2.1 等式性质与不等式性质 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“等式性质与不等式性质”同步练，分层设计清晰，从基础概念到综合应用递进，结合生活情境与逻辑推理，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|不等关系表示、数式大小比较、性质简单应用|结合平流层高度、租车等生活情境，题型含选择、填空、解答，夯实概念理解与基本运算| |能力提升练|实际问题建模、性质综合应用、逻辑证明|以降价方案、货厢安排等实际问题为主，融入糖水不等式证明等多步推理，深化数学思维与应用表达|

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 基础过关练 题组一　用不等式(组)表示不等关系 1.(2026辽宁锦州期末)平流层一般是指地球表面以上10 km(不含)到50 km(不含)的区域,下述不等式中,x(单位:km)能表示平流层高度的是(　　) A.|x+10|<50　　B.|x-10|<50　　 C.|x+30|<20　　D.|x-30|<20 2.(教材习题改编)某校高一年级的213名同学去参观科技馆,租用了某公交公司的x辆公交车.如果每辆车坐30人,那么最后一辆车不空也不满,题目中所包含的不等关系为　　　　.  题组二　数(式)的大小比较 3.(2026北京中国人民大学附属中学月考)已知0<a<1,则以下不等关系正确的是(　　) A.a2>>a>-a　　B.a>a2>>-a C.>a>a2>-a　　D.>a2>a>-a 4.(2026重庆南开中学月考)(1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小; (2)设a>b>0,比较与的大小. 题组三　不等式的性质及其简单应用 5.(2026陕西“神·榆·靖”区域联考)已知-1<x<2,1<y<3,则3y-2x的取值范围是(　　) A.0<3y-2x<5　　B.3<3y-2x<5　　 C.-1<3y-2x<11　　D.-3<3y-2x<11 6.(多选题)(2026浙江杭州高级中学期末)下列命题中,正确的有(　　) A.若a>b,则a-c>b-c　　B.若a>b,则< C.若a>b,则ac2>bc2　　D.若ac2>bc2,则a>b 7.(多选题)(2026重庆大学城第一中学校月考)下列说法正确的是(　　) A.若a>b,c>d,则a-c>b-d B.若a<b<0,则a2>ab>b2 C.若a>b>c>0,则< D.若a>b且>,则ab>0 8.(2026安徽合肥第九中学月考)已知3<x<7,1<y<2,则的取值范围是　　　　.  9.(2025广东广州月考) (1)已知0>a>b,c<0,求证:>; (2)已知a>b>c>d,求证:<; (3)已知a>b>c,a+b+c=0,求证:>. 能力提升练 题组一　实数的不等关系 1.(2026河南信阳第二高级中学月考)某品牌手机为促进销售,准备对其特定型号的手机降价,有四种降价方案:①先降价a%,再降价b%;②先降价%,再降价a%;③先降价%,再降价%;④一次性降价(a+b)%.其中a>b,则最终降价幅度最小的方案是(　　) A.①　　B.②　　C.③　　D.④ 2.(2026浙江丽水期末)为了加强家校联系,王老师组建了一个微信群,群里有学生、家长和各科老师.已知该群中男学生人数多于女学生人数,女学生人数多于家长人数,家长人数多于老师人数,老师人数的两倍多于男学生人数.则该微信群中老师人数的最小值为(　　) A.3　　B.4　　C.5　　D.6 3.(2026北京理工大学附属中学月考)已知A=-n,B=n-,C=(n∈N*,n>2),则A,B,C的大小关系是　　　　.  题组二　不等式的性质及其应用 4.(2026安徽皖中名校联盟期中)有以下说法:①若a>b,d>c,且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则b<c<d<a;②若a>b>0,则a+>b+;③若a>b>-c>0,则ab>c2;④若0<a+b<2,2<a-b<4,则2<3a+b<8.其中正确的个数是(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 5.(多选题)火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货厢,5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货厢,据此安排A,B两种货厢的节数,下列方案中,满足题意的是(　　) A.A型货厢28节,B型货厢22节 B.A型货厢29节,B型货厢21节 C.A型货厢31节,B型货厢19节 D.A型货厢30节,B型货厢20节 6.(2025河北石家庄精英中学月考)已知a<b<c且a+2b+c=0,则的取值范围是　　　　.  7.(2026福建厦门第六中学月考)若-3≤2a+b≤4,-1≤a-b≤2,则a+5b的取值范围是　　　　.  8.(2026山西临汾一中月考)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了. (1)将这个事实表示为一个不等式,并证明; (2)比较M=,N=的大小; (3)设x>0,y>0,z>0,证明:1<++<2. 答案 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 基础过关练 1.D　由已知得10<x<50,结合选项可知D正确. 2.答案　 解析　由最后一辆车不空,可得不等式30(x-1)<213, 由最后一辆车不满,可得不等式30x>213, 因此,不等关系为 3.C　由0<a<1,得-a<0, 则-a==>0,所以>a,a-a2=a(1-a)>0,所以a>a2>0,所以>a>a2>-a. 4.解析　(1)2x2+5x+3-(x2+4x+2)=x2+x+1=+>0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2. (2)由a>b>0,得a-b>0,=>0,>0, 因此===1+>1,所以>. 5.C　∵-1<x<2,1<y<3,∴-4<-2x<2,3<3y<9,∴-1<3y-2x<11. 6.AD　对于A,若a>b,则a+(-c)>b+(-c),即a-c>b-c,故A正确; 对于B,取a=1,b=-1,满足a>b,但>,故B错误; 对于C,当c=0时,ac2=bc2,故C错误; 对于D,若ac2>bc2,则c2>0,且ac2-bc2=c2(a-b)>0,则a>b,故D正确. 7.BC　对于A,取a=2,b=1,c=4,d=3,满足a>b,c>d,但a-c=b-d,故A错误; 对于B,由a<b<0,得a-b<0,故a2-ab=a(a-b)>0,ab-b2=b(a-b)>0, 故a2>ab>b2,故B正确; 对于C,-==, 因为a>b>c>0,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,故<0,即<,故C正确; 对于D,由>,得-=>0,由a>b得b-a<0,故ab<0,故D错误. 8.答案　 解析　因为3<x<7,所以<<,又1<y<2,所以1<y2<4,所以<<. 9.证明　(1)因为0>a>b,所以<, 又c<0,所以>. (2)因为a>b>c>d,所以a-d>b-c>0, 所以<. (3)-= =, 因为a>b>c,a+b+c=0, 所以c<0,b-a<0,a-c>0,b-c>0, 所以-=>0,即>. 能力提升练 1.C　设手机原价为x,由题意知a>b,且a+b<100,不妨设a=20,b=10,则 ①x(1-a%)(1-b%)=x(1-20%)(1-10%)=0.8×0.9x=0.72x; ②x(1-a%)=x(1-0.15)×(1-0.2)=0.85×0.8x=0.68x; ③x=x(1-0.15)×(1-0.15)=0.85×0.85x=0.722 5x; ④x[1-(a+b)%]=0.7x. 因为0.722 5x>0.72x>0.7x>0.68x,所以方案③降价幅度最小. 2.B　设男、女学生人数分别为x,y,老师人数为z,家长人数为m,其中x,y,z,m都是正整数, 则由题意得即z<m<y<x<2z, 由于m,x,y,z都是正整数,所以2z-z≥4,即z≥4, 当z=4时,m=5,y=6,x=7,2z=8,满足不等式,所以老师人数的最小值为4. 3.答案　A<C<B(或B>C>A) 解析　因为A=-n=<=C, B=n-=>=C, 所以A,B,C的大小关系为A<C<B. 4.B　对于①,由a>b,且(c-a)(c-b)<0,得c-a<0,c-b>0,即b<c<a, ∵(d-a)(d-b)>0,且d>c>b,∴d>a,∴d>a>c>b,故①错误; 对于②,取a=,b=,满足a>b>0,但是a+=+2=,b+=+3=,∴a+<b+,故②错误; 对于③,∵a>b>-c>0,∴ab>b2,b2>c2, ∴ab>c2,故③正确; 对于④,易得3a+b=2(a+b)+(a-b), ∵0<a+b<2, ∴0<2(a+b)<4,又2<a-b<4,∴2<2(a+b)+(a-b)<8,即2<3a+b<8,故④正确. 综上,正确的个数为2. 5.ABD　设安排A型货厢x节,B型货厢y节,则x+y=50,x,y∈N. 由已知得则28≤x≤30,x∈N, 所以或或结合选项知A,B,D正确. 6.答案　-<<1 解析　因为a+2b+c=0,a<b<c,所以a<0,c>0,由a+2b+c=0得c=-a-2b, 则c=-a-2b>0,解得>-. 由b<c得b<-a-2b,整理得a<-3b,解得>-. 由a<b得<1. 综上,-<<1. 7.答案　-12≤a+5b≤11 解析　易得a+5b=2(2a+b)-3(a-b), 因为-3≤2a+b≤4,-1≤a-b≤2, 所以-6≤2(2a+b)≤8,-6≤-3(a-b)≤3,所以-12≤2(2a+b)-3(a-b)≤11,即-12≤a+5b≤11. 8.解析　(1)由题意,可得不等式<(m>0,b>a>0). 证明:-==, 由b>a>0,m>0,可得a-b<0,b+m>0, 所以-<0,即<. (2)由M==,N=及(1)中的结论,可得>,即M>N. (3)证明:由x>0,y>0,z>0及(1)中的结论,可得<,<,<, 所以++<++=2①. 因为==1-,=1-,=1-, 所以++=3-, 由上述结论,可得++<2, 所以++>1②. 综合①②,得1<++<2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $