第一章 丰富的图形世界 单元测试题 2026—2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版七年级数学上册“丰富的图形世界”单元卷，以生活情境（如硬币、包装盒）和动手操作（纸盒制作）为载体，覆盖立体图形认识、展开折叠等核心知识，适配单元复习，发展空间观念与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆柱识别、正方体展开图等|如第1题以硬币等物体考查圆柱特征，体现数学眼光| |填空题|6/18|旋转体体积、长方体容积等|如第12题通过直角三角形旋转求体积，培养运算能力| |解答题|9/72|三视图绘制、纸盒制作等|如第24题设计无盖纸盒，发展应用意识与创新意识|

第一章 丰富的图形世界 单元测试题 2026—2027学年北师大版七年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．如图，在下面四个物体中，最接近圆柱的是（　　） A．烟囱 B．弯管 C．硬币 D．某种饮料瓶 2．在下列立体图形中，只要两个面就能围成的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，不能折成无盖的正方体的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（　　） A．大 B．伟 C．国 D．的 5．如图是学习小组设计制作长方体形状的包装盒后的余料，小明同学观察发现它恰好是由7个小正方形组成，现要将它折成一个正方体（小正方形之间至少有一条边相连），需要再剪去1个小正方形，则应剪去的小正方形的编号不能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 6．将下列图形绕虚线旋转一周能得到如图几何体的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，一个立方体的六个面上标着连续的正整数，若相对两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为（　　） A．75 B．76 C．78 D．81 8．将图1中的正方体沿部分棱剪开得到如图2所示的展开图，除了图1中描粗的棱（BF，AE，AD，CD）外，还需要剪开的三条棱为（　　） A．EF，EH，HG B．EF，EH，FG C．EH，HG，FG D．以上都不正确 9．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．20个棱长为acm的小正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（　　） A．100a2 cm2 B．60a2 cm2 C．30a2 cm2 D．10a2 cm2 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．将一个长方体截去一角变成一个如图的新几何体，这个新几何体有 　　 个面，　　 条棱，　　 个顶点． 12．一个直角三角形的两条直角边长分别是3cm和4cm，绕它的直角边所在直线旋转所形成的几何体的体积是 　　 cm3（π取3）． 13．一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则该长方体包装盒的容积为 　　 cm3． 14．如图是正方体的展开图，则正方体相对两个面上的数字之和的最大值是　　 ． 15．一块面积为875cm2的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为25cm，宽为高的3倍，则长方体盒子高为　　 cm． 16．工人师傅按照“最优化处理”打包多个同一款式长方体纸盒，其“最优化处理”是指：每相邻的两个纸盒必须以完全一样的面对接，最后打包成一个表面积最小的长方体，已知长方体纸盒的长xcm、宽ycm、高zcm都为整数，且x＞y＞z＞1，x+z＝2y，x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，若将六个此款式纸盒按“最优化处理”打包，其表面积为　　 cm2． 17．画出从正面、左面、上面看如图所示的几何体得到的形状图． ‍ 18．如图，这是一个正方体的平面展开图．若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为4，求x﹣y+z的值． 19．已知一个直八棱柱，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是8cm．回答下列问题： （1）这个八棱柱一共有多少个顶点？有多少个面？ （2）这个八棱柱的侧面积是多少？ 20．长方体饼干盒长10cm，宽5cm，高2cm，将两个饼干盒包装在一起，成为一个包装盒，最少需要多少平方厘米的包装纸？如果用彩带系在包装盒上打结，打结部分为30厘米，最少需要多少厘米的彩带？ 21．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的体积和表面积． 22．如图所示，长方形ABCD的长AB为10cm，宽AD为6cm． （1）把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，则旋转后的几何体是　　 ． （2）若用平面沿AB方向去截所得的几何体，所得截面形状是　　 ． （3）求截面的最大面积． 23．（1）如图所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 　　 （填序号）． （2）图A，B分别是题（1）中长方体的两种表面展开图，求得图A的外围周长为52，请你求出图B的外围周长． （3）第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长． 24．在数学实验课上，同学们认识了立体图形与平面图形的关系．老师提供了如图1所示的正方形卡纸，让同学们做成无盖纸盒． （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图2中的图形经过折叠能制成无盖正方体纸盒的有 　①②　 （填序号）； （2）小姜准备将正方形卡纸的四角各剪去一个小正方形，折成无盖的长方体纸盒．请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； （3）若正方形卡纸的边长为ycm，剪去的小正方形的边长为xcm．为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时y与x之间的数量关系． 25．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是_____　 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中a＝30cm，b＝5cm． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为 　　 cm2； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 　　 cm3； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 　　 倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 　　 ． （4）若无盖（缺长宽为6，4的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为 　　 ． 参考答案 第一章 丰富的图形世界 单元测试题 2026—2027学年北师大版七年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．如图，在下面四个物体中，最接近圆柱的是（　　） A．烟囱 B．弯管 C．硬币 D．某种饮料瓶 【解答】解：最接近圆柱的是硬币． 故选：C． 2．在下列立体图形中，只要两个面就能围成的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、球是由一个曲面组成，故本选项错误； B、长方体是有六个面围成，故本选项错误； C、圆柱体是两个底面和一个侧面组成，故本选项错误； D、圆锥是一个底面和一个侧面组成，故本选项正确． 故选：D． 3．如图，不能折成无盖的正方体的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、B、C都可以折叠成一个无盖的正方体盒子． D折叠后缺少一个侧面，故不能折叠成无盖的正方体盒子． 故选：D． 4．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（　　） A．大 B．伟 C．国 D．的 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“伟”与面“国”相对，面“大”与面“中”相对，“的”与面“梦”相对． 故选：D． 5．如图是学习小组设计制作长方体形状的包装盒后的余料，小明同学观察发现它恰好是由7个小正方形组成，现要将它折成一个正方体（小正方形之间至少有一条边相连），需要再剪去1个小正方形，则应剪去的小正方形的编号不能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【解答】解：根据只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图，应剪去的小正方形的编号不能是6． 故选：D． 6．将下列图形绕虚线旋转一周能得到如图几何体的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．三角形绕轴旋转形成圆锥，不符合题意； B．梯形绕轴旋转形成圆台，不符合题意； C．扇形绕轴旋转形成半球，不符合题意； D．矩形绕轴旋转形成圆柱，与目标几何体一致，符合题意． 故选：D． 7．如图，一个立方体的六个面上标着连续的正整数，若相对两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为（　　） A．75 B．76 C．78 D．81 【解答】解：∵六个面上标着连续的正整数， ∴六个数可能是10，11，12，13，14，15或9，10，11，12，13，14， 若六个数为9，10，11，12，13，14，则10与13处于相对面，与实际图形不符； 若六个数为10，11，12，13，14，15，则符合题意，这六个数的和为3×（10+15）＝75， 故选：A． 8．将图1中的正方体沿部分棱剪开得到如图2所示的展开图，除了图1中描粗的棱（BF，AE，AD，CD）外，还需要剪开的三条棱为（　　） A．EF，EH，HG B．EF，EH，FG C．EH，HG，FG D．以上都不正确 【解答】解：依题意，认真观察图， ∴除了图1中描粗的棱外，还需要剪开的三条棱为EF，EH，FG， 故选：B． 9．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个． 所以图中的小正方体最多5块． 故选：C． 10．20个棱长为acm的小正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（　　） A．100a2 cm2 B．60a2 cm2 C．30a2 cm2 D．10a2 cm2 【解答】解：从正面和后面看，能看到1+2+3+4＝10（个）正方形， 从左面和右面看，能看到1+2+3+4＝10（个）正方形， 从上面和下面看，能看到1+2+3+4＝10（个）正方形， ∴图形的表面积为：（10+10+10）•a•a×2＝60a2（cm2）． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．将一个长方体截去一角变成一个如图的新几何体，这个新几何体有 　7　 个面，　12　 条棱，　7　 个顶点． 【解答】解：长方体截去一角变成一个如图的新几何体，这个新几何体有7个面，有12条棱，7个顶点． 故答案为7，12，7． 12．一个直角三角形的两条直角边长分别是3cm和4cm，绕它的直角边所在直线旋转所形成的几何体的体积是 　36或48　 cm3（π取3）． 【解答】解：绕它的直角边所在的直线旋转所形成几何体是圆锥， ①当绕它的直角边为3cm所在的直线旋转所形成几何体的体积是：π×42×3＝16π＝48cm3， ②当绕它的直角边为4cm所在的直线旋转所形成几何体的体积是：π×32×4＝12π＝36cm3， 故答案为：36或48． 13．一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则该长方体包装盒的容积为 　800　 cm3． 【解答】解：20﹣15＝5（cm）， 15﹣5＝10（cm）， 26﹣10＝16（cm）， 5×10×16＝800（cm3）． 答：其容积为800cm3． 故答案为：800． 14．如图是正方体的展开图，则正方体相对两个面上的数字之和的最大值是　4　 ． 【解答】解：根据题意可知，相对面的数字分别为﹣2和6，2和﹣4，﹣3和5，它们的和分别为：﹣2+6＝4、2+（-4）＝﹣2、﹣3+5＝2， ∴相对两个面上的数字之和的最大值是4． 故答案为：4． 15．一块面积为875cm2的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为25cm，宽为高的3倍，则长方体盒子高为　5　 cm． 【解答】解：设长方体盒子高为xcm，则宽为3xcm，剪去的正方形边长为xcm， （25+2x）•（3x+2x）＝875， 解得x1＝5，x2＝﹣17.5（不合题意，舍去）， ∴长方体盒子高为5cm， 故答案为：5． 16．工人师傅按照“最优化处理”打包多个同一款式长方体纸盒，其“最优化处理”是指：每相邻的两个纸盒必须以完全一样的面对接，最后打包成一个表面积最小的长方体，已知长方体纸盒的长xcm、宽ycm、高zcm都为整数，且x＞y＞z＞1，x+z＝2y，x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439，若将六个此款式纸盒按“最优化处理”打包，其表面积为　856　 cm2． 【解答】解：∵x+y+z+xy+xz+yz+xyz＝439， ∴x+y+z+xy+xz+yz+xyz+1＝440， ∴（x+1）（y+1）（z+1）＝440， ∵x+z＝2y， ∴（x+1）+（z+1）＝2（y+1）， ∵z+1≥3，y+1≥4，x+1≥5， 其中5+11＝2×8， ∴x+1＝11，y+1＝8，z+1＝5， 解得x＝10，y＝7，z＝4， 最优化处理时，打包按6个纸盒以2×3的方式摆放，可得表面积为4xy+12yz+6xz， 表面积为4×10×7+12×7×4+6×10×4＝856（cm2）． 故答案为：856． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．画出从正面、左面、上面看如图所示的几何体得到的形状图． ‍ 【解答】解：（1） （2） 18．如图，这是一个正方体的平面展开图．若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为4，求x﹣y+z的值． 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “x”与“5”，“y”与“﹣3”，“z”与“1”是相对面， 由于相对面上的两个数字之和均为4， 所以x+5＝4，y﹣3＝4，z+1＝4， 解得x＝﹣1，y＝7，z＝3， 所以x﹣y+z＝﹣1﹣7+3＝﹣5． 19．已知一个直八棱柱，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是8cm．回答下列问题： （1）这个八棱柱一共有多少个顶点？有多少个面？ （2）这个八棱柱的侧面积是多少？ 【解答】解：（1）直八棱柱有16个顶点，10个面， 答：这个八棱柱一共有16个顶点，10个面； （2）因为底面边长都是5cm，侧棱长都是8cm． 所以侧面展开后是长为5×8＝40cm，宽为8cm的长方形， 因此侧面积为40×8＝320（cm2）， 答：这个八棱柱的侧面积是320cm2． 20．长方体饼干盒长10cm，宽5cm，高2cm，将两个饼干盒包装在一起，成为一个包装盒，最少需要多少平方厘米的包装纸？如果用彩带系在包装盒上打结，打结部分为30厘米，最少需要多少厘米的彩带？ 【解答】解：2×2＝4（厘米）， （10×5+10×4+5×4）×2 ＝（50+40+20）×2 ＝110×2 ＝220 （平方厘米）， 10×2+5×2+4×4+30 ＝20+10+16+30 ＝76（厘米）． 答：最少需要220平方厘米的包装纸，最少需要76厘米的彩带． 21．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的体积和表面积． 【解答】解：根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm， 下面的长方体长8mm，宽6mm，高2mm， ∴立体图形的体积是：4×4×2+6×8×2＝128（mm3）， ∴立体图形的表面积是：4×4×2+4×2×2+4×2+6×2×2+8×2×2+6×8×2﹣4×2＝200（mm2）． 22．如图所示，长方形ABCD的长AB为10cm，宽AD为6cm． （1）把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，则旋转后的几何体是　圆柱　 ． （2）若用平面沿AB方向去截所得的几何体，所得截面形状是　长方形　 ． （3）求截面的最大面积． 【解答】解：（1）把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）∵把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，其底面半径为6cm，高为10cm， ∴用平面沿AB方向截得的几何体，截面形状是长方形， 故答案为：长方形； （3）∵用平面沿AB方向截得的几何体，截面形状是长方形，截面长方形当平面AB经过圆柱的底面圆心时，截面面积最大，而底面直径为6×2＝12cm， ∴截面长方形的最大面积为12×10＝120（cm2）． 23．（1）如图所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 　①②③　 （填序号）． （2）图A，B分别是题（1）中长方体的两种表面展开图，求得图A的外围周长为52，请你求出图B的外围周长． （3）第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长． 【解答】解：（1）下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有：①②③， 故答案为：①②③； （2）图B的外围周长＝4×6+4×4+6×3＝58， 答：图B的外围周长是58； （3）外围周长最大的表面展开图，如图所示： 由图可知：外围周长＝8×6+4×4+3×2＝70， 答：它的外围周长是70． 24．在数学实验课上，同学们认识了立体图形与平面图形的关系．老师提供了如图1所示的正方形卡纸，让同学们做成无盖纸盒． （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图2中的图形经过折叠能制成无盖正方体纸盒的有 　①②　 （填序号）； （2）小姜准备将正方形卡纸的四角各剪去一个小正方形，折成无盖的长方体纸盒．请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； （3）若正方形卡纸的边长为ycm，剪去的小正方形的边长为xcm．为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时y与x之间的数量关系． 【解答】解：（1）图2中的图形经过折叠能制成无盖正方体纸盒的有①②． 故答案为：①②． （2）如图所示： （3）由题意得到：四个小正方形的边长的和等于大正方形的边长， ∴y＝4x． 25．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 　①③④　 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中a＝30cm，b＝5cm． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为 　400　 cm2； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为 　1000　 cm3； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 　2　 倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 　70　 ． （4）若无盖（缺长宽为6，4的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为 　44　 ． 【解答】（1）解：根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①长方体纸盒的底面面积为（a﹣2b）2＝（30﹣2×5）2＝400（cm2）， ∴长方体纸盒的底面积为400cm2， 故答案为：400； ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为5×200＝1000（cm3）， 故答案为：1000； （2）由（1）可知：无盖盒子的体积：5×400＝2000（cm3）， 有盖盒子的体积：1000cm3， ∵2000÷1000＝2， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍， 故答案为：2； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为6×8+4×4+3×2＝70， 故答案为：70； （4） ∴该长方体表面展开图的最小外围周长为3×8+4×2+6×2＝44， 故答案为：44． 学科网（北京）股份有限公司 $