26.1 二次函数的概念同步练2026-2027学年上学期数学人教版九年级

**基本信息** 练习以二次函数概念为核心，通过基础辨析、公式应用到实际建模的三层递进设计，覆盖概念理解、符号运算到综合应用，适配新授课知识巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义及系数识别|单选2判断函数类型、填空7系数和计算，强化概念辨析| |进阶层|解析式转化与参数求解|解答11化为一般形式、12求二次函数参数，提升符号运算能力| |提高层|实际问题建模与新定义探究|解答14利润问题建模、16倍动点函数探究，发展应用意识与推理能力|

26.1 二次函数的概念 同步练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期 一、单选题 1．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（    ） A． B． C． D． 4．若函数是二次函数，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 6．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 二、填空题 7．在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 8． 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为________．（结果保留） 9．二次函数的二次项系数是______． 10．已知二次函数，当______时，图象经过原点． 三、解答题 11．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 12．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 13．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 14．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 15．如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 16．【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B D C A B 1．D 根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 2．B 根据二次函数的定义逐个判断即可． 解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数． 3．D 将函数解析式化简，得到各系数，计算即可． 解：， ∴二次项系数是2，一次项系数是， ∴， 故选：D． 此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键． 4．C 根据二次函数的定义，即可求解． 解：根据题意得， 解得， 故选：C． 本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 5．A 从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 6．B 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 7．0 分别得出二次项系数，一次项系数和常数项相加即可； ∵， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1， ∴； 故答案是0． 本题主要考查了二次函数一般式的认识，准确分析判断是解题的关键． 8． 根据圆的面积公式即可求解． 解：依题意，圆面积与的函数关系为， 故答案为：． 本题考查了列二次函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键． 9． 根据二次项系数的定义即可进行解答． 解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 10．1 本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法． 根据函数过原点，代入求解即可． 由题知函数过原点， ，解得． 故答案为：1． 11．(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. （1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 12．(1) (2) 本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． （1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 13．(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． （1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 14．(1) (2) 本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． （1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 15．(1) (2)23米 本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． （1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 16．（1）②③，（2），没有其他倍动点 本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 学科网（北京）股份有限公司 $