 20 s “火车全身都在隧道里” “从车头进入隧道到车尾驶出隧道” 实际行驶路程：隧道的长度 + 火车的长度 实际行驶路程：隧道的长度 - 火车的长度 如图，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 1.这个问题涉及哪些量？ 小长方形的长、宽 大长方形的长、宽 大长方形的长=2个小长方形长 ， 大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽 小长方形的长 = 小长方形的宽×3。 2.这些量之间有什么等量关系？ 你能根据等量关系列出方程吗？ 新知探究 如图，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 解：设每块小长方形墙砖的长为xcm，宽为ycm， 根据题意，得 x＋y = 40 x = 3y { x = 30 y = 10 { 解方程组，得 所以，每块小长方形墙砖的长为30cm，宽为10cm。 你还能列出不同的方程组吗？ 新知探究 火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s，求隧道和火车的长度. 分析：可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系. 例1 设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m. x - y=40×20 x+y=40×30 火车用时30s 火车用时20s 新知初探 探究一：借助图形、图示解决问题 设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m. x - y=40×20 x+y=40×30 解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用下图表示. 根据题意，得 解这个方程组，得 所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200m. 解：设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m； 根据题意，得，解得； 所以隧道和火车的长度分别是 1 000 m 和 200 m. 问题2：火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s ，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s ，求隧道和火车的长度. 注意：实际问题中，利用线段图梳理题目的关键信息，是一种常用的办法. 问题3：根据前面题目解答的过程，试着总结：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的? 找等量关系 2个未知数 根据等量关系 代入法加减法 审题 设未知数 列方程组 解方程组 检验作答 典例分析 例2 由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路。已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是60 km/h和100 km/h，从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米? 分析：设 汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为 x h和 y h， 路段 速度/(km/h) 时间/h 路程/km 普通公路 高速公路 60 100 60 100 典例分析 解析：汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为 x h和 y h， 根据题意， 得 解方程组， 得 2.5×60 = 150 km，200－150 = 50 km。 所以，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了150km和50km。 路段 速度/(km/h) 时间/h 路程/km 普通公路 高速公路 60 100 60 100 对较复杂的问题可以借助线段图来疏理题中的未知量、已知量以及等量关系，使其条理清楚，将复杂问题转化为简单问题. 知识小结 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流. 审题 设元 列方程 解方程 检验作答 直接设元、间接设元和设辅助未知数 明确题目中的数量关系 找出等量关系 写出答案 思考·交流 150 1. 如图，在一个长为 25，宽为 21 的长方形中，有 5 个形状、大小完全相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为________． 2.小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路。在平路、上坡路和下坡路上，他骑车的速度分别为 12 km/h、10 km/h、15 km/h。他骑车从家到学校需要 40 分钟；骑车从学校回家需要 30 分钟。设小明从家到学校的平路有 x km，上坡路有 y km，则依题意所列的方程组是 ( ) A. B. C. D. A 典例分析 例3 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h 的速度走平路，而后又以4 km/h 的速度上坡到达景区，共用了1.5h; 返回时，他先以12 km/h的速度下坡，而后以9km/h 的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min,求从出发点到景区的路程。 解：设平路为xkm, 坡路为ykm. 根据题意，得 x+y=6+3=9(km), 答：从出发点到景区的路程是9km。 , 解 得 思考·交流 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。 典例分析 （1）[审]审题明确题中涉及的量，找到等量关系； （2）[设]用字母表示题目中的两个未知量在（x、y ）； （3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成方程组； （4）[解]解方程组，求出未知数的值； （5）[验]根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理； （6）[答]写出符合题意的答案并做答。 状状从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路平均速度 60 m/min，下坡路平均速度 80 m/min，上坡路平均速度 40 m/min，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min.问状状家离学校多远? 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 针对训练 方法一：直接设元法 解：设状状家到学校平路长 x m，坡路长 y m. 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 10 15 解方程组，得 所以，状状家到学校的距离为700米. 根据题意，可列方程组： 方法二：间接设元法 解：设状状下坡路所花时间为x min， 上坡路所花时间为y min. 平路距离 坡路距离 上学 放学 平路：60m/min 下坡路：80m/min 上坡路：40m/min 60(10 - x) 60(15 - y) 解方程组，得 故平路距离：60×（10 - 5）= 300(米) 80x 40y 根据题意，可列方程组： 坡路距离：80×5 = 400（米） 所以，状状家到学校的距离为700米. 3.小明骑自行车去某景区，出发时，他先以 8 km/h 的速度走平路，而后又以 4 km/h 的速度上坡到达景区，共用了 1.5 h；返回时，他先以 12 km/h 的速度下坡，而后以 9 km/h 的速度走过平路，回到原出发点，共用了 55 min，求从出发点到景区的路程。 解：设平路为 x km，坡路为 y km. 根据题意，得 ，解得 ， 则x + y = 6 + 3 = 9 (km)， 答：从出发点到景区的路程是 9 km。 8 km/h 4 km/h 12 km/h 8 km/h 变式训练 4.如图，A,B两地由公路和铁路相连.在这条路上有一家食品厂，它到B 地的路程是到A 地路程的2倍.现在该食品厂从A 地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品 (制作过程中有损耗)运到B 地销售，两次运输(第一次：A 地→食品厂，第二次：食品厂 →B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元. 已知公路运费为1.5元/(t.km),铁路运费为1元/(t.km). (1)这家食品厂到A,B两地的路程分别是多少千米? 解：设这家食品厂到A地的路程是xkm,到B地的路程是ykm. 答：这家食品厂到A地的路程是50km,到B地的路程是100km. 根据题意，得 , 解 得 变式训练 (2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后 .工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元? (利润=总售价 - 总成本 - 总运费) 解：食品厂到A 地的铁路路程为50-20=30(km),到 B 地的铁路路程为100-30=70(km). 设这家食品厂此次收购食材mt, 销售食品nt. 这批食品每吨的售价应为(863800-15600+20600+220×5000)÷200=10000(元) 答：这批食品每吨的售价应为10000元. 解 方 程 组 ， 根据题意，得 古题今解 以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？ 题意：用绳子测量水井的深度. 如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多 5 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺. 绳长、井深各是多少尺？ 能力提升 解：设绳长 x 尺，井深 y 尺，则 由题意可得 x - y = 1. 解此方程组，得 x = 48， y = 11. 答：绳长 48 尺，井深 11 尺. x - y = 5， 二元一次方程组的应用 课堂小结 2、一般步骤：（1）审 、设、列 、解、验、答 1、在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题。 3、列二元一次方程组解决实际问题时可以采用列表格法、画线段图法等比较直观的方法帮助找到题目的思路，更轻松地解决问题。 回顾·反思 回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识？积累了哪些经验？ $