26.4.1 最大高度与最大面积问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决最大高度与最大面积问题，通过调运农用车运费的一次函数实例导入，搭建学习支架，衔接后续二次函数最值探究，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以跳水、菜园等实际情境为载体，引导学生抽象函数关系、推理最值求解过程，培养数学眼光、思维与语言。如例1将跳水高度转化为二次函数顶点问题，例2强调自变量取值范围，知识归纳明确步骤，提升学生模型意识与应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

26.4　实际问题与二次函数 第1课时 最大高度与最大面积问题 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现在需要调往A县10辆，需要调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元． 2 (1)设乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式； 解：(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，则乙仓库调往B县农用车(6－x)辆，甲仓库调往A县农用车(10－x)辆，调往B县农用车(2＋x)辆． 根据题意，得 y ＝ 30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80(2＋x) ＝20x＋860 ( 0 ≤ x ≤ 6 ). (2)求最低总运费是多少元？ (2) y ＝ 20x＋860 ( 0 ≤ x ≤ 6 ). ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝0时，y最小值＝860 . ∴最低总运费是860元． ∵k＝20>0， 探究新知 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间 t（単单位：s）之间的关系式是h=−4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 解：对于二次函数h= −4.9t2+ 2.8t + 11， 当t = － = － ≈ 0.3 时， h有最大值 = = 11.4 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4 m. 请将二次函数h＝－4.9t2＋2.8t＋11化成顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标； h＝－4.9t2＋2.8t＋11 ＝－4.9[(t2− t + ) − ]＋11 ＝－4.9(t− )2＋11.4 对称轴：直线 t = , 顶点坐标：( , 11.4) . ( , 11.4) 你能解释该图像顶点横、纵坐标的含义？ 函数h=−4.9t2+2.8t+11的图象, 直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ ( , 11.4) 例2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为xm，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. (1)矩形的面积公式是什么？ 提出问题： (2)如何用x表示另一边？ 矩形的面积 = 长×宽 面积S关于x的函数解析式是什么？ 20−2x S＝－2x2＋20x (3)由函数解析式S＝－2x2＋20x(0＜x＜10)可知抛物线的开口方向如何？ 所以面积S在何时取得最大值？ 因为a = −2 < 0， 所以抛物线开口向下. 对称轴：x = － = － = 5 ， 因为0< 5 < 10， 所以当x = 5时，面积 S 取得最大值 . 解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（202x）m， 矩形菜园的面积S = x (202x), 即S = −2x2+20x (0<x< 10). 当x = － = － = 5 时， S有最大值 = = 50. 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50 m2. 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义．如菜园的边长应为正数，即x>0，且20−2x>0，于是自变量x的取值范围是0<x<10. ①根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： ②确定自变量的取值范围； ③根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； ④根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 知识归纳 一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最______(______)点，也就是说，当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值__________. 低 高 － 例 1 例题与练习 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2. (1)写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)∵矩形的一边长为x m，周长为12 m， ∴另一边长为(6－x)m， ∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6. (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用． (2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9， ∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时， 矩形面积最大，为9 m2， 这时设计费最多，为9×1 000＝9 000(元). 例 2 如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2. (1)求y与x之间的函数解析式． 解：(1) y ＝ x(30－3x) ＝－3x2＋30x (≤x＜10). (2)y有最大值． (2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值． ∵－＝－＝5， ∴当≤x＜10时，y随x的增大而减小， ∴当x＝时，y最大＝. 1．如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：由例2得，S = −2x2+20x . 因为墙的长度为8m， 所以0<202x≤8，即6 ≤ x <10. 对称轴为x = 5 ， 抛物线开口向下. 所以当x = 6时，S有最大值 S最大值 = −2×62 + 20×6 = 48 m2 因此当垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为 8m 时，菜园面积最大，最大面积是 48m²。 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（単单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）的关系近似为h=30t−5t2（0≤t≤6）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 解：抛物线化为顶点式为 = −5(t2−6t+9−9) 对称轴：t = 3， 因为a = −5 < 0， 顶点坐标：(3，45). 所以抛物线开口向下. 所以小球运动到3 秒时达到最高点. 小球运动的最大高度是 45 米. h = 30t − 5t2 = −5(t−3)2 + 45（0≤t≤6） 3．用长12 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是 (　 　) A．9 m2　　　B．2 m2　　　 C．6 m2　　　D．8 m2 C 课堂小结 利用二次函数解决最大高度和最大面积问题． 随堂检测 1.已知一个直角三角形两条直角边的和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为( ) A. 25 cm2 B. 50 cm2 C. 100 cm2 D. 不确定 B 2.如图是一个长为20m，宽为16m 的矩形花园，根据需要将它的长缩短xm，宽增加xm，要使修改后的花园面积达到最大，则x的值为( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 4 C 3.如图，在长20m，宽14m 的矩形花圃里建有等宽的十字形小路，若小路的宽不超过1m ,则花圃中阴影部分的面积( ) A.有最小值247 m2 B.有最小值266 m2 C.有最大值247 m2 D.有最大值266 m2 A 作业布置 (1)教材P55　习题26.4第3，4题； (2)对应课时练习． $