25.1 一元二次方程的概念25.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十五章 25.1一元 ①分点训练 。夯实基础 知识点个一元二次方程的概念及一般形式 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x2-1=0 B.y2+x=1 C.2x+1=0 Dx+2=1 2.一元二次方程x2一2=一6x化成一般形式 (二次项系数为正)是 ,其中 二次项系数是 ,一次项系数是 ,常 数项是 3.若(a-3)x2-3x-4=0是关于x的一元二 次方程，则α的取值范围是 【变式题】已知方程(2一m)xm-x-9=0, 当m的值是时，该方程是关于x的一 元二次方程. 知识点2一元二次方程的解（根） 4.(教材P4习题T3变式)下列各数是方程x2 x=12的解的是 () A.3 B.4 C.5 D.10 5.(青海中考)已知x=1是关于x的一元二次方 程x2一4x十c=0的一个根，则c的值是 6.若一元二次方程ax2十bx+c=0(a≠0)有一 个根为一1，则a一b十c的值为 知识点3根据实际问题列一元二次方程 7.为美化环境，某园林部门计划在某地修建 个面积为200m的矩形花圃，它的长比宽多 10m.设宽为xm,可列方程为（) A.x(x十10)=200B.2x+2(x十10)=200 C.x(x-10)=200D.2x+2(x-10)=200 一元二次方程 次方程的慨念 B综合运用 )提升能力 8.将方程2x(x一1)=(x一3)+4化为一元二 次方程的一般形式，其二次项系数与一次项 分别是 ) A.2,-3 B.-2,-3 C.2,-3x D.-2,-3x 9.(易错题)若x=0是关于x的一元二次方程 (a十2)x2十x十a2-4=0的一个根，则a的 值是 () A.2 B.-2 C.2或-2 n 10.抽象推理整体思想若a是一元二次方程2x2= 6.x一4的根，则代数式a2一3a+24的值是 11.(教材P4练习T2变式)根据下列问题列出 方程，并将其化成一般形式： (1)一个直角三角形的两条直角边长之和 为14cm,面积为24cm,求它的两条直 角边的长； (2)一个群里的每名好友都分别给其他好 友发了一条消息，这样一共产生132条 消息，求这个群里有多少名好友， 第二十五章一元二次方程1 25.2降次 25.2.1 第1课时用直接开 A分点训练 0夺实基础 知识点1形如x=p(p≥0)的方程的解法 1.（贵州中考)一元二次方程x2一1=0的根是 2.方程x2十m=0有实数根的条件是( A.m>0 B.m≥0 C.m<0 D.m≤0 【变式题】用直接开平方法解下列一元二次 方程，其中无实数根的方程为 ( ) A.x2-1=0 B.x2=0 C.x2+4=0 D.-x2+3=0 3.解下列方程： (1)2x2-16=0: (2)9x2+12=16; (3)3x2=x2+200. 2 数学九年级上册人教版 解一元二次方程 配方法 平方法解一元二次方程 知识点2形如(m.x十n)2=p(m≠0，p≥0)的 方程的解法 4.一元二次方程(x十3)2=16可化为两个一元 一次方程，其中一个一元一次方程为x十3= 4,则另一个一元一次方程为 （) A.x-3=4 B.x-3=-4 C.x十3=4 D.x十3=-4 5.方程(x一1)2=64的根是 () A.x1=x2=9 B.x1=x2=7 C.x1=-9,x2=7D.x1=9,x2=-7 6.解下列方程： (1)(2x)2-4=0; (2)(2x+1)2=25; (3)2(x+1)2-8=0. B综合运用 。提升能力 7.一个简单的数值运算程序如图所示，则输入 x的值为 /输入x→(x-1)→x3输出27/ A.±3 B.±4 C.4或-2 D.3或-2 8.（易错题)若(a2十b2-3)2=25,则a2+b2的 值为 9.若方程x2-c=0的一个根为x=3305,则另 一个根为x= 【变式题】进一步弱化条件 若一元二次方程x2=b(b>0)的两个根分别 是x1=m十1，x2=2m一4，则这两个根分别 是 10.解下列方程： (1)x2-6x+9=7; (2)(2x十3)2=(3x+2)2. 11.已知关于x的方程(x+1)2=k2+3的一个 根是x=2,求的值及另一个根。 C创新拓展 ⊙发展素养 12.新趋势阅读理解)小明在解一元二次方程 时，发现了一种新解法 解方程：x(x十4)=6. 解：原方程变为[(x+2)-2幻[(x十2)十2幻=6， .(x十2)2-22=6. .(x+2)2=10. 根据平方根的意义，得x十2=士√10， 解得x1=一2十√/10，x2=一2-√10. 我们称小明的这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x十 3)(x十7)=5的过程， 解：原方程变为[(x十a)一b][(x十a)十 b]=5, .(x+a)2-b2=5. ∴.(x+a)2=5+b2. 根据平方根的意义，得x十a=士√5+， 解得x1=c,x2=d.(c>d) 上述过程中：a= ，b= (b>0),c= ,d= (2)请用“平均数法”解方程：(x一5)(x十3)=6. 第二十五章一元二次方程 3参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.A2.x2+6x-2=016-23.a≠3【变式题】-24.B5.36.07.A 8.C9.A10.22 11.解：(1)设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(14一x)cm.根据题 意，得号x(14-x)=24.化成一般形式为2-14红十48=0.(2)设这个群里有x名好 友.根据题意，得x(x一1)=132.化成一般形式为x2一x-132=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.x1=1,x2=一12.D【变式题】C 3.解：(1)整理，得x2=8.根据平方根的意义，得x=士2√2，即1=2√2，x2=一2√2. (2)整理，得r=号根据平方根的意义，得x=土号，即4=号=一号.(3)整理， 得x2=100.根据平方根的意义，得x=士10，即x1=10,x2=一10. 4.D5.D 6.解：(1)整理，得x2=1.根据平方根的意义，得x=士1，即x1=1,x2=一1.(2)根据平 方根的意义，得2x十1=士5，即2x+1=5,或2x十1=-5，解得x1=2,x2=-3.(3)整 理，得(x十1)2=4.根据平方根的意义，得x+1=士2，即x十1=2，或x+1=一2，解得 x1=1,x2=-3. 7.C8.89.一3305【变式题】x1=2,x2=-2 10.解：(1)整理，得(x一3)2=7.根据平方根的意义，得x一3=士√7，即x一3=√7，或x -3=-√7，解得x=3十√7，x2=3-√7.(2)根据平方根的意义，得2x十3=3x十2，或 2x十3=-3x-2,解得x1=1,x2=-1. 11.解：把x=2代入方程(x十1)2=k2+3,得(2十1)2=k2+3,k2=6,解得k=士√6. .原方程是(x十1)2=9，解得x1=一4，x2=2..方程的另一个根是x=一4. 12.解：(1)52-2-8(2)原方程变为[(x-1)-4][(x-1)+4]=6,∴.(x-1)2 一4=6..(x一1)2=22.根据平方根的意义，得x一1=士√22，解得x1=1十√22，x2 =1-√22. 第2课时用配方法解一元二次方程 1.A2.(111(2)3号3.A4.B 5.解：(1)移项，得x2-2x=2.配方，得x2-2x十12=2+12，即(x一1)2=3.由此可得x -1=±5，解得=1+，=1-.(2)配方，得x+7z+(经)'=-是+ (仔)》广，即(+子)”=9.由此可得x计子=士3，解得=一分a=一号 6.C 7.解：(1)移项、二次项系数化为1，得x2-4x=6.配方，得x2-4x十22=6十22，即(x 2)2=10.由此可得x-2=±√0，解得1=2十√0，x2=2-√0.(2)移项、二次项 系数化为1，得2-2x=号，配方，得x2-2x+1=号+1，即（红-1）=了，由此可得 x-1=士四，解得=1+，=1-.(3)移项、二次项系数化为1，得2 号x=多配方，得2-号x+(号)°=是+（号），即(x-号)°-8由此可得x 号=土台，解得五=1=一是 8.D9.A10.x1=206,x2=-204 11.解：(1)移项，得x2十2√2x=-1.配方，得(x十√2)2=1.由此可得x十√2=士1，解得 x1=-√2+1，x2=-√2-1.(2)整理，得3x2+2x=-1.二次项系数化为1，得x2十 号=一子配方，得（十3）广=一合”-号<0原方程无实数根 12.解：1)=54=号(22(3)二次项系数化为1，得-9x=-1.配方， 得(x一)}'-尝开平方，得x一号=士号=5=言经检酸南=5 5 号都是原方程的解。(1)中猜想结论正确. 专题特训配方法的常见运用 1.C 2.解：(1)11(2)3-x2+2x=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.,(x-1)2≥0，.-(x -1)2≤0..-(x-1)2+4≤4..3-x2十2x的最大值为4. 3.解：5x2-6x十4-(x2-2x+2)=4x2-4x+2=(2x-1)2+1.(2x-1)2≥0，∴.(2x -1)2+1>0..5x2-6.x+4>x2-2x+2. 4.解：(1)x2-4x+y2+2y+5=0,∴.(x-2)2+(y+1)2=0..x-2=0,y+1=0,解 得x=2,y=-1.(2)a2+b2=12a+8b-52,∴.(a-6)2+(b-4)2=0.a-6=0,b- 4=0,解得a=6,b=4..△ABC是等腰三角形，∴.c=4或6. 5.解：原式=x2-4xy十4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x- y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.C2.A3.m>8 4.解：(1)a=1,b=-3V2,c=4,.△=b-4ac=(-3W2)2-4×1X4=2>0.∴.方程 有两个不相等的实数根.(2)方程化为x2+5x十10=0.：a=1,b=5,c=10,∴△=b 4ac=52-4X1×10=-15<0..方程没有实数根.(3)方程化为x2+6x十9=0.a= 1,b=6,c=9,∴.△=b2一4ac=62一4×1×9=0.，∴.方程有两个相等的实数根. 5.C【变式题】D6.有两个不相等的实数根 7.(1)证明：由题意，得△=(2a+1)2-4×2(a-1)=4a2+4a+1-8a+8=(2a-1)2+ 8.,(2a-1)2≥0，∴.△=(2a一1)2十8>0..此方程一定有两个不相等的实数根. (2)解：由题意，得△=(2a-1)2十8=9，.(2a-1)2=1,解得a1=0,a2=1.,该方程为 一元二次方程，.a-1≠0，即a≠1.a=0. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.B2.B3.D 4-8-2-32(一2》25不相等二别洁医？名 2X2 5.解：(1)·a=2,b=7,c=0,.△=b2-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个不相 等的实数根六一止匹-装-7，即A-0,=一子.（②=3， 2a 2×2 b=-5,c=1,.△=62-4ac=(-5)-4×3×1=13>0.∴.方程有两个不相等的实数 根.工=b吐4@c=二（一》生压-5±压，即=5+，，= 2a 2×3 6 2 5-压.(3)方程化为9x2+7x+2=0.”a=9,b=7,c=2,△=-4ac=72-4X9 6 ×2=-23<0.∴.原方程无实数根.(4)a=1,b=一2√2，c=2,.△=b2-4ac= （一2②-4X1X2=0六方程有两个相等的实数根，小通==一名--区 6.c7.c8.12 9.解：(1)方程化为2x2+2x-1=0.a=2,b=2,c=-1,∴.△=b2-4ac=22-4×2× （一1)=12>0.∴方程有两个不相等的实数根.x=二b士Y-4ac=一2±区 2a 2×2 -2±23，即=-1+3，x4=-125.(2)方程化为2x-x-3=0.:a=2,6= 4 2 2 -1,c=-3,∴.△=6-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0.∴.方程有两个不相等的实 数根-生公@c-二《一议装压1与，即-是=-1 2a 2X2 10第：(1)：∠ACB=90,BC=号，AC=6,AB=VBC+AC=√+8= Y@亚.：BD=号，∴AD=AB-BD=Y中-2.(2)方程可化为x十aE-公 2 2 =0,小4=a2-4×1X(-8)=a2+4h>0.x=二a±a+4 2 ,即x= -a+√a+46 ,4=二a一@+4近：AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不 2 2 能表示方程的负根， 25.2.3因式分解法 1.D【变式题】C2.A 3.解：(1)左边因式分解，得x(x十4)=0..x=0,或x十4=0.∴.x1=0,x2=-4.(2)移 项，得x(x-7)+8(x-7)=0.左边因式分解，得(x-7)(x十8)=0..x-7=0,或x十8 =0..x1=7,x2=-8.(3)左边因式分解，得(x-1+2)(x-1-2)=0,即(x十1)(x- 3)=0.∴.x+1=0,或x-3=0..x1=-1,x2=3. 4.A 5.解：(1)移项，得2x2=8.二次项系数化为1，得x2=4.x1=2,2=-2.(2)配方，得 y2-2y+12=80+12,即(y-1)2=81.y-1=±9.y1=10,y=-8.(3)a=1,b =-5,c=2,△=b2-4ac=(一5)2-4×1×2=17>0.∴.方程有两个不相等的实数 根.“r=生你4@c-二（一，生应=5±)厘，即=5+y,= 2×1 2 2 5二应.(4)移项，得(x十5)一2(x十5)=0.左边因式分解，得(x+5)(z十5-2)=0. ∴.x十5=0，或x+3=0..x1=-5,x2=-3. 6.B7.18.12 9.解：1)-（2)a=子=1(3)①整理，得(x+1D(x-1D-4(x-1D=0.左边因 式分解，得(x-1)(x十1一4)=0..x-1=0,或x-3=0,解得x1=1,x2=3.②整理， 得3(x-5)2+(x+5)(x-5)=0.左边因式分解，得(x-5)(3x一15十x十5)=0.∴.x一 5=0,或4x-10=0,解得=5，=号 10.解：(1)①②(2)解方程x2-2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，m一1 =0,解得m=1;当相同的根是x=2时，4十2+m-1=0,解得m=-5.综上所述，m的 值是1或-5.(3)，关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)同时满足a一b+c= 0和9a十3b十c=0,∴该方程的两个根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的 3