新疆昌吉回族自治州第二中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

高一第二学期期末考试数学试卷 一、单选题（40分） 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 2．某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，应从中年人中抽取的人数为（ ） A．10 B．12 C．18 D．20 3．已知向量，，，设，的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 4．某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ） A． B． C． D． 5．某气象爱好者为了解本地冬季的气温变化规律，特记录了本地过去10天的最低气温的数据（单位：C），结果如下：7，7，5，2，3，6，6，7，4，3，则这10天的最低气温的（ ） A．极差为4 B．中位数为6 C．平均数为5 D．方差为3 6．如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ） A． B． C． D． 7．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（ ） A． B． C． D． 8．设的内角，，的对边分别为，，，若，，且边上的中线长等于，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题（18分） 9．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点表示甲的创造能力指标值为4，点表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是（ ） A．乙的记忆能力优于甲 B．乙的观察能力优于创造能力 C．甲的六大能力整体水平优于乙 D．乙的六大能力比甲较均衡 10．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件“第一次取到标号为1或2的号签”，事件“第二次取到标号为5的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则（ ） A．与独立 B．与对立 C． D． 11．如图，正方体棱长为，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．异面直线与直线所成的角为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题（15分） 12．某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，10，13，14，16，17，25，则这8个数据的第一四分位数是__________． 13．一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是__________． 14．已知点为边长为2的等边外接圆上的一个动点，则的取值范围是__________． 四、解答题（77分） 15．如图，在直三棱柱中，，，，．点，分别为棱，的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直三棱柱的表面积及体积． 16．据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 17．甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． （1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率． 18．在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，且有． （1）求； （2）若的面积为，求，； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． （1）求证：四面体为鳖臑； （2）若，，是的中点． （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）已知，分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $