第三章 代数式 暑假自学达标试题 2026-2027学年初中数学人教版七年级上册

**基本信息** 2026-2027学年人教版七年级上学期代数式暑假自学单元卷，以基础巩固与创新应用为梯度，融合生活情境（如文具购买、花圃面积）与数学文化（杨辉三角、毕达哥拉斯形数），适配暑假自主学习，培养抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|代数式书写规范、求值、流程图计算|基础概念辨析，如第2题考查代数式书写要求| |填空题|5题|规律探究（杨辉三角）、相反数倒数应用|第14题结合杨辉三角培养推理意识| |解答题|8题|实际应用（草坪面积计算）、跨学科（密码学设计）、数学建模（折纸求和）|第23题通过折纸问题渗透转化思想，第20题密码学设计体现数学语言表达现实世界|

第3章 代数式 暑假自学达标试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上学期 一、单选题 1．某文具店笔记本单价为a元，圆珠笔单价为b元，购买3本笔记本、5支圆珠笔总费用为（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 5．已知时，代数式的值为14，则时，代数式的值为（　　） A． B． C．12 D．7 6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点．观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（     ） A．37 B．33 C．20 D．29 7．已知，当时，；当时，；当时，的值是（   ） A． B． C． D． 8．已知a，b互为倒数，x、y互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式的值为（     ）． A． B． C．1 D．7 9．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 10．观察下列等式：； ； ； 根据以上规律计算的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一种商品的标价为元，按标价的七折出售，则这件商品的售价是__________元． 12．呼和浩特市某景点的成人票价是每张元，儿童票价是每张元．某旅行团有名成人和名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元． 13．当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 14．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则______，______． 15．三个有理数，，之积是负数，其和是正数，当时，则________． 三、解答题 16．当，时，求多项式的值． 17．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 18．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 19．已知对于任意的都成立．求： (1)的值； (2)的值． 20．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“L d ”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L d →I a ，这样就能把密文“L d ”破译成明文“I a ”，从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间关系如下： 当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为． 请将密文破译成用英文字母表示的明文． (2)请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信． 21．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 22．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，，数轴上每个格代表一个单位长度． (1)若与互为相反数，则_______________； (2)若，求的值； (3)当原点在点的左侧时，试说明：整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 23．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D A A D C D A 1．A 解：∵ 笔记本单价为元，购买本， ∴ 购买笔记本的总费用为元， ∵ 圆珠笔单价为元，购买支， ∴ 购买圆珠笔的总费用为元， ∴ 购买两种商品的总费用为（元）． 2．C 解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 3．A 解：当时，， ， 所以输出的值为7． 4．D 解：∵ ， ∴． 5．A 解：当时，， 解得， 则当时， ． 6．A 先列举前三幅图中点的个数，以此类推即可解答． 解：第1幅图中的点数为1； 第2幅图中的点数为； 第3幅图中的点数为； …… 第10幅图中的点数为． 7．D 先代入求得，再代入得到，最后将代入并整体代入，算出． 解：把，代入， 得：， ∴， 把，代入， 得： ， 整理得， 把代入， 得：， 代入， 得：． 8．C 先求出，，，，再代入计算即可． 解：∵互为倒数，互为相反数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∴． 9．D 解：设的长度为米，则的长度为米， 则长方形花圃的面积为． 10．A 根据已知等式总结规律，再将所求式子变形，计算即可． 解：由已知等式可归纳出规律： 令，代入得： ． 11． 明确打折的含义，七折出售即按标价的倍出售，据此列出代数式即可. 解：已知商品标价为元，按标价的七折出售， 因此售价为元. 12． 利用“总价单价数量”，分别求出成人总票价、儿童总票价，再相加得到门票总费用． 解：成人票单价30元，一共名成人， 成人门票费用：元； 儿童票单价18元，一共名儿童， 儿童门票费用：元； 总费用成人费用儿童费用， 应付门票费用总和为：元． 13． 根据已知得出，进而将和代入代数式，即可求解． 解：∵当时，代数式值为2026， ∴，即， 当时，． 14． 通过观察数列中相邻两项的差，发现后一项比前一项依次增加，从而得出等于从加到的和，利用求和公式即可求解． 解：由题意得 ， ， ， ， ， ， 所以． 当时， ． 15． 解：三个有理数、、之积是负数，其和是正数， 、、中有1个负数． ． 将代入得：． 16． 直接把，分别代入 计算，即可作答． 解：∵， 则 ． 17．(1)， (2) （1）解：由题意可知，， 又， 相邻的三个数，，符合规律， ； （2）解：数列，，，，是理想数列， ， 即， ． 18．(1) (2) （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求出的值，最后整体代入计算即可． （1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 19．(1) (2) （1）解：令，代入， 可得，，即； （2）解：令，代入， 可得，即， 又，则：， 因此：. 20．(1)m a t h (2)见解析 （1）解：将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．如下表： 根据：当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为. 密文“26 2 19 7”对应的序号分别是“13 1 20 8”，这组序号对应的英文字母是“m a t h”. （2）当数据中明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号为，当数据中明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号为，按照此规定，将明码“”译成密码为（　　 ）. 明码h对应数字8，是偶数，密码为数字对应的字母r， 明码o对应数字15，是奇数，密码为数字对应的字母i， 明码p对应数字16，是偶数，密码为数字对应的字母v， 明码e对应数字5，是奇数，密码为数字对应的字母d， 所以将明码“”译成密码为“”. 21．(1) (2)草坪的面积是平方米 (3)购买草坪的总费用为6200元 （1）解：花坛的面积为平方米． （2）解：∵， ∴ ， ∴草坪的面积是平方米； （3）解：当，时，， ∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 22．(1) (2) (3)见解析 （1）解：∵与互为相反数， ∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1个单位为原点， ∴； （2）解：当时，往右移动2个单位长度是原点， 在原点的右侧，且距原点2个单位长度， ∴， 在原点的左侧，且距原点4个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当原点在点的左侧时，为负整数，，均为正整数， ，， ， 为正整数，除以3余数是2， 即整数，，的和除以3所得的余数一定是2． 23．(1) (2)， (3) （1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）根据示范的例子求解即可； （3）根据示范的例子求解即可． （1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为； （2）解：设， ∴， ∴，即； 设， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即，即； （3）解：令①， 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $