第15章 轴对称 暑假自学达标试题 2026-2027学年初中数学人教版八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年人教版八年级上学期轴对称单元暑假自学达标卷，覆盖轴对称核心知识，梯度设计适配自学检测，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|轴对称图形识别、坐标对称、镜面对称|基础概念辨析，结合生活情境（如电子钟镜面时间）| |填空题|6题|垂直平分线、等腰三角形性质、角度计算|聚焦性质应用，渗透分类讨论（如等腰三角形多解）| |解答题|8题|轴对称作图、全等证明、动态几何探究|综合题（如22题等边三角形综合证明、24题动态问题）强化推理与创新意识，适配核心素养要求|

第15章轴对称 暑假自学达标试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上学期 一、单选题 1.下列图形中是轴对称图形的是（) %业6 2.点M(-2,3) 关于x轴对称的点N的坐标为() A.(2-3) B.(2,3) c.（-2,-3) D.(3-2) 3.平面镜中看到电子钟示数为“02：05”，实际时间是（) A.50:20 B.50:50 C.05:02 D.20:50 4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E,F是AD上的两点，AB=AC,BC=4, AD=3,则图中阴影部分的面积是() A F B D A.12 B.6 C.3 D.4 5.在联欢晚会上，有AB、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢 凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应 放的最适当的位置在△ABC的() A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边上高的交点 D.三条垂直平分线的交点 P PP 6,如图，P是∠B1C内部一点，P关于B、AC的对称点分别是点、点B,连接 分别与AB,AC交于点M,点N,连接PM,PN,下列结论：①若∠BAC=30°，则 △PP 是等边三角形；②△P的周长符于线段P的长：回PA平分∠AMPV,G 2∠MPN+∠B1C=90°.正确的有() P B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 7.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D,AD=I2,点P是AD上一个动点，E是边 AB的中点，在点P运动的过程中，PE+PB的最小值是() P E D A.12 B.14 C.18 D.24 8.如图，己知∠ABC=60°，点P在边AB上，BP=10,点E,F在边BC上，PE=PF. 若BE=2,则EF的长为() C E P A.6 B.5 C.4 D.3 9.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标 是(m,) 经过2025次变换后所得的点A的坐标是() 第1次 第2次 第3次 第4次 关于y 衣关于x 关于 关于x 轴对称 轴对称 轴对称 轴对称 A.（m,n) B.（m,-n) C (m,-n) D (m,n) l0.如图，AD为LCAF的角平分线，BD=CD,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB 交BA的延长线于点F,则下列结论：①△CDE三△BDF;②CE=AB+DE;③ ∠BDC=∠BAC；④AC-AB=2AF；其中正确结论的序号有() F B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二、填空题 1.若点1a-34和点8(-1h+6关于”销对称，则点-6在第 象限 12.如图，在△ABC中，∠BAC>90,AB,AC的垂直平分线分别与BC交于点D,E,若 BC=4,则△ADE的周长是 l3.如图，AB=BC=CD=DE=EF,∠MEF=90°，则∠A的度数为 M B D F N 14.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线.若点A到直线 BD的距离AD为2，则BE的长为 B I5.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC,AB上，且BD=AE,AD与CE交于 点F.则∠DFC=度. B D 16.在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=108°，点E在边BC上（不与点B、点C重合）， 连接AE,若△AEC是等腰三角形，则∠BAE的度数为度， 三、解答题 17如图在平面直角坐标系中，△1BC各顶点的坐标分别为：A(4,0),B(-1,4),C(-3,) B C -5:-4:-3:-2-10 .12345 (I)请在图中作△A'B'C',使△AB'C和△ABC关于x轴对称，点A、B、C的对应点分别为 小、B、C;并请写出A八、B八、C的坐标： (2)求△ABC的面积 18.