精品解析：广西柳州市文华中学2024年春学期期中考试初二数学试卷

柳州市文华中学教育集团2024年春学期段考初二数学试卷 （全卷满分120分，学生闭卷作答，90分钟完成） 一、选择题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 要使二次根式有意义，x必须满足（ ） A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＞2 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7 3. 下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 若y＝(m﹣3)x+1是一次函数，则( ) A. m＝3 B. m＝﹣3 C. m≠3 D. m≠﹣3 5. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 6. 已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（　　） A. 平均数是4 B. 众数是3 C. 中位数是5 D. 方差是3.2 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是＝1.2，＝1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是(　　) A. 乙比甲稳定 B. 甲比乙稳定 C. 甲和乙一样稳定 D. 甲、乙稳定性没法对比 9. 如图，在中，，D为边的中点，，，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ） A. B. C. 12 D. 24 11. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　） A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 12. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ） A. 4 B. 4．8 C. 5．2 D. 6 二、填空题（每题3分，共6小题，共18分） 13. 计算的结果是________． 14. 一次函数y=kx－3的图象经过点（-1，3），则k=______． 15. Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10，BC=6，则AC=________. 16. 已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为______． 17. 如图，四边形中，，于点C，，则的长为______． 18. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是_________（填序号）． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 计算：． 20. 如图，与的边，在同一条直线上，，且，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，与直线交于点A．已知点A的坐标为，． （1）求出直线的解析式； （2）求的面积． 22. 2024年是文华建校10周年，我校开展了全校学习校史活动并进行了校史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级学生的竞赛成绩（单位：分）： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 八年级学生竞赛成绩扇形统计图 七八年级学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 a 9 众数 8 b 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）估计该校七年级120名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数； 23. 近年来，登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目，通过锻炼可以大大提升人们的身体素质，如图是南宁市大明山的某局部山体模拟图，段长度为，矩形和矩形均为起步平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知，． （1）亮亮猜想山体高为，请判断亮亮的猜想是否正确？如果正确请说明理由，如果不正确，请求出正确的山体高； （2）为加强攀登的安全性，若使得山体斜坡长，请你求出此时山脚C应向外延伸多少m到点F． 24. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 25. 实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： （1）上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 （2）如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 （3）如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市文华中学教育集团2024年春学期段考初二数学试卷 （全卷满分120分，学生闭卷作答，90分钟完成） 一、选择题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 要使二次根式有意义，x必须满足（ ） A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＞2 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据二次根式的意义可知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0， 因此可得x-2≥0， 解这个不等式可得x≥2． 故选B 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解： ∵A选项最长边为4，， ∴不能组成直角三角形； ∵B选项最长边为5，， ∴能组成直角三角形； ∵C选项最长边为6，， ∴不能组成直角三角形； ∵D选项中， ∴不能构成三角形，排除． 3. 下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理即可判断． 【详解】由平行四边形的判定定理，A、B、D均符合平行四边形的判定定理；C无法判断，故C错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，注意是同一组对边平行且相等，才是判定定理是关键． 4. 若y＝(m﹣3)x+1是一次函数，则( ) A. m＝3 B. m＝﹣3 C. m≠3 D. m≠﹣3 【答案】C 【解析】 【详解】∵是一次函数， ∴，解得. 故选C. 考点：一次函数的定义. 5. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意； C.原式==，所以C选项错误，不符合题意； D.原式==2，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 6. 已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（　　） A. 平均数是4 B. 众数是3 C. 中位数是5 D. 方差是3.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可． 【详解】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2． 故选：C． 【点睛】本题考查了对中位数、平均数、众数、方差的知识点应用． 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像与k，b符号的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得图像经过第一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数中， ∴图像经过第一、三、四象限， 故选：C． 8. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是＝1.2，＝1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是(　　) A. 乙比甲稳定 B. 甲比乙稳定 C. 甲和乙一样稳定 D. 甲、乙稳定性没法对比 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义，比较甲、乙两人的方差，作出判断即可. 【详解】∵=1.2，=1.6， ∴＜， ∴甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的是甲， ∴甲比乙稳定. 故选:B. 【点睛】考查方差的意义，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 9. 如图，在中，，D为边的中点，，，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求出，根据斜边中线等于斜边一半求出即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵D为边的中点， ∴． 故选：D． 10. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，设对角线相交于点O， ∵AC=8，DB=6， ∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3， 由勾股定理得AB===5， ∵DH⊥AB， ∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD， 即5DH=×8×6， 解得DH=． