精品解析：新疆昌吉州昌吉市2025-2026学年第二学期期中质量监测高一年级数学

昌吉市2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 高一年级数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解可得. 【详解】因为（为虚数单位）是纯虚数， 所以，解得. 故选：D 2. 已知平行四边形中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据向量基本定理分解向量即可. 【详解】 . 故选：A. 3. 下面关于平面向量的描述正确的有（ ） A. 共线向量是在一条直线上的向量 B. 起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量 C. 若，则 D. 若向量与向量同向，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量及相等向量定义可判断A、B；根据零向量与任何向量都平行，即可判断C；根据向量不能比较大小，可判断D. 【详解】解：共线向量是向量所在直线平行或共线，故选项A错误； 方向相同，且模相等的向量是相等向量，故选项B正确； 若，而不共线，仍有，故选项C错误； 向量不能比较大小，故选项D错误. 故选：B 4. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则，所以， 由斜二测画法可知原平面图形如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式， 可得四边形ABCD的面积． 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 6. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可. 【详解】 如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为. 故选：A 7. 中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（ ） A. 69m B. 95m C. 98m D. 99m 【答案】C 【解析】 【分析】求出AC，，在△ACM中，由正弦定理求出m，从而得到MN的长度. 【详解】在中，（m）， 在中，可知， 由正弦定理：，可得（m）， 在中，（m）， 所以越王楼的高度约为98m. 故选：C. 8. 点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ） A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心 C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示： 易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图： 由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项. 【详解】由， 故z的虚部为，，， ，A、C对，B、D错. 10. 设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 不与垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据数量积运算律及平面向量垂直的判定即可判断；选项B：根据向量的数量积即可判断；选项C：通过计算，及平面向量垂直的判定即可判断；选项D：根据平面向量垂直的判定即可判断． 【详解】因为、、是任意的非零向量，且相互不共线， 选项A：由，则， 由不共线，可得，得，故A错误； 选项B：设和的夹角为，则，则，故B错误； 选项C：由，则两边平方得，即，故C正确； 选项D：由 ， 所以与垂直，故D错误． 11. 在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 外接圆面积是 B. 面积的最大值是 C. 周长的取值可以是 D. 内切圆半径的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合正弦定理，可求，结合，可求角.根据三角形外接圆半径满足，可判断A的真假；结合余弦定理和基本（均值）不等式，可判断B的真假；利用为锐角三角形，求出角的取值范围，利用正弦定理表示出，可求周长的取值范围，判断C的真假；根据BC的结论，结合三角形的面积、三角形周长、三角形内切圆半径之间的关系，判断D的真假. 【详解】由，结合正弦定理，可得： . 因为在锐角三角形中，， 所以. 由，又为锐角，所以. 对A：设的外接圆半径为，由，所以，所以外接圆面积为：.故A正确. 对B：由余弦定理（当且仅当时取“”）. 所以.故B正确； 对C：因为为锐角三角形，所以，，，所以. 由正弦定理：， 所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以周长的取值范围为. 因为，故C错误； 对D：设内切圆半径为，则. 又， ，， 所以， 由，所以.故D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛： （1）涉及三角形周长或面积的取值范围，可将问题转化为利用基本（均值）不等式求最值或转化为三角函数求值域的问题解决. （2）本题的关键是三角形式锐角三角形，由此确定三角形角的取值范围，是该题的一个关键点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为复数，，则， 因此，在复平面内对应的点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第而象限. 故答案为：二. 13. 已知，，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式直接求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 在上的投影向量为. 14. 《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】 当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解. 【详解】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥,如图， 由 可得,, 即为正三角形， 所以外接圆圆心为三角形中心， 设三棱锥外接球球心为，连接，则平面，连接,,在中作,垂足为，如图， 因为,, 所以是的中点，由矩形可知, 因为为三角形的中心， 所以 在中，, 所以, 故答案为： 【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题. 四、解答题（共77分，其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分） 15. 已知向量满足，且． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义和运算律即可求解夹角. （2）根据模长公式即可求解. 【小问1详解】 由， 得，因为，所以． 【小问2详解】 由题意得 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，及，得， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 17. 已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 （1）求圆锥的侧面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求三棱锥的高． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长及圆锥的侧面积. （2）由（1）中信息求出三棱锥的体积. （3）由（2），结合等体积法求出高. 【小问1详解】 由圆锥的底面圆半径为2，体积为，得， 解得，圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. 【小问2详解】 由（1）知，由母线的夹角为，得为正三角形， 则，等腰底边上的高， 的面积， 所以三棱锥的体积. 【小问3详解】 设三棱锥的高为，由（2）知， 由，得，即，解得. 所以三棱锥的高为. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，则的面积为，求b，c； （3）若，求周长的取值范围； （4）若改成锐角，，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，根据三角形的内角和为，以及两角和的正弦公式展开，整理后得到关于角的三角函数方程，进而求角； （2）先利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理 得到，联立方程求解和； （3）利用正弦定理将、转化为角、的三角函数值，再根据三角形的内角和为，将三角形的周长转化为角的三角函数，根据角的取值范围求三角形周长的取值范围； （4）利用正弦定理将三角形周长转化为角的三角函数，再根据锐角三角形，求出角的取值范围，进而求出三角形周长的取值范围. 【小问1详解】 由，得. 由正弦定理得. ， ； ，整理得 ； ， ，即； ，即； ，； ，解得. 【小问2详解】 ，，由，得，解得. ，，由余弦定理得，得，即. 联立，解得，. 【小问3详解】 设周长为，则. ，，由正弦定理得，解得 ，. ，，. ，； ，则，，即. 周长的取值范围为. 【小问4详解】 由（3）得周长； 为锐角三角形，且，即且，解得. ； ，则，，即. 周长的取值范围为. 19. 已知向量，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围； （3）若，求的最大值及对应的. 【答案】（1） （2） （3），对应. 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标公式求解即可. （2）把与的夹角为锐角，转化为数量积大于0，再结合角的范围求解即可. （3）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值． 【小问1详解】 因为向量，，且， 所以，即. 因为，所以. 【小问2详解】 因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线. 化简得. 因，故，时，. 由（1）知共线时，需舍去. 故的取值范围为. 【小问3详解】 . 因，故，的最大值为， 此时，的最大值为. 故最大值为，对应. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉市2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 高一年级数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知平行四边形中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下面关于平面向量的描述正确的有（ ） A. 共线向量是在一条直线上的向量 B. 起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量 C. 若，则 D. 若向量与向量同向，且，则 4. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ） A. B. C. D. 7. 中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（ ） A. 69m B. 95m C. 98m D. 99m 8. 点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（ ） A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心 C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 不与垂直 11. 在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 外接圆面积是 B. 面积的最大值是 C. 周长的取值可以是 D. 内切圆半径的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限． 13. 已知，，则在上的投影向量为__________. 14. 《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______. 四、解答题（共77分，其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分） 15. 已知向量满足，且． （1）求与的夹角； （2）求． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 17. 已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 （1）求圆锥的侧面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求三棱锥的高． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若，则的面积为，求b，c； （3）若，求周长的取值范围； （4）若改成锐角，，求周长的取值范围. 19. 已知向量，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围； （3）若，求的最大值及对应的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $