2022年湖南省长沙市天心区长沙市雅礼外国语学校八年级 数学竞赛检测试题

1 雅外初二年级数学竞赛班检测试题 时间：80分钟 总分：120分 班级： 姓名： 一、填空题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 已知 a+b=2，ab=3，求 a2－b2+ab+4b=_________ . 2. 已知： x y xy x y    6 1 3 3， ，求： 的值为_______ . 3. 已知 4(x-1008)2+(2021-2x)2=8，则(x-1008)(2021-2x)的值为 ． 4. 已知 a＝ 5－1，则 2a 3＋7a2－2a－12 的值为 ． 5. 若 1+x+x2+x3=0，则 1+x+x2+x3+…+x2018+x2019= . 6. 将 4张长为 a、宽为 b(a＞b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，设图中 空白部分的面积为 m，阴影部分的面积为 n，若 m=3n，写出 a、b之间的数量关系 . 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝44°，M为△ABC内一点，且∠MCA＝30°，∠MAC＝16°， 则∠BMC的度数为 . 8. 如图，△ABC两外角平分线 AD、BE分别交 BC、AC所在的直线于点 D、E，且 AD=AB=BE，则 ∠BAC= 度． 第 6题图 第 7题图 第 8 题图 二 、解答题（本题共 10 题，每题 8分，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9. 分解因式:(1) x x3 23 4  (2) x x x x x5 4 3 2 1     2 10. 已知a a2 6 9  与 | |b 1互为相反数，求代数式 ( )4 2 22 2 2 2 2 2 2 2a b a b ab a b a ab b a b ab b a         的值。 11. 解方程： 12. 在 ABC中，三边 a、b、c 满足 a b c ab bc2 2 216 6 10 0     ，求证： a c b  2 . 13. 求证：多项式 ( )( )x x x2 24 10 21 100    的值一定是非负数. 1 6 2 5+ = 2 7 3 6 x x x x x x x x         ＋ 3 14. 已知 a、b、c是不全相等的实数，且 abc≠0， 3 3 3 3a b c abc   ，则 + +a b b c c a c a b    的值多少？ 15. 我们定义：一个整数能表示成 ，是整数的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美 数”．理由：因为 ，所以 是“完美数”．解决问题： (1) 已知 t t 䀀ā是整数，是常数，要使 为“完美数”，试求出符合条件的一个 䀀 值，并说明理由． (2)拓展结论：已知实数 m，n满足 2m n 1  ，求代数式 2 2m 2n 4m 1   的最小值． 16. 设三个正数 a、b、c 满足    a b c a b c2 2 2 2 4 4 42     ，求证：a、b、c 一定是某个三角形三边 的长。 4 17. （1）如图 1，四边形 ABCD中，AB=CB,∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，请你猜想线段 DA、DC之和与 线段 BD的数量关系，并证明你的结论； （2）如图 2，四边形 ABCD中，AB=BC，∠ABC＝60°，若点 P为四边形 ABCD内一点，且∠APD＝120°， 请你猜想线段 PA、PD、PC之和与线段 BD的数量关系，并证明你的结论． （图 1） （图 2） 18. 如图 1，在平面直角坐标系中，点 A（0，a﹣2），B（b，0），C（b﹣6，﹣b），且 a、b满足： a2﹣2ab+2b2﹣16b+64＝0，连接 AB、AC，AC交 x轴于 D点． （1）求 C点的坐标； （2）求证：∠OAC+∠ABO＝45°； （3）如图 2，点 E在线段 AB上，作 EG⊥y轴于 G点，交 AC于 F点，若 EG＝AO，求证：EF＝OD+AG．