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质． 11. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　） A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 【答案】C 【解析】 【详解】解：当x＞1时，x+b＞kx+4， 即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1． 故选C． 12. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ） A. 4 B. 4．8 C. 5．2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ． 又于点，于点． ， 四边形是矩形． ． 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， 即， 线段长的最小值为4.8； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，解题的关键是利用“两点之间垂线段最短”找出时，取最小值． 二、填空题（每题3分，共6小题，共18分） 13. 计算的结果是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的平方等于，则叫做的算术平方根，求解即可． 【详解】解：． 故答案为：2 14. 一次函数y=kx－3的图象经过点（-1，3），则k=______． 【答案】-6 【解析】 【详解】解：把点代入得， 解得 ． 故答案为: ． 15. Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10，BC=6，则AC=________. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可； 【详解】∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10，BC=6， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 16. 已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积公式是求解的关键．直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案是：． 17. 如图，四边形中，，于点C，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，化为最简二次根式，取的中点E，连接，证明是等边三角形，得到，进而利用三角形外角的性质得到，由勾股定理得到；再证明是等边三角形，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取的中点E，连接，而， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是_________（填序号）． 【答案】②③④． 【解析】 【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确； ②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AEO≌△AFO，即可判断出AD⊥EF； ③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可； ④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立． 【详解】如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①错误； ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF，DE=DF， ∴AE+DF=AF+DE，故④正确； ∵在△AEO和△AFO中， ， ∴△AEO≌△AFO（SAS）， ∴EO=FO， 又∵AE=AF， ∴AO是EF的中垂线， ∴AD⊥EF，故②正确； ∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角， ∴四边形AEDF是矩形， 又∵DE=DF， ∴四边形AEDF是正方形，故③正确． 综上可得：正确的是：②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 20. 如图，与的边，在同一条直线上，，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明:∵ ， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】利用直线平行的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，再根据平行四边形的判定定理证明即可． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，与直线交于点A．已知点A的坐标为，． （1）求出直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）先确定C点坐标，再利用待定系数法求解； （2）令，求出对应的x的值，即可得B点的坐标，再根据的面积求解． 【小问1详解】 解：由图可知，点C在y轴的正半轴上， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将、代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∴的面积． 22. 2024年是文华建校10周年，我校开展了全校学习校史活动并进行了校史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级学生的竞赛成绩（单位：分）： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 八年级学生竞赛成绩扇形统计图 七八年级学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 a 9 众数 8 b 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）估计该校七年级120名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数； 【答案】（1）8；9 （2）102人 【解析】 【分析】（1）利用中位数、众数的定义求解即可； （2）利用“样本估计总体”进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列为： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10 则中位数； 从八年级的扇形统计图可知，9分占，占比最高， 因此八年级成绩的众数为； 【小问2详解】 解：（人） 答：估计该校七年级120名学生中竞赛成绩达到8分及以上的人数有102人． 23. 近年来，登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目，通过锻炼可以大大提升人们的身体素质，如图是南宁市大明山的某局部山体模拟图，段长度为，矩形和矩形均为起步平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知，． （1）亮亮猜想山体高为，请判断亮亮的猜想是否正确？如果正确请说明理由，如果不正确，请求出正确的山体高； （2）为加强攀登的安全性，若使得山体斜坡长，请你求出此时山脚C应向外延伸多少m到点F． 【答案】（1） 亮亮的猜想不正确， 理由：，， 设， ， 即， 解得， ， ； 山体高的正确高度为 （2）山脚C应向外延伸m到点F 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键． （1）设，由勾股定理得到，于是得到； （2）由（1）知，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ． 答：山脚应向外延伸到点． 24. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 解：四边形是矩形． 理由：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）由平行得，进而证明，推出，等量代换可得； （2）由等腰三角形三线合一，可得，再证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： （1）上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 （2）如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 （3）如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 【答案】（1） （2），作图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）由证明过程可知，的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以； （3）作交于点，连接，可证明，得，，即可证明，则． 【小问1详解】 解：由证明过程可知，的条件是： ， ∴推理的依据是全等三角形的判定定理“”； 【小问2详解】 解：如答案图2，设网格中每个小正方形的边长都为， 将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上， 由勾股定理得，， ∴，， ∴是直角三角形，且， ∴， 由平移得， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 作交于点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $