26.2.3 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)的图象和性质，通过复习顶点式\(y=-4(x-2)^2+1\)的开口方向、对称轴、顶点坐标及平移关系，搭建从顶点式到一般式的学习支架，引导学生探究一般式转化为顶点式的方法。 其亮点在于采用“提、配、化”三步配方归纳，结合实例推导顶点坐标公式，培养运算能力与推理意识。利用对称性列表描点画图发展几何直观，例题练习层次分明，助学生用数学语言表达规律，既便于教师教学，又提升学生探究能力。

26.2　二次函数的图象和性质 26.2.3 二次函数 y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？ 开口向下， 对称轴是直线x＝2， 顶点坐标是(2，1)， 当x>2时，y随x的增大而减小， 当x<2时，y随x的增大而增大， 当x＝2时，有最大值1. 2 2．函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系？ 解：函数y＝－4(x－2)2＋1的图象是由函数y＝－4x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的． 探究新知 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=x2-6x+21的图象和性质吗? 化成 y=a(x-h)2+k的形式. 思考： 对于二次函数y=x2−6x+21，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 提出问题： (1)把二次函数y＝x2－6x＋21化成y＝a(x－h)2＋k 的形式 . (2)写出二次函数y＝x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)画出函数y＝x2－6x＋21的图象． 提出问题： (4)观察图象，回答： ①抛物线y＝x2如何平移得到抛物线y＝x2－6x＋21? ②二次函数y＝x2－6x＋21的y随x的增减性如何？ 想一想：配方的方法及步骤是什么？ ①“提”：提出二次项系数； ②“配”：括号内配成完全平方； ③“化”：化成顶点式. y = x2−6x+21 配方后的表达式通常称为顶点式. = (x2−12x) + 21 = (x2−12x+62) + 21− ×62 = (x−6)2+3 二次函数y=x2-6x+21图象的开口向上，对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3). y=x2 向右平移 6个单位 y=(x-6)2 向上平移 3个单位 y=(x-6)2+3 y=x2 向上平移 3个单位 y=x2+3 向右平移 6个单位 y=(x-6)2+3 方法1： 方法2： 怎样移动函数y=x2的图象可以得到函数y=(x−6)2+3的图象？ 平移前后，图形的大小和形状不变，仅位置改变. 由二次函数y= x2−6x+21= (x−6)2+3，可知： 抛物线 y=x2 抛物线y= x2-6x+21 抛物线y= (x-6)2+3 相同 上移3，右移6 下移3，左移6 先利用对称性列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … y=x2-6x+21 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 在实际画图中，平移的方法不易操作，那么采取什么方法可以直接画出函数y=x2-6x+21的图象呢? 描点法 描点、连线，画出函数图象. y=x2-6x+21 开口_______， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 向上 直线x=6 (6, 3) 当x<6时，y随x__________； 当x>6时，y随x__________. 当x=6时，y取________，最小值是____. 增大而减小 增大而增大 最小值 3 解：配方得 y =−2x2−4x+1 =−2(x2+2x)+1 =−2(x2+2x+1)+2+1 =−2(x+1)2+3 由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=−1, 顶点坐标是(−1, 3)，顶点是图象的最高点. 探究： 你能用上面的方法研究二次函数y=−2x2−4x+1的图象和性质吗? 画图：先利用对称性列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 描点、连线，画出这个函数的图象. 开口向下， 当x<−1时，y随x增大而增大； y=-2x2-4x+1 对称轴是x=−1， 顶点坐标是(−1, 3) . 当x>−1时， y随x增大而减小. y = ax2 + bx + c ∴对称轴是x = − ，顶点坐标为(− ，). 你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？ = (x2 + x) + c = [x2 + x + ()2 − ()2] + c =(x + )2 + 从一般式到顶点式 要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，应该先配方，得： y =(x + )2 + 可知一般二次函数的图象的对称轴是x=− ,顶点(− ，). y O x （a<0） y O x （a>0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 最小值 最大值 不画出图象, 你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 开口向下， 对称轴直线x=1， 顶点(1，−2). 你能用上面的方法讨论二次函数y＝－x2＋2x－3的图象和性质吗？ 思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？ 这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？ 二次函数的最大值或最小值，就是顶点的纵坐标. 函数图象开口向上有最小值，开口向下有最大值. 你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质吗？ 知识归纳 1．一般地，通过配方，可以将二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋)2＋. 因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是_____________，顶点是______________． x＝－ (－，) 2．思考并完成下表： 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 开口方向 a＞0，开口_______ a＜0，开口_______ 对称轴 __________________ 顶点坐标 __________________ 向上 向下 x＝− (－，) 最大(小)值 当x＝−时， y最小值＝_________ 当x＝−时， y最大值＝________ 增减性 当x＜−时，y随x的增大而_______；x＞− 时，y随x的增大而________ x＜−时，y随x的增大而_________；x＞− 时，y随x的增大而________ 减小 增大 增大 减小 例 1 例题与练习 求二次函数y＝－x2＋x－的顶点坐标及对称轴． 解：顶点坐标为(1，－2)， 对称轴为x＝1. 例 2 把抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到抛物线y＝－x2，求原来的抛物线的函数解析式. 解：抛物线y＝－x2先向上平移6个单位长度，得到抛物线y＝－x2＋6，再将抛物线y＝－x2＋6向左平移4个单位长度，得到抛物线y＝－(x＋4)2＋6，即y＝－x2－4x－2. 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点, 说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y=−3x2+12x−3； 开口向下， 当x<2时，y随x增大而增大； 对称轴是x=2， 顶点坐标是(2, 9) . 当x>2时， y随x增大而减小. （2）y=4x2−24x+26； 开口向上， 当x<3时，y随x增大而减小； 对称轴是x=3， 顶点坐标是(3, −10) . 当x>3时， y随x增大而增大. (3) y = 2x2+8x−6; 开口向上， 当x<−2时，y随x增大而减小； 对称轴是x=−2， 顶点坐标是(−2, −14) . 当x>−2时， y随x增大而增大. (4) y = x2−2x−1. 开口向上， 当x<2时，y随x增大而减小； 对称轴是x=2， 顶点坐标是(2, −3) . 当x>2时， y随x增大而增大. 2. 求下列函数的最大值或最小值： （l）y=3x2+2x； a = 3>0，开口向上，有最小值. 对称轴：x =− =− =− 最小值：y = = =− （2）y=−2x2+8x−8. a = −2<0，开口向下，有最大值. 对称轴：x =− = − = 2 最大值：y = = = 0 3．已知二次函数y＝2x2－mx＋8，当x＜－3时，y随x的增大而减小；当x＞－3时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为______. 22 课堂小结 1．形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定： (1)当二次函数y＝ax2＋bx＋c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程； (2)当a, b, c比较复杂时, 可直接用公式来确定： 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－，顶点坐标为(－，). 2．解决二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移问题时，应先将它化为y＝a(x－h)2＋k形式后进行． 随堂检测 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ). A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 D 2.已知二次函数y=−x2+2bx+c, 当x>1时，y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是( ). A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D. b≤1 D 3. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ① a，b同号； ② 当x=-1和x=3时，函数值相等； ③ 4a+b=0； ④ 当y=-2时，x的值只能取0； 其中正确的是_______. ② 作业布置 (1)教材P44　习题26.2第3题； (2)对应课时练习． $