25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以“基础巩固-综合应用-拓展探究”为梯度，覆盖一元二次方程根与系数关系的直接应用、综合变形及跨情境探究，强化运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|韦达定理直接应用|如选择1求另一根、填空10构造方程，聚焦概念理解| |中档|结合判别式与代数式变形|如选择2参数取舍、解答17判别式与韦达综合，培养推理能力| |提高|跨知识综合与拓展探究|如选择8二次函数最值、解答22换元法探究，发展应用意识|

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 一．选择题（共8小题） 1．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个实数根为1，则另一实数根为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝18，则m的值为（　　） A．﹣9 B．2 C．2或﹣9 D．﹣2或9 3．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则a2﹣3b﹣5+ab的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．15 4．已知p，q（p≠q）满足p2﹣2026p＝1，q2﹣2026q＝1，则代数式pq的值是（　　） A．﹣2026 B．﹣1 C．1 D．2026 5．若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 6．设x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 7．关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0的两个实数根为x1，x2，设M＝x1+x2﹣4x1x2，则M与方程根的判别式Δ之间的数量关系是（　　） A．M＝Δ B．M＝2Δ C．M＝﹣Δ D．2M＝Δ 8．已知两个实数m，n是关于未知数x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（m+3）（n+3）的最小值是（　　） A．9 B．13 C．16 D．25 二．填空题（共8小题） 9．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是　 　 ． 10．写出一个两根之和为1，两根之积为﹣2的一元二次方程：　 　 ． 11．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为 　 　 ． 12．已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2﹣12x+9＝0的两个根，则这个长方形的面积是　 　 ． 13．已知x1，x2分别是关于x的方程2x2﹣kx+3＝0的两个根，且满足，则k的值为　 　 ． 14．已知关于x的方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为，，则b+c＝　 　 ． 15．已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为 　 　 ． 16．若关于x的方程ax2+bx+3＝0（a＞0）的两根之差为2，令t＝14a﹣b2，则t的最大值为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足x1+x2＝3﹣x1x2，求实数k的值． 18．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3x﹣k+1＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为﹣1，求k的值以及方程的另一个根． 19．已知：矩形ABCD两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣2mx+4m﹣4＝0的两个实数根． （1）当m为何值时，矩形ABCD是正方形； （2）若AB的长为4，求矩形ABCD的周长． 20．已知关于x的方程x2﹣4x+c＝0． （1）当方程的一个根为2时，求c的值； （2）若方程的两根之积为3，求方程的根． 21．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 22．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 （1）若α，β是方程x2﹣4x+1＝0的两根，则α+β＝　 　 ，αβ＝　 　 ，（2α+1）（2β+1）＝　 　 ； 【问题探究】 （2）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝3，那么关于y的一元二次方程（2y﹣1）2+b（2y﹣1）+c＝0是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 （3）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是p，两根之积是q，请求出关于t的方程a（2t+1）2+b（2t+1）+c＝0（a≠0）的两根之积的值（用字母p，q表示）． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个实数根为1，则另一实数根为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3 【分析】设方程的另一实数根为t，根据题意得1t＝﹣3，然后求出t的值． 【解答】解：设方程的另一实数根为t， 根据题意得1×t＝﹣3， 解得t＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1x2． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝18，则m的值为（　　） A．﹣9 B．2 C．2或﹣9 D．﹣2或9 【分析】由根与系数的关系得到m2+7m＝18，解得m的值后判断是否符合题意即可． 【解答】解：已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1x2＝m2+7m， ∵x1x2＝18， ∴m2+7m＝18， 整理得：m2+7m﹣18＝0， 因式分解得：（m﹣2）（m+9）＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣9， 当m＝2时， 原方程为x2﹣6x+18＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×18＝﹣36＜0， ∴该方程没有实数根，不符合题意， 当m＝﹣9时， 原方程为x2+27x+18＝0， ∵Δ＝272﹣4×1×18＝657＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，符合题意， 则m的值为﹣9， 故选：A． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握该关系是解题的关键． 3．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则a2﹣3b﹣5+ab的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．15 【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝﹣3，ab＝﹣5；再将a代入方程得到a2＝﹣3a+5，最后将a2﹣3b﹣5+ab进行化简，数值代入即可． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根， ∴a2+3a﹣5＝0，a+b＝﹣3，ab＝﹣5， 即a2＝﹣3a+5． ∴a2﹣3b﹣5+ab ＝﹣3a+5﹣3b﹣5+ab ＝﹣3（a+b）+ab ＝﹣3×（﹣3）﹣5 ＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系来计算． 4．已知p，q（p≠q）满足p2﹣2026p＝1，q2﹣2026q＝1，则代数式pq的值是（　　） A．﹣2026 B．﹣1 C．1 D．2026 【分析】把p、q看作是x2﹣2026x﹣1＝0的两个根，然后根据根与系数关系即可求解． 【解答】解：∵p2﹣2026p＝1，q2﹣2026q＝1， ∴p2﹣2026p﹣1＝0，q2﹣2026q﹣1＝0， ∴p、q可以看作是x2﹣2026x﹣1＝0的两个根， ∴pq＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数关系，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 5．若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由，得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键． 6．设x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】先利用与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数关系得x1+x2，x1x2， 所以2． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 7．关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0的两个实数根为x1，x2，设M＝x1+x2﹣4x1x2，则M与方程根的判别式Δ之间的数量关系是（　　） A．M＝Δ B．M＝2Δ C．M＝﹣Δ D．2M＝Δ 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再分别计算M和判别式Δ，对比即可得到二者的数量关系． 【解答】解：∵由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×c＝1﹣4c， 又∵M＝x1+x2﹣4x1x2， ∴M＝1﹣4c＝Δ． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 8．已知两个实数m，n是关于未知数x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（m+3）（n+3）的最小值是（　　） A．9 B．13 C．16 D．25 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ≥0，可得出关于t的一元一次不等式，解之即可得出t的取值范围，利用根与系数的关系，可得出m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，将其代入（m+3）（n+3）中，可得出（m+3）（n+3）关于t的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0， ∴t≥2． ∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根， ∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4， ∴（m+3）（n+3）＝mn+3（m+n）+9＝t2﹣2t+4+3×2t+9＝t2+4t+13＝（t+2）2+9． ∵1＞0，且t≥2， ∴当t＝2时，（m+3）（n+3）取得最小值，最小值为（2+2）2+9＝25． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的最值，利用根与系数的关系，找出（m+3）（n+3）关于t的二次函数关系式是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是　6　 ． 【分析】设该一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），由题意得a＝3，x1＝1，x2＝2，然后利用根与系数的关系求解． 【解答】解：设该一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 由题意可知： ，代入得， 解得c＝6， ∴这个方程的常数项是6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 10．写出一个两根之和为1，两根之积为﹣2的一元二次方程：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】直接利用根与系数的关系写出一个二次系数为1的一元二次方程． 【解答】解：∵方程的两根之和为1，两根之积为﹣2， ∴这个一元二次方程可为x2﹣x﹣2＝0． 故答案为：x2﹣x﹣2＝0．（答案不唯一） 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 11．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为 　﹣2　 ． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，再利用因式分解表示所求的代数式变形为x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1， 所以x1x2（x1+x2）＝﹣1×2＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 12．已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2﹣12x+9＝0的两个根，则这个长方形的面积是　9　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【解答】解：已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2﹣12x+9＝0的两个根， 设一元二次方程x2﹣12x+9＝0的两个根分别为x1和x2． 根据根与系数的关系可得：． ∵长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， ∴这个长方形的面积为x1x2＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查根与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 13．已知x1，x2分别是关于x的方程2x2﹣kx+3＝0的两个根，且满足，则k的值为　12　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2分别是关于x的方程2x2﹣kx+3＝0的两个根， 所以，． 又因为， 则， 所以， 解得k＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题得关键． 14．已知关于x的方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为，，则b+c＝　1　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为，， 所以，， 所以b＝2，c＝﹣1， 则b+c＝2+（﹣1）＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15．已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为 　﹣5＜k＜﹣1　 ． 【分析】先变形等式得到m2+4m﹣k﹣1＝0，（﹣n）2+4（﹣n）﹣k﹣1＝0，则m、﹣n可看作方程x2+4x﹣k﹣1＝0的两根，再利用根的判别式的意义求出k＞﹣5，接着利用根与系数的关系得m•（﹣n）＝﹣k﹣1，由于m，n异号，所以k+1＜0，然后解不等式得到k的取值范围． 【解答】解：∵m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1． ∴m2+4m﹣k﹣1＝0，（﹣n）2+4（﹣n）﹣k﹣1＝0， ∴m、﹣n可看作方程x2+4x﹣k﹣1＝0的两根， ∵Δ＝42﹣4（﹣k﹣1）＞0， 解得k＞﹣5， 根据根与系数的关系得m•（﹣n）＝﹣k﹣1， 即mn＝k+1， ∵m，n异号， ∴k+1＜0， 解得k＜﹣1， ∴k的取值范围为﹣5＜k＜﹣1． 故答案为：﹣5＜k＜﹣1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 16．若关于x的方程ax2+bx+3＝0（a＞0）的两根之差为2，令t＝14a﹣b2，则t的最大值为　　 ． 【分析】设关于x的方程ax2+bx+3＝0的两根为x1，x2，利用根与系数的关系得出，，结合两根之差为2的条件，推导出b2关于a的表达式，代入t得到t关于a的二次函数，利用二次函数的性质求t的最大值即可． 【解答】解：设关于x的方程的两根为x1，x2， 由根与系数的关系可得，， 由题意得|x1﹣x2|＝2， 两边平方得， ∵， ∴， 整理得b2＝4a2+12a， 将b2＝4a2+12a代入t＝14a﹣b2，得t＝14a﹣（4a2+12a）＝﹣4a2+2a， ∴t是关于a的二次函数，二次项系数﹣4＜0，开口向下，顶点处取得最大值， 当时，， ∴t的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共6小题） 17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足x1+x2＝3﹣x1x2，求实数k的值． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再利用x1+x2＝3﹣x1x2得到﹣（2k﹣1）＝3﹣（k2﹣1），接着解关于k的一元二次方程，然后利用k的取值范围确定满足条件的k的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0， 解得k， 即k的取值范围为k； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣1， ∵x1+x2＝3﹣x1x2， ∴﹣（2k﹣1）＝3﹣（k2﹣1）， 整理得k2﹣2k﹣3＝0， 解得k1＝﹣1，k2＝3， ∵k， ∴k的值为﹣1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式的意义． 18．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3x﹣k+1＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为﹣1，求k的值以及方程的另一个根． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】（1）证明：因为关于x的一元二次方程为x2+kx﹣3x﹣k+1＝0， 则Δ＝（k﹣3）2﹣4×1×（﹣k+1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4． 因为（k﹣1）2≥0， 所以（k﹣1）2+4≥4＞0， 所以无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）因为方程的一个根为﹣1， 则1﹣k+3﹣k+1＝0， 解得k， 所以方程为x20， 则两根之和为， 所以方程的另一个根为． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 19．已知：矩形ABCD两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣2mx+4m﹣4＝0的两个实数根． （1）当m为何值时，矩形ABCD是正方形； （2）若AB的长为4，求矩形ABCD的周长． 【分析】（1）由正方形的四边相等可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的值； （2）由条件可知x＝4是方程的根，代入方程则可求得m的值，进一步可求得方程的根，则可求得该方程的另一个根，即可求得矩形的另一边长，则可求得周长． 【解答】解：（1）当矩形ABCD为正方形时，可知AB＝BC， ∴关于x的方程x2﹣2mx+4m﹣4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（4m﹣4）＝0， 解得：m1＝m2＝2， 答：当m为2时，矩形ABCD是正方形； （2）当AB＝4时，即x＝4是方程的根， ∴42﹣2×4m+4m﹣4＝0， 解得：m＝3， 此时，原方程为x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， ∵AB的长为4， ∴BC的长为2， ∴2（AB+BC）＝2×（2+4）＝12， 答：若AB的长为4，矩形ABCD的周长为12． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及矩形、正方形的性质，利用根的判别式或根的定义求得m的值是解题的关键． 20．已知关于x的方程x2﹣4x+c＝0． （1）当方程的一个根为2时，求c的值； （2）若方程的两根之积为3，求方程的根． 【分析】（1）把x＝2代入一元二次方程得到4﹣8+c＝0，然后解一次方程即可； （2）先根据根与系数的关系得到c＝3，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）把x＝2代入方程x2﹣4x+c＝0得4﹣8+c＝0， 解得c＝4； （2）∵方程的两根之积为3， ∴c＝3， 方程化为x2﹣4x+3＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程． 21．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+12，则△＞0，从而根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1，再利用乘法公式得到（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算； （3）先根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1，再计算M﹣N得到M﹣N＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2，接着利用整体代入的方法得到M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2，然后利用配方法得到M﹣N＝（k+3）2+4＞0，从而得到M＞N． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+4）2﹣4（2k+1） ＝k2+8k+16﹣8k﹣4 ＝k2+12， ∵k2≥0， ∴k2+12＞0，即△＞0， ∴x2﹣（k+4）x+2k+1＝0总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1， （x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+1﹣2（k+4）+4 ＝2k+1﹣2k﹣8+4 ＝﹣3； （3）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1， ∵M，N＝2﹣x1x2， ∴M﹣N2+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2， ∴M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2 ＝k2+16+8k﹣2k﹣1﹣2 ＝k2+6k+13 ＝（k+3）2+4＞0， ∴M＞N． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 22．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 （1）若α，β是方程x2﹣4x+1＝0的两根，则α+β＝　4　 ，αβ＝　1　 ，（2α+1）（2β+1）＝　13　 ； 【问题探究】 （2）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝3，那么关于y的一元二次方程（2y﹣1）2+b（2y﹣1）+c＝0是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 （3）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是p，两根之积是q，请求出关于t的方程a（2t+1）2+b（2t+1）+c＝0（a≠0）的两根之积的值（用字母p，q表示）． 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设u ＝ 2y﹣1，则关于y的方程（2y﹣1）2+b（2y﹣1）+c＝0可化为u2+bu+c＝0，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，得到x1+x2＝p，x1x2＝q，设关于t的方程两根为t1，t2，令x＝2t+1，得到，进而进行求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝1． ∴根据根与系数关系，得， ∴（2α+1）（2β+1）＝4αβ+2α+2β+1＝4αβ+2（α+β）+1＝4×1+2×4+1＝13； 故答案为：4，1，13； （2）设u ＝ 2y﹣1，则关于y的方程（2y﹣1）2+b（2y﹣1）+c＝0可化为u2+bu+c＝0， ∵方程x2+bx+c＝0两根为x1＝2，x2＝3， 当u＝2时，2y﹣1＝2， 解得， 当u＝3时，2y﹣1＝3， 解得y2＝2， ∴该方程有实数根，根为，y2＝2． （3）设原方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2， 由题意，得x1+x2＝p，x1x2＝q， 设关于t的方程两根为t1，t2，令x＝2t+1， 变形得，则， 两根之积： ， ∴两根之积为． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/8 9:45:10；用户：阮燕；邮箱：yqsl66@xyh.com；学号：28230077 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $