2.4有理数的加法与减法（暑期预习讲义） 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

2.4 有理数的加法与减法 加法法则 · 运算律 · 减法法则 · 加减混合运算 一、学习目标 理解有理数加法的实际意义，掌握有理数的加法法则，能熟练进行有理数加法运算 掌握加法交换律和结合律，能灵活运用运算律进行简便计算 理解有理数减法的意义，掌握有理数的减法法则，能熟练进行有理数减法运算 掌握有理数加减混合运算的方法和步骤，能将减法统一为加法进行运算 理解省略加号的和的形式，会正确读法和书写，能解决简单的实际应用问题 二、重难点梳理 类别 核心内容 易错点提醒 重点 有理数加法法则 异号两数相加时符号容易搞错，先定号再算值 重点 加法运算律 交换律交换位置要带符号一起走 重点 有理数减法法则 减法变加法时，减数必须变成相反数 重点 加减混合运算 先统一成加法，再省略加号，最后用运算律 难点 异号两数相加 取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值 难点 省略加号的和 每个数前面的符号是性质符号，不是运算符号 难点 简便运算技巧 同号结合、同分母结合、凑整结合、相反数结合 三、教材知识点盘点 知识点一：有理数的加法法则 有理数加法的意义：在小学学过的加法基础上，引入负数后，加法的含义更加丰富。 例如：向东走5米，再向西走3米，可以表示为 (+5) + (-3)。 1. 同号两数相加： 取与加数________的符号，并把绝对值________。 口诀：同号相加，符号不变，绝对值相加。 例如：(+3) + (+5) = +8；(-3) + (-5) = -8 2. 异号两数相加： （1）绝对值相等时（互为相反数），和为________； （2）绝对值不等时，取绝对值________的加数的符号， 并用较大的绝对值________较小的绝对值。 口诀：异号相加，"大"定符号，大减小。 例如：(+5) + (-3) = +2；(-5) + (+3) = -2 3. 一个数与0相加： 仍得________。 例如：0 + (-7) = -7；(+4) + 0 = +4 ⚠ 注意：进行有理数加法运算的步骤：第一步，判断类型（同号/异号/与0相加）；第二步，确定和的符号；第三步，计算绝对值。 知识点二：有理数加法的运算律 1. 加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 字母表示：a + b = ________ 注意：交换位置时，要连同数前面的符号一起交换。 2. 加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母表示：(a + b) + c = ________ 3. 简便运算常用四大技巧： ① ________结合：把所有正数结合、所有负数结合，分别相加后再求和； ② ________结合：把分母相同或容易通分的分数结合相加； ③ ________结合：把能凑成整数、整十、整百的数结合相加； ④ 相反数结合：互为相反数的两个数结合相加，和为0，简化计算。 ⚠ 注意：简便运算的核心是"凑整"和"消元"，通过合理分组，让计算变得简单。 知识点三：有理数的减法法则 1. 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的________。 字母表示：a - b = a + ________ 2. 减法运算的"两变一不变"原则： 两变：① 运算符号：减号变________； ② 性质符号：减数变成它的________； 一不变：________不变。 3. 常见类型： 正数减正数：5 - 8 = 5 + (-8) = -3 正数减负数：5 - (-8) = 5 + 8 = 13 负数减正数：-5 - 8 = -5 + (-8) = -13 负数减负数：-5 - (-8) = -5 + 8 = 3 ⚠ 注意：减法没有交换律！a - b ≠ b - a，千万不能随意交换被减数和减数的位置。 知识点四：有理数的加减混合运算 1. 运算步骤（三步法）： 第一步：将减法统一为________（减法法则）； 第二步：省略________和________，写成和的形式； 第三步：运用加法________和________进行简便计算。 2. 省略加号的和的形式： 统一成加法后，可以省略加号和括号，把式子写成几个正数或负数的和的形式。 例如：(-3) + (+5) + (-7) + (+2) = -3 + 5 - 7 + 2 3. 两种读法： 读法一（按性质符号读）："负3、正5、负7、正2的和" 读法二（按运算符号读）："负3加5减7加2" ⚠ 注意：省略加号后，每个数前面的符号都是它的性质符号。计算时可以灵活运用两种读法，但要注意符号不能丢。 五、典型例题精讲 题型一：有理数的加法运算 【例1】计算： （1）(-13) + (-25) （2）(-3.5) + (+2.8) （3）() + (+) 【解析】 （1）同号两数相加，取负号，绝对值相加： (-13) + (-25) = -(13 + 25) = -38 （2）异号两数相加，|-3.5|=3.5 > |+2.8|=2.8，取负号，大减小： (-3.5) + (+2.8) = -(3.5 - 2.8) = -0.7 （3）异号两分数相加，先通分： = ，+ = + 取正号，大减小：() + (+) = +( - ) = 题型二：加法简便运算 【例2】用简便方法计算： （1）(+26) + (-14) + (-16) + (+18) （2）(+1 ) + (-2 ) + (+) + (+) 【解析】 （1）同号结合法：正数一组，负数一组 原式 = [(+26) + (+18)] + [(-14) + (-16)] = (+44) + (-30) = 14 （2）同分母结合法 + 凑整法 原式 = [(+1 ) + (+)] + [(-2 ) + (+)] = (+2) + (-2) = 0 题型三：有理数的减法运算 【例3】计算： （1）(-8) - (-15) （2）0 - (+7.5) （3）() - (+) 【解析】减法变加法，减数变相反数： （1）(-8) - (-15) = (-8) + (+15) = +(15 - 8) = 7 （2）0 - (+7.5) = 0 + (-7.5) = -7.5 （3）() - (+) = () + () = () + () = 题型四：有理数的加减混合运算 【例4】计算：(-15) - (+8) - (-12) + (-7) 【解析】第一步：统一成加法 原式 = (-15) + (-8) + (+12) + (-7) 第二步：省略加号 原式 = -15 - 8 + 12 - 7 第三步：同号结合简便计算 原式 = (-15 - 8 - 7) + 12 = (-30) + 12 = -18 题型五：实际应用问题 【例5】某冷库的温度是-4℃，现有一批食品需要在-28℃冷藏，如果每小时降温3℃， 问几小时后能降到所要求的温度？ 【解析】先求需要下降的温度： -4 - (-28) = -4 + 28 = 24（℃） 每小时降3℃，所需时间：24 ÷ 3 = 8（小时） 答：8小时后能降到所要求的温度。 六、随堂练习 1. 计算：(-6) + (-9) = ________ 2. 计算：(+12) + (-7) = ________ 3. 计算：(-3.5) + 0 = ________ 4. 计算：() + (+) = ________ 5. 计算：(-10) - (-3) = ________ 6. 计算：0 - (+8) = ________ 7. 计算：() - () = ________ 8. 将式子 (-8) - (+5) + (-2) - (-9) 统一成加法为：________________ 9. 省略加号的和：-5 + 8 - 3 + 2 读作________________________ 10. 比-6小4的数是________ 11. 计算：(-3) + (+5) - (-7) = ________ 12. 若 |a| = 4，|b| = 3，且 a < b，则 a + b = ________ 七、分知识点专项练习 专项一：有理数的加法 【说明】本专项仅考查有理数加法，不涉及减法，打好加法基础 一、选择题（每题3分，共12分） 1. 下列计算结果为负数的是（ ） A. (-3) + 0 B. (-3) + 5 C. (-3) + (-5) D. 3 + 5 2. 两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（ ） A. 两个数都是正数 B. 两个数都是负数 C. 一正一负 D. 其中一个为0 3. 计算 () + () 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 若 m + n = 0，则 m 与 n 的关系是（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 都是0 D. 互为倒数 二、填空题（每题3分，共12分） 5. 计算：(-12) + (-18) = ________；(+15) + (-25) = ________ 6. 计算：(-0.8) + (+3.2) = ________；(-1 ) + (+) = ________ 7. 比-3大-5的数是________；比-3℃低5℃的温度是________ 8. 绝对值小于4的所有整数的和是________ 三、解答题（共26分） 9.（8分）直接计算（每题2分）： （1）(-23) + (+58) （2）(-4.7) + (-5.3) （3）(+) + () （4）(-3 ) + (+2 ) 10.（9分）用简便方法计算（每题3分）： （1）(+17) + (-22) + (+23) + (-18) （2）(-1.9) + 3.6 + (-10.1) + 1.4 （3）(+) + () + (+) + () 11.（9分）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负。 某天从A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为： +10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5 （1）问收工时距A地多远？（5分） （2）若每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工共耗油多少升？（4分） 专项二：有理数的减法与加减混合运算 一、选择题（每题3分，共12分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. (-5) - (-3) = -8 B. 0 - 7 = 7 C. (-7) - 0 = -7 D. 4 - 2 = -2 2. 把式子 -6 - (+7) + (-2) - (-9) 写成省略加号的和的形式，正确的是（ ） A. -6 + 7 - 2 + 9 B. -6 - 7 - 2 + 9 C. -6 - 7 + 2 - 9 D. -6 + 7 + 2 - 9 3. 下列各式中，与 x - y + z 相等的是（ ） A. x + (-y) + (-z) B. x - (+y) + (+z) C. x + (-y) - z D. x - (+y) - (+z) 4. 若 a < 0，b > 0，则 a - b 的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定 二、填空题（每题3分，共12分） 5. 计算：(-9) - (-4) = ________；3 - 11 = ________ 6. 计算：() - () = ________；0 - (-2.5) = ________ 7. 数轴上表示-2的点与表示5的点之间的距离是________ 8. 已知 a = -3，b = -5，则 a - b = ________；|a| - |b| = ________ 三、解答题（共36分） 9.（12分）计算下列各题（每题3分）： （1）(-7) - (+8) - (-25) （2）(-32) - (-27) - (-72) - 87 （3）(-4 ) - (-5 ) + (-4 ) - (+3 ) （4）-5.13 + 4.62 + (-8.47) - (-2.38) 10.（12分）用简便方法计算（每题4分）： （1）-3 - 5 + 7 - 9 + 12 - 4 （2）(-2 ) + (+) + (-0.5) + (+1 ) （3）1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … + 99 - 100 11.（6分）某仓库原有粮食52吨，第一天运进18吨，第二天运出34吨， 第三天运进26吨，第四天运出45吨。 （1）第四天末仓库还有粮食多少吨？（3分） （2）这四天一共运进、运出粮食各多少吨？（3分） 12.（6分）某出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负， 行车里程（单位：km）依先后次序记录如下： +9，-3，-5，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10 （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？（3分） （2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？（3分） 【答案与解析】 六、随堂练习 1. 【答案】-15 【解析】同号相加，取负号，6+9=15，所以-15。 2. 【答案】5 【解析】异号相加，12>7，取正号，12-7=5。 3. 【答案】-3.5 【解析】一个数与0相加，仍得这个数。 4. 【答案】 【解析】通分：=，+=+，取正号，=。 5. 【答案】-7 【解析】减法变加法：-10+3=-7。 6. 【答案】-8 【解析】0减正数等于加负数：0+(-8)=-8。 7. 【答案】 【解析】 - () = + = 。 8. 【答案】(-8) + (-5) + (-2) + (+9) 【解析】减去一个数等于加上它的相反数。 9. 【答案】负5、正8、负3、正2的和（或负5加8减3加2） 【解析】省略加号后的两种读法。 10. 【答案】-10 【解析】比-6小4，即-6-4=-6+(-4)=-10。 11. 【答案】9 【解析】-3+5+7=9。 12. 【答案】-1或-7 【解析】|a|=4得a=±4，|b|=3得b=±3。又a<b，所以a=-4,b=3或a=-4,b=-3。a+b=-1或-7。 专项一：有理数的加法 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】A：-3+0=-3（负数）；B：-3+5=2（正数）；C：-3+(-5)=-8（负数）；D：3+5=8（正数）。C选项结果为负。 2. 【答案】C 【解析】一正一负相加，和介于两数之间，比正数小、比负数大。 3. 【答案】A 【解析】同号相加取负号，通分：=，=，和为。 4. 【答案】B 【解析】互为相反数的两个数和为0。 二、填空题 5. 【答案】-30；-10 【解析】-12+(-18)=-30；+15+(-25)=-10。 6. 【答案】2.4；-1 【解析】-0.8+3.2=2.4；-1 +=-1。 7. 【答案】-8；-8℃ 【解析】大-5即加-5：-3+(-5)=-8；低5℃即减5：-3-5=-8。 8. 【答案】0 【解析】绝对值小于4的整数：±3, ±2, ±1, 0，互为相反数的和为0，总和为0。 三、解答题 9. 【答案】 （1）35 【解析】(-23) + (+58) = +(58 - 23) = 35 （2）-10 【解析】(-4.7) + (-5.3) = -(4.7 + 5.3) = -10 （3） 【解析】+ + () = - = （4） 【解析】-3 + 2 = + = + = 10. 【答案】 （1）0 【解析】同号结合：(17+23) + [(-22)+(-18)] = 40 + (-40) = 0 （2）-7 【解析】凑整结合：[(-1.9)+(-10.1)] + (3.6+1.4) = -12 + 5 = -7 （3）0 【解析】同分母结合：(+) + [()+()] = 1 + (-1) = 0 11. 【答案 （1）收工时距A地41千米 【解析】+10-3+4+2-8+13-2+12+8+5 = (10+4+2+13+12+8+5) + (-3-8-2) = 54 + (-13) = 41（千米） （2）共耗油13.4升 【解析】总路程：|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-2|+|+12|+|+8|+|+5| = 10+3+4+2+8+13+2+12+8+5 = 67（千米） 耗油量：67 × 0.2 = 13.4（升） 专项二：有理数的减法与加减混合运算 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】A：-5-(-3)=-5+3=-2，错；B：0-7=-7，错；C：-7-0=-7，正确；D：4-2=2，错。 2. 【答案】B 【解析】-6-(+7)+(-2)-(-9) = -6 + (-7) + (-2) + (+9) = -6 - 7 - 2 + 9 3. 【答案】B 【解析】x - y + z = x + (-y) + z = x - (+y) + (+z) 4. 【答案】B 【解析】a<0，b>0，则a-b = a+(-b)，两个负数相加，结果小于0。 二、填空题 5. 【答案】-5；-8 【解析】-9-(-4)=-9+4=-5；3-11=3+(-11)=-8。 6. 【答案】；2.5 【解析】-()=+=+=；0-(-2.5)=0+2.5=2.5。 7. 【答案】7 【解析】两点距离=大数减小数：5 - (-2) = 7。 8. 【答案】2；-2 【解析】a-b = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2；|a|-|b| = 3 - 5 = -2。 三、解答题 9. 【答案】 （1）10 【解析】(-7) - (+8) - (-25) = -7 - 8 + 25 = -15 + 25 = 10 （2）-20 【解析】-32 - (-27) - (-72) - 87 = -32 + 27 + 72 - 87 = (-32 - 87) + (27 + 72) = -119 + 99 = -20 （3）-6 【解析】同分母结合：(-4 - 3 ) + (5 - 4 ) = -8 + 1 = -6 （4）-6.6 【解析】凑整：(-5.13 - 8.47) + (4.62 + 2.38) = -13.6 + 7 = -6.6 10. 【答案】 （1）-2 【解析】同号结合：(-3-5-9-4) + (7+12) = -21 + 19 = -2 （2）-1 【解析】(-2 - 0.5) + ( + 1 ) = -3 + 2 = -1 （3）-50 【解析】分组：(1-2)+(3-4)+…+(99-100) = (-1)×50 = -50 11. 【答案】 （1）第四天末还有粮食17吨 【解析】52 + 18 - 34 + 26 - 45 = (52+18+26) - (34+45) = 96 - 79 = 17（吨） （2）运进44吨，运出79吨 【解析】运进：18 + 26 = 44（吨）；运出：34 + 45 = 79（吨） 12. 【答案】 （1）离鼓楼出发点0km，就在鼓楼处 【解析】+9-3-5+4-8+6-3-6-4+10 = (9+4+6+10) + (-3-5-8-3-6-4) = 29 + (-29) = 0（km） （2）营业额是139.2元 【解析】总里程：9+3+5+4+8+6+3+6+4+10 = 58（km） 营业额：58 × 2.4 = 139.2（元） 学科网（北京）股份有限公司 $