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线， E (1)若AC=6,△ABD的周长是13，求△ABC的周长 (2)若△ABC中，∠B=62,∠C=36°，求∠BAD的度数. 19.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DE∥AB,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F. D (1)求∠F的度数： (2)若C是DF的中点，DE=2,求CF的长. 20.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P. D (I)试探索∠BPC与∠BAC的关系： (2)若∠BPC=40°，求∠CAP的度数. 21.如图，ABCD,CE平分∠ACD,交AB于点E: E B D (I)尺规作图：过A作CE的垂线，垂足为F(保留作图痕迹，不写作法)： (2)在(1)的基础上，求证：CF=EF 22.如图，△ABC与△ADE都是等边三角形(AB>AD),BD和CE相交于点P，,连接AP. 备用图 (I)求证：BD=CE: (2)求∠APB,∠DPE的度数； (3)探索PA,PD,PE之间的数量关系，并说明理由. 23.如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,且BC=BD,点P是 边AC上一动点，连接BP,将△PBC沿BP翻折得△PBO A A D(P 图1 图2 图3 (1)求∠ABC的度数； (2)当点P与点D重合时，请仅用圆规在图2中确定点Q的位置（保留作图痕迹），并证明 AQ=CD: (3)连接A0,DO,当△AD0是等腰三角形时，求∠CBP的度数. 24.在等边△ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为△ABC外一点，且 ∠MDN=60°∠BDC=120BD=CD M,N AB,AC 探究：当分别在直线 上移动时， BM,CN.MN ,△AMN ,△ABC 之间的数量关系及 的周长与等边的周长的关系. B O D 图1 图2 图3 (I)如图L,当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN时，BM,CV,MN之间的数量关系是： L 此时。： (2)如图2，点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？ 写出你的猜想并加以证明： (3)如图3，当M,N分别在边AB,CA的延长线上时，若AW=x,则L=_(用x、Q表 示) 参考答案 题号 1 2 3 6 7 9 10 答案 B D D D A A D 1.B 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对 称图形，由此即可判断， 解：A,C,D选项中的图形不是轴对称图形，故A,C,D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意. 2.C 关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接按规律计算即可得到答案。 解：已知点M坐标为2,3)， N(-2,-3) :点M关于x轴对称的点N的横坐标为2，纵坐标为3，即 3.D 本题考查了镜面对称的性质.根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“02：05 ”整体左右翻转即可得到实际时间“20：50” 解：，镜中示数为“02：05”， .实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字0→0， 第二个数字2→5， 第三个数字0→0， 第四个数字5→2， .实际时间为20：50， 故选：D. 4.c 根据题意可得△ABC为轴对称图形，AD所在的直线为△ABC的对称轴，根据轴对称的性质 .r=S.c,并求出 可得 ,然后即可求出结论. 解：AB=AC,AD是BC边上的高， ∴.△ABC为轴对称图形，AD所在的直线为△ABC的对称轴， =S.CS.D= 1 1 S,4Bc=22 BC.AD=3cm2 :S5=S.Ae+S.ace+SpD =SABE+S.EBF+S.FBD S.ABD =3cm2 故选C 5.D 游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交 点即可 解：，游戏公平需要凳子到△ABC三个顶点A、B、C的距离相等， 又，·三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个项点的距离相等， :,凳子应放置在△ABC三边垂直平分线的交点处， 故选D 6.D 本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关 键。 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可· 解：：点P关于B、AC P 的对称点分别是点、点， .∠PAB=∠PAB∠PAC=∠AC AP=APAP=AP .AP=AP∠PAD=2∠BAC=60° △PE2A 是等边三角形，故①正确， 由轴对称可知， PM=PM PN=PN .CAPMN PM+MN+PN PM+MN+PN=PP 故②正确. △PAM≌△PAM(SAS)△PAN≌△PAN(SAS) 由轴对称可知， ∴.∠APM=∠APM∠APN=∠APN APAP ∴.∠APM=∠APN .∠APM=∠APN ∴PA平分∠MPN,故③正确. :'∠APM=∠APM∠APN=∠AP,N ∴.∠MPN=∠APM+∠APN=∠APN+∠APM .'∠PAP+∠APM+∠APN=180° .2∠BAC+∠MPN=180° 。∠MPN+∠BAC=90°，故④正 7.A 连接CP,CE,由等边三角形的性质，可得AB=BC,CE⊥AB,BD=CD,可得 PB=PC,从而可得当点P为AD与CE的交点时，PE+PB取得最小值，最小值为CE, 由△ABC的面积可得CE=AD,即可得PE+PB的最小值. 解：连接CP,CE, D :△ABC是等边三角形， .'AB=BC, 又：AD⊥BC于点D, .BD=CD. :点P是AD上一个动点， .PB=PC, .PE+PB=PE+PC≥CE」 当点P为AD与CE的交点时，PE+PB取得最小值，最小值为CE, :在等边△ABC中，E是边AB的中点， CE⊥AB 1 AB=BC, S.ie=ABCE=BCAD 2 .CE=AD=12, .PE+PB的最小值是12. 故选：A. 8.A 过点P作PG⊥BC于点G,利用含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质进行 求解. 解：如图，过点P作PG⊥BC于点G, C .∠PGB=90° ∴.∠BPG=90°-∠ABC=30°， 86-78p-x10-5, ∴.GE=BG-BE=5-2=3, .PE=PF, .EF=2GE=2×3=6 9.A 解：根据题意， 4m,川第1次变换（关于y轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 （-m,n) 第2次变换（关于x轴对称)：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得(-m,-m): 第3次变换（关于' (m,-n) 轴对称)：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 第4次变换（关于x轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得(m,): ·点A的坐标每4次变换循环一次， 2025÷4=506…1, ~经过2025次变换后所得的点A的坐标与第1次变换后的坐标相同，即为 （-m,n) 10.D 根据全等三角形的判定证明①正确；再证明△ADF≌△ADE(HL),得到AF=AE,证明 CE=AB+AE,故②错误；设AC与BD交于点O,证明∠DCE=∠DBF,得到③正确： 根据AC-AB=CE+AE-AB=2AE=2AF证明④正确. 解：：DF⊥AB,DE⊥AC,AD为∠CAF的角平分线， ∴.DF=DE .BD=CD :∴.ACDE≌ABDF(HL) ,故①正确： :.CE=BF, ·AD=AD ∴.△ADF≌△ADE(HL) ..AF=AE BF=AB+AF CE=AB+AE,故②错误； 设AC与BD交于点O,如图， .'△CDE≌△BDF .∠DCE=∠DBF .·∠AOB=∠COD ∠BDC=∠BAC,故③正确； .·AF=AE,CE=AB+AE :AC-AB=CE+AE-AB=AB+AE+AE-AB=2AE=2AF,故④正确. 11. 本题考查了轴对称，判断点所在的象限，关于y轴对称对称的两个点的横坐标互为相反数， 纵坐标相等，据此列式计算，即可作答， 解：点 如-3利和点B(-16+0)关于y辅对称 .a-3+(-1)=0,4=b+6 解得a=4,b=-2, :2 在第一象限， 故答案为：一. 12.4 本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性 质、 利用线段垂直平分线的性质，得出相等的线段，然后利用三角形的周长公式即可求解。 解：：AB,AC的垂直平分线分别与BC交于点D,E, .DA=DB,EA=EC ∴.△ADE的周长为DA+DE+EA=DB+DE+EC=BC=4, 故答案为：4 13.18°18度 本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题 关键.设∠A=x,先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得∠CDB=∠CBD=2x, ∠DEC=3x,再根据等边对等角和外角的性质求解即可. 解：设∠A=x, ∠A=∠ACB .∠A=∠ACB=x, .∠CBD=2x, :BC=CD」 .∠CBD=∠CDB=2x, .∠DCE=3x, CD=DE .∠DCE=∠CED=3x, .∠EDF=4x, DE EF. .∠EDF=∠EFD=4x. ∠MEF=5x, ∠MEF=90°， .5x=90°， .x=18 .∠A=x=18°， 故答案为：18° 14.4 延长AD、BC交于点F,利用角平分线性质和全等三角形证明，得出AF的长度，再通过 角度关系证明三角形全等，从而得到BE=AF. 解：延长AD、BC交于点F, DA E 平分 ◇ C B.:BD ∠ABC AD⊥BD∠ACB=90° ,∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=9O°， .BDBD, :AABD≌△FBD(ASA), .AD=FD=2.AF=AD+FD=4. :△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， .∠BEC+∠CBE=90° 又：∠F+∠CBE=90°， .∠F=∠BEC, 又，∠ACB=∠ACF=90°，AC=BC, △ACF≌△BCE(ASA), .BE=AF=4」 故答案为：4. 15.60 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由等边三 角形的性质可得BA=AC,∠CB1=∠B1C=60°，即可 △BAD≌△ACE(SAS) 得到 ∠BAD=∠ACE,再根据三角形的外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键. 解：，△ABC是等边三角形， .BA=AC,∠CBA=∠BAC=60°， 即∠DBA=∠EAC, 又BD=AE, △BAD≌△ACE(SAS) .∠BAD=∠ACE」 :∠DFC为△ACF的一个外角， .∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=6O°， 故答案为：60 16.36或72 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由 AB=AC,∠BAC=108°，求出∠B=∠C=36°，分两种情况：当EC=AC时，当AE=CE 时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键。 解：AB=AC,∠BAC=108°， &∠B=2C=180-∠B1C)-36°， 当EC=AC时，如图： B E ∠A8c=080-∠C)=72, .∠BAE=∠AEC-∠B=72°-36°=36° 当AE=CE时，如图： E ∴.∠CAE=∠C=36°， .∠AEC=180°-∠C-∠CAE=108°. .∠BAE=∠AEC-∠B=108°-36°=72°， 综上，∠BAE的度数为36°或72°， 故答案为：36或72. 17.(1) △AB'C'即为所求： 珠 B 3 C A: -5:-4-3-2-10 士2745： B A(4,0)B'(-1,-4)C(-3,-1) 23 (②)2 (1)略 (2)S△1c=7×4- 1x7-x2x3-1 2 2 4x5=23 18.(1)19 (2)46° (I)根据线段垂直平分线的性质易得到△ABD的周长=AB+BC,然后计算即可： (2)根据三角形内角和求出∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C=36°， 然后求得∠BAD的度数. (1),DE是AC的垂直平分线， .'DA=DC, △ABD的周长是13， .AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13. ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19; (2)在△ABC中，∠B=62,∠C=36°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=82°. DA=DC .∠DAC=∠C=36° .∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46° 19.(1)30° (2)2 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握 相关的判定和性质， (1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解： (2)先根据直角三角形的性质求出DF=2DE=4,根据C为DF的中点，即可求解. (1)解：.△ABC是等边三角形， .∠B=60°， :DE∥AB, .∠EDC=∠B=60°， ,EF⊥DE, .∠DEF=90°， .∠F=90°-∠EDC=30°： (2)解：，∠DEF=90°，∠F=30°， .DF=2DE=4, C为DF的中点， :CF-1DF-2 2 20.(I∠BPC=)∠BAC 2 (2)50° CD解：∠BPC=BAC,理由如下： 2 ,∠PCD=∠PBC+∠BPC, ∴.∠BPC=∠PCD-∠PBC, ·PB,PC分别平分∠ABC,∠ACD, :∠BPC-=∠ACD∠ABC-(ACD-∠ABC), 2 2 ∠ACD=∠ABC+∠BAC, ,∠ACD-∠ABC=∠BAC, ·∠BPC= ZBAC (2)解：如图，过点P作PO⊥BD于点O,PR⊥AC于点R,PM⊥BA交BA延长线于点 M, P OD :PB,PC分别是∠ABC,∠ACD的平分线， ..PO=PM,PO=PR. .PR=PM, .点P在∠CAM的平分线上， 即PA平分∠CAM, 由(1)得∠BAC=2∠BPC=80°， .∠CAM=100°， .<CAP= 2<CAM=50 21.(1)见解析 (2)见解析 (1)解：如图，AF即为所求： B (2)证明：AB‖CD :.∠AEC=∠ECD ,CE平分∠ACD, ∴.∠ACE=∠ECD .∠AEC=∠ACE, .AC=AE, 又，AF⊥CE, 点F是CE的中点，即CF=EF. 22.(1)见解析： (2)∠APB=60°，∠DPE=60°： (3)PE=AP+PD,见解析. (I)证明：~△ABC与△ADE都是等边三角形， ∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE, ∴.∠BAD=∠CAE 在△BAD与△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△BAD≌△CAE, :.BD=CE: (2)解：△BAD≌△CAE, ∴.∠AEC=∠ADB, :∠ANE=∠DNP, LDPE=LDAE=60°： .∠BPE=120° 作AG⊥BD,AH⊥CE, ,△BAD≌△CAE,BD=CE, :AG=AH, .PA平分∠BPE, .∠APB= ∠BPE=60° (3)解：PE=AP+PD 证明：如图，在线段PE上截取OE=PD,连接AO, A ·△BAD≌△CAE ∠BDA=∠CEA. 在△AOE与△APD中， OE=PD LBDA=∠CEA AE=AD △AOE≌△APD, .AP=AO,∠PAD=∠OAE ∠PA0=∠DAE=60°， ∴·△APO是等边三角形， ∴，AP=PO .PE=PO+OE, .PE AP+PD 23.(1)∠ABC=72 (2) 如图，点Q即为所求： D(P) B 图2 AB=AC,BD=BC,∠ABC=72° .∠BDC=∠C=∠ABC=72°， 连接D0, ,将△PBC沿BP翻折得△PBQ, .BC=BQ,∠CBP=∠DBQ=36°，CD=D0,∠BDC=∠BDQ=72°， .∠AD0=180°-72°-72°=36° .∠A=∠ADQ. A0=D0, A0=CD: (3)∠CBP的度数为54°或36°或48°或72° (1)解：：AB=AC. .∠ABC=∠ACB, :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC, .BC=DB ∴∠C=∠BDC. 设∠ABD=∠CBD=x,则∠ABC=∠C=∠BDC=2x, .∠A=∠BDC-∠ABD=x, .x+2x+2x=180°， .x=36°， ∠ABC=2×36°=72°： (2)略 (3)解：当A0=D0,如图2，点P与点D重合， ∠CBP=36°； 当AD=D0时，如图3， 图3 ·将△PBC沿BP翻折得△PBQ, :.BQ=BC,∠CBP=∠PBQ」 BD=BC=AD、 .DO=BO=BD ∠DBQ=60°， .∠CBD=36°， .∠CBQ=96° ∠CBP∠CB0=48 2 如图4，当A0=AD时， 图4 ,将△PBC沿BP翻折得△PBQ, .BQ=BC,∠CBP=∠PBQ. BD=BC=AD .AO=AD=BO=BD :D0=D0, .△ADO≌aBDg(SSS) ∠AD0=∠BD0=2×(180°-72)=54°， .∠BQD=∠BDQ=∠ADQ=54° .∠PBC=54°， 当AQ=D2时，点A与P重合， A(P) B ,∠CBP=72°， 综上所述，∠CBP的度数为54°或36°或48°或72° 2 24.(1)BM+NC=MN: (2)成立，理由见解析 3 3)29-3x (1)解：.DM=DN,∠MDN=60°， ∴.△MDN是等边三角形， .DM DN MN, ,△ABC是等边三角形， .∠A=∠ABC=∠ACB=60 BD=CD,∠BDC=120°， .∠DBC=∠DCB=30°， ∴.∠MBD=∠NCD=90°， 在RtABDM和RtACDN中， DM=DN BD=CD, RteBDM≌RtACDN(HL) .∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN, .DM=2BM,DN=2CN,AM=AN. :.MN=2BM=2CN=BM+CN,△AMN是等边三角形， ∴.AM=MN=2BM, AB=AM+BM =3BM, .AM:AB=2:3, .02 L3, 2 故答案为：BM+NC=MN,3: (2)(1)问的两个结论还成立： 证明：如图@，在NC的延长线上截取 M=BM DM ，连接 M B M D 图② :CM,=BM,∠MBD=∠M,CD=90°BD=CD ∴.△DBM≌△DCM,(SAS) .DM=DM,∠MDB=∠M,DC ∠MDM,=∠BDC=120° :∠MDN=60°，∠BDC=120° ∴.∠MDN=∠MDN=60° ..DN DN, ∴.△MDN≌△MDN(SAS) ..MN=MN=M C+NC=BM+NC ∴.△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AWN=AB+AC, 2 L3 (3)如图③，在CW上截取 CM=BM DM ，连接 M M 图③ △DBM≌△DCM 同(2)可证 ∴.DM=DM,∠MDB=∠M,DC ∠MDM,=∠BDC=120° ∠MDN=60°，∠BDC=120° .∠M,DN=∠MDN=60° ∴.∠M,DN=∠MDN=60° NDND,DM=DM 又 .aMDN≌△MDN(SAS) ..MN=M N .NC-CM=MN ∴.NC-BM=MN, :等边△ABC的周长为L, .AB= 3 △AMN O=MN+AN+AM 的周长 NC-BM+AN+AB+BM AN+AC+AN+AB =2AN+2AB =2x+2L. 3 1=0-3x, 3 故答案为：0-3x」