精品解析：2022年湖南省长沙市天心区长沙市雅礼外国语学校八年级年数学竞赛检测试题

雅外初二年级数学竞赛班检测试题 时间：80分钟 总分：120分 一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，求______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式． 运用平方差公式将式子前两项分解因式，代入数据，将式子去括号、合并同类项，再次代入数据计算即可． 【详解】解： 故答案为：7 ． 2. 已知：，求：的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再运用立方和公式变形解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3. 已知4(x-1008)2+(2021-2x)2=8，求(x-1008)(2021-2x)的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令， ，然后根据完全平方式的性质求出即可． 【详解】解：令， 由题意可得： 完全平方式： =25， 即： ， ， ． 【点睛】此题考查了完全平方式的性质，灵活的运用完全平方公式去凑出是解决此题的关键． 4. 已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于____________． 【答案】0 【解析】 【详解】∵ a＝－1， ∴(a＋1)2＝5， ∴a2＋2a＝4， ∴2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝2a（a2＋2a）+3a2－2a－12=3a2＋6a－12＝0． 故答案为：0 5. 若，则的和为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 6. 将4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若，则a、b满足关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，完全平方公式和单项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据题意用a、b分别表示出m、n，再根据建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝BCA＝44°，M为△ABC内一点；且∠MCA＝30°，∠MAC＝16°，则∠BMC的度数为 ___． 【答案】150° 【解析】 【分析】过B作BD⊥AC于D，延长CM交BD于O，连接AO，求出∠BAO=∠MAO，计算∠ABO=∠AMO=46°，证明△ABO≌△AMO，得到OB=OM，求出∠OMB的度数即可得到∠BMC 【详解】解：过B作BD⊥AC于D，延长CM交BD于O，连接AO， ∴∠OAC=∠MCA=30°，∠BAO=44°-30°=14°，∠OAM=∠OAC-∠MAC=30°-16°=14°， ∴∠BAO=∠MAO， ∵∠BAC＝BCA＝44°， ∴∠ABC=92°，AB=BC， ∵BD⊥AC， ∴， ∵∠AMO=∠MAC+∠ACM=46°， ∴∠ABO=∠AMO， 又∵AO=AO， ∴△ABO≌△AMO， ∴OB=OM， ∴， ∴∠BMC=180°-∠OMB=150°， 故答案为：150° 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大． 8. 如图，两外角平分线分别交所在的直线于点，且，则_____度． 【答案】12 【解析】 【分析】设，根据是的角平分线，则，求出，，．根据，得，则，然后根据，即可求出． 【详解】解：设， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、解答题（本题共10题，每题8分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于三次多项式因式分解，先利用有理根定理判断可能的有理根，代入验证找到一个根后，对应得到一次因式，再用多项式除法或拆项补项法分解为一次因式与二次因式的乘积，最后判断二次因式能否继续分解； （2）对于正负交替的五次六项式因式分解，可先尝试分组分解，按相邻两项为一组分组，提取公因式后再提取整体公因式，得到一次因式与四次因式的乘积，再对四次因式添加一项使其能写成两个式子的平方差继续分解． 【小问1详解】 解：           【小问2详解】 解：  10. 已知与互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】因为a2-6a+9与|b-1|互为相反数，所以可得（a-3）2+|b-1|=0所以a=3，b=1，通过观察所求的代数式很复杂，化简的过程很繁琐，而a，b的值简单，所以本题比较简便的方法是直接把a，b的值代入求解即可． 【详解】由已知可得a2-6a+9+|b-1|=0， 即（a-3）2+|b-1|=0， ∴a=3，b=1， ∴原式=, = = = 把代入上式得，原式=． 【点睛】本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．另外还要熟悉相反数的定义，利用定义列出方程求出a，b的值． 11. 解分式方程 【答案】 【解析】 【分析】观察方程特点，可将原方程化为，即，则有，然后去分母，解整式方程即可解答． 【详解】解：原方程可化为， 即， 移项，得：， 通分，得：， 去分母得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤，能根据方程特点进行变形并简化计算是解答的关键，记得要验根． 12. 已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证：a+c=2b. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】首先把a2-16b2-c2+6ab+10bc=0写成（a+3b）2-（c-5b）2=0，然后进行因式分解得到即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，结合a，b，c是三角形三边长，进而求出a，b和c之间的关系． 【详解】解：∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=0， ∴a2+6ab+9b2-（c2-10bc+25b2）=0， ∴（a+3b）2-（c-5b）2=0， ∴（a+3b+c-5b）（a+3b-c+5b）=0， 即（a+c-2b）（a+8b-c）=0， ∵a，b，c是三角形三边长， ∴a+b-c＞0， ∴a+8b-c＞0， ∴a+c-2b=0， ∴a+c=2b． 【点睛】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，解答本题的关键是把题干等式变形为平方差形式进而分解因式，进而求出a，b和c的关系，此题难度不大． 13. 求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】证明：∵ ，， ∴ 原式 ． 设， 则原式 ． ∵ 对任意实数，， ∴ 多项式的值一定是非负数． 【解析】 【分析】先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】略 14. 已知是不全相等的实数，且，则的值是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，结合是不全相等的实数，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 若， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是不全相等的实数， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 15. 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．解决问题： （1）已知（是整数，k是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． （2）拓展结论：已知实数满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）解：符合条件的值为13，理由如下： ， 为整数， ，均为整数， 当，即时，可表示为两个整数的平方和，符合“完美数”的定义． （2）4 【解析】 【分析】(1) 将配方为两个整系数平方项与常数的和，令常数为即可得到符合条件的值． (2) 利用已知条件消去，将代数式配方后结合变量取值范围求最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， 解得， 把代入代数式，得 原式． 当时，观察式子得的值随着m的增大而增大， 当时，代数式取得最小值，最小值为． 16. 设三个正数、、满足，求证：、、一定是某个三角形三边的长． 【答案】 证明： ∵ 展开左边并移项，得 对左边因式分解： ∴ ， ∵ 、、 均为正数， ∴ ， ∴ ， 若三个因式中存在两个负数，不妨设 ，， 两式相加得 ，即 ，与 是正数矛盾． 同理，任意两个因式为负均会推出某正数小于0，矛盾． ∴ 三个因式均为正，即 ，，， ∴、、 满足三角形三边关系，一定是某个三角形三边的长． 【解析】 17. 按要求解题： （1）如图1，四边形中，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，四边形中，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）解：，证明如下： 如图，延长至，使，连接，， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在四边形外侧作等边三角形，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 延长至，使，连接，， 同（1）可得． 连接， （ⅰ）若满足题中条件的点P在上， 则， ∴， ∴； （ⅱ）若满足题中条件的点P不在上， 则， ∴， ∴； 综上，． 【解析】 【分析】（1）延长至，使，连接，，证明是等边三角形，得到，，，证明是等边三角形，进而证明，得到，即可得到； （2）在四边形外侧作等边三角形，连接，根据等边三角形的性质证明，得到，延长至，使，连接，，同（1）可得，连接，分两种情况作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，连接，，交轴于点． （1）求点的坐标； （2）求证：； （3）如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求解； （2）由“SAS”可证△ABP≌△BCQ，可得AB=BC，∠BAP=∠CBQ，可证△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=45°，可得结论； （3）由“AAS”可证△ATO≌△EAG，可得AT=AE，OT=AG，由“SAS”可证△TAD≌△EAD，可得TD=ED，∠TDA=∠EDA，由平行线的性质可得∠EFD=∠EDF，可得EF=ED，即可得结论． 【详解】解：（1）∵a2-2ab+2b2-16b+64=0， ∴（a-b）2+（b-8）2=0， ∴a=b=8， ∴b-6=2， ∴点C（2，-8）； （2）∵a=b=8， ∴点A（0，6），点B（8，0），点C（2，-8）， ∴AO=6，OB=8， 如图1，过点B作PQ⊥x轴，过点A作AP⊥PQ，交PQ于点P，过点C作CQ⊥PQ，交PQ于点Q， ∴四边形AOBP是矩形， ∴AO=BP=6，AP=OB=8， ∵点B（8，0），点C（2-8）， ∴CQ=6，BQ=8， ∴AP=BQ，CQ=BP， 又∠APB=∠BCQ ∴△ABP≌△BCQ（SAS）， ∴AB=BC，∠BAP=∠CBQ， ∵∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠ABP+∠CBQ=90°， ∴∠ABC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， ∵∠OAD+∠ADO=∠OAD+∠BAC+∠ABO=90°， ∴∠OAC+∠ABO=45°； （3）如图2，过点A作AT⊥AB，交x轴于T，连接ED， ∴∠TAE=90°=∠AGE， ∴∠ATO+∠TAO=90°=∠TAO+∠GAE=∠GAE+∠AEG， ∴∠ATO=∠GAE，∠TAO=∠AEG， 又∵EG=AO， ∴△ATO≌△EAG（AAS）， ∴AT=AE，OT=AG， ∵∠BAC=45°， ∴∠TAD=∠EAD=45°， 又∵AD=AD， ∴△TAD≌△EAD（SAS）， ∴TD=ED，∠TDA=∠EDA， ∵EG⊥AG， ∴EG∥OB， ∴∠EFD=∠TDA， ∴∠EFD=∠EDF， ∴EF=ED， ∴EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD， ∴EF=AG+OD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅外初二年级数学竞赛班检测试题 时间：80分钟 总分：120分 一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，求______． 2. 已知：，求：的值为_____． 3. 已知4(x-1008)2+(2021-2x)2=8，求(x-1008)(2021-2x)的值为__________． 4. 已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于____________． 5. 若，则的和为______． 6. 将4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若，则a、b满足关系式为__________． 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝BCA＝44°，M为△ABC内一点；且∠MCA＝30°，∠MAC＝16°，则∠BMC的度数为 ___． 8. 如图，两外角平分线分别交所在的直线于点，且，则_____度． 二、解答题（本题共10题，每题8分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9. 分解因式： （1） （2） 10. 已知与互为相反数，求代数式的值． 11. 解分式方程 12. 已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证：a+c=2b. 13. 求证：多项式的值一定是非负数． 14. 已知是不全相等的实数，且，则的值是多少？ 15. 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．解决问题： （1）已知（是整数，k是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． （2）拓展结论：已知实数满足，求代数式的最小值． 16. 设三个正数、、满足，求证：、、一定是某个三角形三边的长． 17. 按要求解题： （1）如图1，四边形中，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，四边形中，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，连接，，交轴于点． （1）求点的坐标； （2）求证：； （3）如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $