精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州第一中学2025-2026学年第二学期期末质量监测高一年级数学试题

昌吉州一中2025-2026学年第二学期期末质量监测 高一年级数学试题卷 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，， C. ，，则 D. ，，则 7. 如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（ ） A. 中位数是3 B. 第80百分位数是4 C. 平均数是3.5 D. 方差是11 10. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 的范围为 11. 如图，在半圆台中，是半圆的直径，是半圆的直径，是弧的中点，且，，则（ ） A. 半圆台的体积为 B. 半圆台的表面积为 C. 直线与所成的角为 D. 直线与所成角的正切值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________． 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若 ，则在中，_________ 14. 若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知三点，，． （1）若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 16. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动.现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； （3）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 17. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： （1）该应聘者用方案一考试通过的概率； （2）该应聘者用方案二考试通过的概率． 18. 已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 19. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求C． （2）． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州一中2025-2026学年第二学期期末质量监测 高一年级数学试题卷 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的充要条件是向量数量积为0，先求向量坐标，再列方程求解. 【详解】已知，，故， 根据两非零向量垂直的充要条件可得：， 则， 整理得，解得. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，则的虚部为. 3. 已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，则， 由于，因此. 4. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 5. 已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由正弦定理可得，解得，  由于，则，即为锐角，故. 6. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，，则 B. ，， C. ，，则 D. ，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. 7. 如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 8. 已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】 如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点， 设球的半径为，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（ ） A. 中位数是3 B. 第80百分位数是4 C. 平均数是3.5 D. 方差是11 【答案】AB 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差的定义计算即可. 【详解】因为样本数据为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 所以中位数为，A正确； 由于，所以第80百分位数是，B正确； 平均数为，所以C错误； 样本数据的方差为， 所以D错误. 10. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 的范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对题干所给式子，利用正弦定理边角互化化简即可判断A，B选项；利用向量的加法法则即可判断C选项，利用向量模长计算的范围即可． 【详解】根据， 由正弦定理可知， 整理得， 利用两角和公式可知； 根据三角形内角和可知，， 故上式可化简为， 根据正弦定理可知，故A正确； 假设，则， 因为，故，则，，则， 不符合三角形内角范围，故B错误； 由可得， 故，故C正确； 因为， 由余弦定理可得，故， 因为，故； 由三角形三边关系可知，解得； 故，故的范围为，故D错误． 11. 如图，在半圆台中，是半圆的直径，是半圆的直径，是弧的中点，且，，则（ ） A. 半圆台的体积为 B. 半圆台的表面积为 C. 直线与所成的角为 D. 直线与所成角的正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由圆台体积，表面积公式可判断选项正误； 对于C，由平面可判断选项正误； 对于D，由，可得与所成角为，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题干数据结合圆台体积公式可得半圆台体积为：，其中， 则，故A正确； 对于B，由题干数据，半圆台表面积为：， 其中， ， 则，故B错误； 对于C，由题可得，又平面，， 则平面，结合平面，可得， 从而与所成角为，故C正确； 对于D，因，则与所成角为.如图，作平面. 由题可得，则， ，又易得，则， 从而，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式，结合向量数量积运算的坐标公式代入求解即可. 【详解】解：由在上的投影向量为， 因为，，所以， 因此，在上的投影向量的坐标为. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若 ，则在中，_________ 【答案】 【解析】 【分析】由直观图根据斜二测规则结合边长计算求解即可. 【详解】由可知， ，， 由正弦定理得，所以， 在中，因为，所以. 故答案为：. 14. 若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定非空子集的个数；根据“完美集合”的定义，可列举出所有“完美集合”，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】集合共有9个元素， 则集合有个非空子集. 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有. 若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合； 若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义； 同理，含有或的集合也不是完美集合， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个， 所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个， 所以非空子集中不是完美集合的概率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知三点，，． （1）若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式求得斜率，再根据两直线垂直时斜率关系求得直线的斜率，由点斜式方程即可求解； （2）分类讨论，当截距为0和截距不为0两种情况即可求解． 【小问1详解】 由，可得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即． 【小问2详解】 当截距均为0时，直线方程为，符合题意， 当截距不为0时，不妨设直线方程为， 又直线经过点A，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或． 16. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动.现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； （3）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 【答案】（1）300 （2）85 （3）6人，3人 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，求得不低于分的学生所占的频率，进而得到答案. （2）先求得各个区间的频率，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）由（2）得到成绩在和内的频率，计算其频率比，按比例分配，即可得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得成绩不低于分的学生所占的频率为， 则在参加这次竞赛的3000名学生中，“航天达人”的人数约为人. 【小问2详解】 由频率分布直方图得， 成绩在，，，，五组内的频率分别为 ， ， ， ， . 因为，， 所以参加这次竞赛的学生成绩的分位数一定在内. 设成绩的分位数为，则， 解得 ，即参加这次竞赛的学生成绩的分位数为. 【小问3详解】 由（2）知：成绩在和内的频率分别为，其比例为， 利用分层抽样的方法得， 在内抽取的人数为人， 在内抽取的人数为人， 所以从成绩在，内的学生中抽取的人数分别为人和人. 17. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： （1）该应聘者用方案一考试通过的概率； （2）该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【小问1详解】 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； 【小问2详解】 应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 18. 已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点E在线段上靠近点D的四等份分点处，此时最大角的正弦值， 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【小问1详解】 ∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． 【小问2详解】 由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等分点处，此时. 19. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求C． （2）． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可； （2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于 的方程并求解，再结合面积公式求解 ； （ⅱ）通过向量运算建立和 的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围. 【小问1详解】 ，即 ， 由正弦定理可得 ， 又 ， 所以 ， 因为，所以 ， 所以 ，即， 又，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 的周长为，所以， 由余弦定理可得，即 ， 即 ，得， 所以 的面积为， 则， 所以． （ⅱ）因为，所以E是 的中点，所以， 则， 又 ，所以 ， 由正弦定理可得 ， 所以 ，， 所以 ． 因为 为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以，则 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $