第15章 轴对称（暑假单元自测）新八年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学第15章轴对称单元自测卷，暑假复习适用，90分钟120分，覆盖轴对称图形识别、坐标对称、中垂线性质等核心考点，通过基础到创新的梯度设计检测学习成果。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|轴对称图形识别（1）、坐标对称（2）、中垂线交点（5）|结合平面镜成像（3）考查应用意识，动态几何（8）培养空间观念| |填空|5/15|尺规作图（12）、折叠性质（14）、等边三角形中线（15）|中垂线与周长计算（13）体现推理能力，坐标对称（11）强化符号意识| |解答|8/75|坐标作图（16）、新定义“同类点”（23）、等腰直角三角形综合（21）|尺规作图证明（17、22）发展几何直观，动点探究（20）突出创新意识，贴合中考综合题命题趋势|

第15章 轴对称 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 2．点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接按规律计算即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 3．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：∵镜中示数为“”， ∴ 实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字， 第二个数字， 第三个数字， 第四个数字， ∴ 实际时间为， 故选：D． 4．如图，在△ABC中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得为轴对称图形，所在的直线为的对称轴，根据轴对称的性质可得，并求出，然后即可求出结论． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴为轴对称图形，所在的直线为的对称轴， ∴ ∴ 故选C． 5．在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 6．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形，故①正确． 由轴对称可知，，， ，故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ， ． ． 平分，故③正确． ，， ． ， ． ，故④正确． 7．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】A 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 8．如图，已知 ，点P在边上，，点，在边上，．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质得出，根据三线合一可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，经过2025次变换后所得的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知点A的坐标每4次变换为一个循环周期，然后根据轴对称的性质，分别写出前4次变换后的坐标，结合的余数确定最终坐标即可． 【详解】解：根据题意， 第1次变换（关于 轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 ； 第2次变换（关于 轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 ； 第3次变换（关于 轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 ； 第4次变换（关于 轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 ； 点的坐标每4次变换循环一次， ， 经过2025次变换后所得的点的坐标与第1次变换后的坐标相同，即为 ． 10．如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确． 【详解】解：，为的角平分线， ， ，故①正确； ， ，故②错误； 设与交于点，如图， ，故③正确； ，故④正确． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴， ∴. 12．如图，在中，，，，．以点为圆心，以长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，作线段等于已知线段，线段垂直平分线的判定与性质，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于，根据作图步骤可得，，得到垂直平分，则，，然后利用三角形的面积求得的长，即可解答． 【详解】解：如图所示，连接，，设与相交于， 根据作图步骤可得，， 垂直平分，则，， 由得： ， ， 故答案为：． 13．如图，在中，垂直平分，若，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，再进行计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长为． 14．如图，在△ABC中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，交于，根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是，即可求出答案． 【详解】解：连接，交于，如图所示： ∵沿折叠和重合， ， 垂直平分，即和关于对称， ， ∴当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是， 的周长的最小值是． 15．如图，△ABC是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为：． (1)画出关于x轴对称的（点A、C分别对应、），并写出点、的坐标； (2)请在y轴上找一点P，满足线段的值最小． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析 【分析】（1）通过，找点，描点，连线画出，根据图形，写出点、的坐标即可； （2）作出点A关于y轴的对称点，连接与y轴于点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求, ，（4分） （2）解：如图，点P为所求．（8分） 17．（8分）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，结合，，证明，进一步可得结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质得出，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵为中垂线， ， ， 由作图可得，， ， ， ；（4分） （2）解：∵，， ∴， ∴， 根据题意， ， ．（8分） 18．（8分）如图，在△ABC中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先证明是线段的垂直平分线，从而可得，再根据等边对等角得出，结合可求得，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质得出，进而求得； （2）先根据的周长为20，得到，结合，可得，再根据，，可得，进而得到，从而可求得． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴；（4分） （2）解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．（8分） 19．（8分）如图，△ABC与△ADE关于直线对称，与的交点在直线上．若，，∠BAC=76°，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分线段 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先根据轴对称的性质得出，再根据，求出的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出，再根据求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴．（2分） （2）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴．（5分） （3）解：直线垂直平分线段．理由如下：如图， ∵，关于直线对称， ∴直线垂直平分线段．（8分） 20．（10分）△ABC是等边三角形，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点． (1)如图，当点在线段上时（不与点、点重合）作交于点，证明：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，连接，作交射线于点，连接，请根据题意补全图形，并探究线段、、的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，根据对称的性质得，然后证明，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，，根据对称的性质推出，证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；（5分） （2）解：补全图形如下，线段、、的数量关系：． 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴，（8分） ∴， ∴， 即．（10分） 21．（10分）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，连接． (1)若，求∠ADC的度数． (2)如图2，连接，若点F是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）证明，证明，即可求解； （2）延长到G，使得，连接，证明，推出，，再证明，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴；（4分） （2）证明：如图2中，延长到G，使得，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．（10分） 22．（10分）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在△ABC中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意作法即可求解； （）连接，，通过垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （4分） （2）证明：如图，连接，， 由作图可知，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴是的中点．（10分） 23．（13分）如图①，等腰△ABC中，，点在底边上(异于点，)，点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为的“同类点”． (1)如图③，以点为原点建立平面直角坐标系，在的正方形网格图上有一个，点，，均在格点上，在给出的网格图上有一个格点，使得点为△ABC的“同类点”，请写出符合条件的点坐标为 ； (2)如图②，平分，过射线上的点作，交射线于点，点为上一点，连接并延长交射线于点，若，，求证：点是的“同类点”； (3)凸四边形中，，，对角线、交于点，且，若点为的“同类点”，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）符合条件的点需要在的延长线上，同时能使为等腰三角形，在格点中分三种等腰情况逐一寻找； （2）利用平行线与角平分线求出角度，证为等腰三角形，结合定义可证明是同类点； （3）分、两种情况讨论，结合等边三角形与等腰三角形的性质，求出的两个可能度数． 【详解】（1）解：如图，为所有可能的点． 据图可知，在的延长线上，且能够使为等腰三角形的点有个， 当以为底边：； 当以为底边：，； 当以为底边：， 即符合条件的点有，，，．（4分） （2）证明：，， ， 平分， ， ， ， ， 点在上，点在的延长线上， 点是的“同类点”．（8分） （3）解：已知，，，点为的“同类点”， 分两种情况讨论： 如图，当， 则，为等边三角形， ， ， ， ， ；（10分） 如图，当， ， 则，， 可得，即． 综上，度数为或．（13分） 11 / 11 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 5．在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 6．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 8．如图，已知 ，点P在边上，，点，在边上，．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，经过2025次变换后所得的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____． 12．如图，在中，，，，．以点为圆心，以长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为________． 13．如图，在中，垂直平分，若，，则的周长为_______． 14．如图，在△ABC中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 15．如图，△ABC是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为：． (1)画出关于x轴对称的（点A、C分别对应、），并写出点、的坐标； (2)请在y轴上找一点P，满足线段的值最小． 17．（8分）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 18．（8分）如图，在△ABC中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 19．（8分）如图，△ABC与△ADE关于直线对称，与的交点在直线上．若，，∠BAC=76°，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 20．（10分）△ABC是等边三角形，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点． (1)如图，当点在线段上时（不与点、点重合）作交于点，证明：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，连接，作交射线于点，连接，请根据题意补全图形，并探究线段、、的数量关系． 21．（10分）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，连接． (1)若，求∠ADC的度数． (2)如图2，连接，若点F是的中点，连接，求证：． 22．（10分）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在△ABC中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：是的中点． 23．（13分）如图①，等腰△ABC中，，点在底边上(异于点，)，点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为的“同类点”． (1)如图③，以点为原点建立平面直角坐标系，在的正方形网格图上有一个，点，，均在格点上，在给出的网格图上有一个格点，使得点为△ABC的“同类点”，请写出符合条件的点坐标为 ； (2)如图②，平分，过射线上的点作，交射线于点，点为上一点，连接并延长交射线于点，若，，求证：点是的“同类点”； (3)凸四边形中，，，对角线、交于点，且，若点为的“同类点”，请直接写出所有满足条件的的度数． 11 / 11 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $