精品解析：山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高二下学期第四次阶段测试数学试题

2025-2026学年下学期高二年级第四次段测 数学学科试题 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 若 则 在处的瞬时变化率为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ， 将代入导函数得 ， 因此在处的瞬时变化率为. 2. 在的展开式中项的系数是（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】将原式转化为，再利用两个二项展开式求含项的系数． 【详解】， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 所以展开式中含有项的系数为． 3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质可得，进而求得结果. 【详解】由是等差数列的前项和， . 故选：D. 4. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象得到的单调区间，从而得到的取值情况，从而得解. 【详解】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，时， 时，时， 所以不等式的解集为. 故选：C 5. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可. 【详解】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828； 828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种 若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种； 则总共有16种， 故选：B. 6. 设数列满足，则的前2026项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 7. 甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲类水果的平均质量为 B. C. D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性确定均值 ，根据曲线的“瘦高”与“矮胖”确定标准差  的大小关系，利用密度函数最大值公式判断  的数值. 【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，曲线关于直线  对称，且在  处取得最大值 . 由图可知，甲曲线关于直线  对称，乙曲线关于直线  对称， 所以 ，， 则甲类水果的平均质量为  ，且 ，故选项 A、C 说法正确； 因为甲曲线比乙曲线更“瘦高”，说明甲类水果的质量分布更集中， 所以 ， 对于随机变量 ，其分布函数  单调递增， 因为 ，所以 ，故选项 B 说法正确； 由图可知，乙类水果质量服从的正态分布密度函数的最大值为 ， 即 ， 解得 ，故选项 D 说法错误. 8. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的值域是． B. 当时，有一个零点． C. 若过点至少可以作曲线的三条切线，则 D. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】A：求导判断单调性求出最大值，结合极限得到值域； B：当时，方程仅有一解，即函数有一个零点； C：转化为方程根的个数，分析函数图像，三条切线对应，不含等号； D：利用切线平行条件求出最近点，代入距离公式算出最小值. 【详解】对于选项A ，因为，所以， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减； 的最大值是， ，， 得到的值域是，A 正确； 对于选项B ，当时，令，得； 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减； 的最大值是，， ，，画出图像，由图可知， 时，函数与只有一个交点，所以方程只有一个根， 即只有一个零点，B 正确； 对于选项C ，设切点是，切线的斜率， 所以切线方程是，代入化简得：， ，， 令得，令得或， 所以函数的单调递增区间是， 单调递减区间是，， 极小值，极大值, 当直线与有 3 个交点时，由图可得，C 错误； 对于选项D ，当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 令，即， 因为在上单调递增，且，所以有唯一解， 对应点； 点到直线的距离是， 所以点到直线距离的最小值为，D 正确. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图，则（ ） A. B. 第一四分位数为370； C. 首次故障时间小于365天的概率估计值为0.15； D. 已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，则，． 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求出的值；根据百分位数的定义计算第一四分位数；根据频率估计概率求出；利用二项分布的期望和方差公式计算和． 【详解】选项A：由频率分布直方图可知，组距为，所有小矩形的面积之和为， 则， 解得，故选项A错误； 选项B：前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以第一四分位数位于第三组内， 设为，则，解得，故选项B正确； 选项C：首次故障时间小于天的频率为， 所以概率估计值，故选项C正确； 选项D：由题意知， 所以， 故选项D正确． 10. 某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A通过固定丙的位置，转化为剩余元素的全排列问题求解；选项B利用容斥原理，从总排列中扣除甲第一个或乙最后一个的情况，并补回重叠部分；选项C在条件概率下，将问题简化为乙不在最后一个位置的排列计数；选项D结合条件概率公式，通过计算事件交集与事件的概率比值进行推理. 【详解】总共有名同学，全排列总数为： 选项A：事件为丙第一个出场，丙固定第一个后，剩余人全排列，共种， 因此：，A正确； 选项B：用容斥原理计算的排列数：总排列甲第一排列乙最后排列甲第一且乙最后排列， 即， 因此：，B正确； 选项C：由条件概率公式： 发生时丙已经第一个出场，自然满足“甲不是第一个”，因此只需满足“乙不是最后一个”， ，：乙不能在最后，乙有个位置可选，剩余人全排列， 即，因此：，C错误； 选项D：根据条件概率公式，已知，， 因此：，D正确. 11. 已知函数，，则下列说法正确的有（   ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 对任意，在定义域内恒有两个极值点 C. 若在处取得极值，则的极大值为 D. 若在上的最小值为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，当时，求切点和切线斜率，根据点斜式即可写切线方程；B选项，求导，存在只有一个极值点的情况，从而作出判断；C选项，由极值点得，借助分析单调性判断在处取得极大值，从而求出极大值；D选项，讨论在上的符号，当时，单调递增，最小值为，当时，不满足条件，即可进行判断. 【详解】对于A：当时，，所以， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，故A正确； 对于B：因为， 令，得或. 当时，不在定义域内，此时只有一个极值点，故B错误； 对于C：因为在处取得极值，所以，即， 所以，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在时取到极大值，极大值为，故C正确； 对于D：，因为，所以只需讨论. 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以最小值为，成立； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以最小值为， 令，即，因为，所以需， 设，则，所以，无解； 当时，，所以，所以在上单调递减， 所以最小值为，令， 则，验证可知不成立，综上，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_________ 【答案】 【解析】 【详解】由图象可知，函数的图象在点处的切点横坐标为， 切线方程为，其斜率为， 所以． 又因为切点在切线上， 将代入切线方程，得， 所以． 故． 13. 在等比数列中，，，成等差数列，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差中项的定义列式求出等比数列的公比，进而求得. 【详解】设等比数列的公比为，由，，成等差数列， 得，则，整理得， 所以. 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3， 5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲得3分的概率为_________；甲的总得分不小于2的概率为_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】设甲在四轮的总得分为，分析可知，记，结合组合数求，进而根据分布列性质以及期望公式求即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种， 从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数 （1）若函数在时取得极值，求m的值； （2）在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 16. ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%. （1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%， （i）求ChatGPT的回答被采纳的概率； （ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率. 【答案】（1） 0 1 2 3 P （2）（i）0.815；（ii） 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，直接用公式求解. （2）利用全概率公式求解ChatGPT的回答被采纳的概率；利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可. 【小问1详解】 易知的所有可能取值为 此时，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 则. 【小问2详解】 （i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A， 记“输入的问题有语法错误”为事件B， 记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C， 则，，，. . （ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为 . 17. 已知数列满足，且， （1）求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. （2）若数列满足，记的前项和为，证明：． 【答案】（1）已知 ，，显然 ， 两边同时取倒数得，所以， 所以数列为首项，公差是的等差数列， 所以，所以，即的通项公式是； （2）由（1）知，所以 ， 则① 所以② 由①②得 ， 所以， 因为，所以单调递增， 所以, 因为，所以 综上，，得证. 【解析】 【分析】（1）对递推式两边同时取倒数，证明数列是等差数列，再求出的通项公式； （2）利用（1）求出的通项公式，使用错位相减法求，判断数列单调递增，完成不等式证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 有甲，乙两个不透明的盒子，甲盒子中有五个除颜色外大小完全相同的小球，其中红球有3个，黑球有2个，乙盒子中无球.某人通过投掷一枚质地均匀的骰子，进行摸球游戏，规则如下：每次先从甲盒子中随机摸出一球，随即投掷一次骰子，若骰子向上点数为质数，则将该球放入乙盒子：否则将该球放回甲盒子，当甲盒子中无球时，游戏停止. （1）求游戏进行三次后，乙盒子中球个数X的分布列和期望； （2）求游戏进行三次后，乙盒子中恰有红球，黑球各1个的概率； （3）设游戏进行到第n（，）次后停止的概率为，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 3 P （2） （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用二项分布来研究分布列即可； （2）利用条件概率乘法公式，结合分类讨论思想来求解该事件的概率； （3）利用二项分布求解概率，利用数列递推思想来求最大值即可. 【小问1详解】 投掷一次骰子，向上点数为质数的概率为，由题知，， 则，，，，则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则其期望为. 【小问2详解】 记“此人投掷三次骰子后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第i次摸出红球，并且投掷出质数”，，2，3， 记“第j次摸出黑球，并且投掷出质数”，，2，3， 记“第k次摸出黑球或红球，并且没有投掷出质数”，，2，3， 所以， 又，，， 所以， 同理， 所以. 【小问3详解】 第n次投掷后游戏停止的情况是：前次投掷出质数恰好为4次，没投掷出质数次，且第n次骰子投掷出质数时游戏停止， 所以， 即， 令，解得，令，解得，即， ，所以的最大值. 19. 已知函数，其中为非零常数. （1）讨论的极值点个数，并说明理由； （2）若， ①证明：在区间内有且仅有个零点； ②设为的极值点，为的零点，且，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，由此可确定函数的极值点个数； （2）（i）利用导数分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理即可证得结论成立； （ii）由题意可得，代入可得，消去参数得出，由可得出，可得出，在不等式两边取自然对数即可得出不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，. ①当时，对任意的，恒成立，此时，函数无极值点； ②当时，令，则， 函数在区间上单调递减，，， 所以，存在唯一的，使得， 当时，，即，此时，函数单调递增； 当时，，即，此时，函数单调递减. 所以，当时，函数在上有且只有一个极值点. 综上所述，当时，函数没有极值点； 当时，函数在上有且只有一个极值点； （2）（i）由（1）可知. 令，由可得， 所以，方程在区间上有唯一解，从而在区间上有唯一解， 不妨设方程的根为. 当时，，此时，函数单调递增； 当时，，此时，函数单调递减. 所以，是函数的唯一极值点. 令，其中，则. 当时，，则函数在区间上单调递减， 则当时，，即. 当时，，则， ，因此，函数在区间上有唯一零点； （ii）由题意可得，即， 从而可得，即， 当时，， 又，故，即， 在不等式两边取对数得，即. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点与零点个数问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级第四次段测 数学学科试题 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 若 则 在处的瞬时变化率为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 在的展开式中项的系数是（ ） A. B. C. 24 D. 48 3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 10 6. 设数列满足，则的前2026项和为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲类水果的平均质量为 B. C. D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 8. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的值域是． B. 当时，有一个零点． C. 若过点至少可以作曲线的三条切线，则 D. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图，则（ ） A. B. 第一四分位数为370； C. 首次故障时间小于365天的概率估计值为0.15； D. 已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若，则，． 10. 某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则下列说法正确的有（   ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 对任意，在定义域内恒有两个极值点 C. 若在处取得极值，则的极大值为 D. 若在上的最小值为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_________ 13. 在等比数列中，，，成等差数列，则_____. 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3， 5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲得3分的概率为_________；甲的总得分不小于2的概率为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数 （1）若函数在时取得极值，求m的值； （2）在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 16. ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%. （1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%， （i）求ChatGPT的回答被采纳的概率； （ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率. 17. 已知数列满足，且， （1）求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. （2）若数列满足，记的前项和为，证明：． 18. 有甲，乙两个不透明的盒子，甲盒子中有五个除颜色外大小完全相同的小球，其中红球有3个，黑球有2个，乙盒子中无球.某人通过投掷一枚质地均匀的骰子，进行摸球游戏，规则如下：每次先从甲盒子中随机摸出一球，随即投掷一次骰子，若骰子向上点数为质数，则将该球放入乙盒子：否则将该球放回甲盒子，当甲盒子中无球时，游戏停止. （1）求游戏进行三次后，乙盒子中球个数X的分布列和期望； （2）求游戏进行三次后，乙盒子中恰有红球，黑球各1个的概率； （3）设游戏进行到第n（，）次后停止的概率为，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 19. 已知函数，其中为非零常数. （1）讨论的极值点个数，并说明理由； （2）若， ①证明：在区间内有且仅有个零点； ②设为的极值点，为的零点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $