精品解析：陕西咸阳市乾县姜村初级中学2025-2026学年度第二学期期末考试题八年级数学(北师大版A)

2025～2026学年度第二学期期末考试题（卷） 八年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟．书写工整、规范、卷面整洁． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得 ∴实数x的取值范围为． 2. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 3. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，结合已知条件求出的度数，再利用平行四边形对角相等的性质求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 4. 已知 ，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质，不等式两边同乘或同除以同一个负数时，不等号方向要改变求解即可． 【详解】解：∵ ， 对于A，不等式两边同时减，不等号方向不变，∴ ，A不成立； 对于B，不等式两边同时乘正数 ，不等号方向不变，∴ ，B不成立； 对于C，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，∴ ，C一定成立； 对于D，不等式两边同时乘 得 ，两边同时加 得 ，即 ，D不成立． 5. 如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和、外角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴等腰三角形有、两个． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为3，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出点A的横坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得 ∴点A的横坐标为 由图象可得，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象上方 ∴不等式的解集为． 7. 如图，D，E是的边，上的点，连接，F，G，H分别是的中点，连接，若，，，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，得，，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：F，G，H分别是的中点，，， ，， ， ； 8. 如图，在平行四边形中，于点，平分交于点，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长到点使得，通过证明，得到对应边、对应角相等，继而得到，继而得到，继而通过等量代换得到． 【详解】解：如图，延长到点使得， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 如图所示是个三个相同的正边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据图中是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，即可求出多边形每个内角的度数，进而即可求出答案． 【详解】解：∵是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌， ∴每个内角度数＝360°÷3＝120°， 那么边数为：360÷（180−120）＝6． 故多边形是正六边形． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°． 11. 不等式的最小整数解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式得到解集，再在解集范围内找出最小的整数即可． 【详解】解：原不等式为， 解得， 即， ∴ 大于的整数中，最小的整数是， 即不等式的最小整数解为． 12. 王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到．当点A，C，D在同一条直线上时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得的长，再由旋转的性质可得：，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴． 14. 在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上，  ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式： ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到原不等式组的解集． 【详解】解:， 解不等式①，得， 解得； 解不等式②，两边同乘消去分母，得， 展开，得， 移项整理，得， 解得， 两个解集的公共部分为， 因此原不等式组的解集为． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先把方程的分母因式分解，得到最简公分母，再将分式方程转化为整式方程求解，最后检验即可． 【详解】解：原方程变形为，， 两边同乘最简公分母，得 ， ， ， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 18. 如图，已知和一边上的点B．请用尺规作图法，求作，使是它的一个内角，且对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，即为所求，且． 【解析】 【分析】先过点作于点， 以点为圆心，为半径作弧， 以点为圆心， 为半径作弧， 两弧的交点即为点， 连线成四边形， 即可解答． 【详解】解：理由如下∶ 由作图， 可知 ， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简可得：原式，再把代入化简后的分式计算求值． 【详解】解： ， 当时， 原式. 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将经过平移得到，点B的对应点的坐标为，点A，C的对应点分别为，． （1）请在图中画出； （2）点是边上的一点，经过平移后，点P的对应点是点，则点的坐标为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先根据点B和对应点的坐标确定整个图形的平移规律，再根据平移规律作出平移后的三角形，最后推导点对应点的坐标即可． 【小问1详解】 解：已知中，平移后对应点的坐标为， 因此的平移规律为：向右平移6个单位，向下平移5个单位； ∵，，  ∴，， 在平面直角坐标系中描出，，顺次连接，，，即可得到； 作图略． 【小问2详解】 解：根据平移规律，点平移后，横坐标加6，纵坐标减5，因此对应点的坐标为． 21. 为落实劳动教育，学校规划打造校园劳动实践菜园．如图是劳动实践菜园的平面示意图，四边形是平行四边形，已知步道，现打算沿再修一条步道，两条步道的交点处设置一个凉亭（凉亭大小忽略不计），经测得，，求步道的长． 【答案】步道的长为 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得到，根据特殊角的直角三角形的性质以及勾股定理得到，进而根据勾股定理得到，． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 答：步道BD的长为． 22. 如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） （2）证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． 【小问2详解】 略 23. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 （2）该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； 【小问2详解】 设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最小值为67， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 24. 如图，在四边形中，，E为边上一点，连接，，交于点O，且，过点E作，，垂足分别为F，G，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ． ，， ， ． 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由推出内错角，结合已知、对顶角，用证明，得到一组对边，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形为平行四边形． （2）由平行四边形性质得，结合算出，利用证明得到平分；再根据三角形内角和求出、，在中求出与，由得，最后将与相加得到的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是平行四边形， ． ，， ． ． ，， ． ． ， ，． ，． ． ． ． 25. 某校后勤部门为进一步提升校园绿植养护质量，改善绿化带、苗木培育区域的土壤环境，计划集中采购一批优质绿植养护营养土．现有两家花卉店售卖同一品质的营养土，售价均为20元/袋．为了让利酬宾，两家花卉店给出如下优惠： “绿园”店：按售价的9折出售； “植享”店：若一次性购买营养土的数量不超过3袋，则按售价出售；若超过3袋，则超出的部分按售价的8折出售． 设学校后勤部门计划购买x袋营养土（x为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． （1）请分别写出，与x之间的函数表达式； （2）通过计算说明选择哪家花卉店购买更划算． 【答案】（1）（为正整数）；当且为正整数时，，当且为正整数时， （2）当购买营养土数量小于6袋时，选择“绿园”店更划算；当购买数量为6袋时，两家店费用相同；当购买数量大于6袋时，选择“植享”店更划算 【解析】 【分析】（1）根据两家花卉店给出的优惠求解； （2）根据题意分情况讨论，分别列出不等式和方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，（为正整数）； 当且为正整数时，； 当且为正整数时，． 【小问2详解】 解：当时，， 此时 当时，当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得； ∴当购买营养土数量小于6袋时，选择“绿园”店更划算；当购买数量为6袋时，两家店费用相同；当购买数量大于6袋时，选择“植享”店更划算． 26. 【问题提出】 如图①，在中，和的平分线与交于点E，且点在边上． （1）与之间存在的数量关系为________； （2）若是的中点，连接，交于点，，求的长； 【问题解决】 （3）如图②，平行四边形为生态研究所的湿地研究基地，湿地边界与形成的夹角，点是边界上的观测点，且，将线段绕观测点逆时针旋转得到线段，连接，沿铺设监测线路，现计划在边上设置一个观测点，监测线路与交于点，点即为集成传感器的位置，沿铺设电线．根据规划要求，为的中点，且．为了解规划的可实施性，请根据以上信息，探究边界，与电线之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行，结合角平分线证等腰三角形，得、，再结合平行四边形对边相等得，即可得； （2）取中点，利用中位线定理证且，由平行四边形得，结合得，再证，得，由是中点得，进而得出； （3）延长到使，证四边形是平行四边形，再证得，结合，得出． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，则， 是的中点， 是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，在延长线上截取，连接，， ， 为的中点， ． 四边形是平行四边形． ． ，是由旋转得到的， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即边界，与电线之间的数量关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末考试题（卷） 八年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟．书写工整、规范、卷面整洁． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆、行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为3，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D，E是的边，上的点，连接，F，G，H分别是的中点，连接，若，，，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 5 8. 如图，在平行四边形中，于点，平分交于点，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：________． 10. 如图所示是个三个相同的正边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则的值为______． 11. 不等式的最小整数解为________． 12. 王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 13. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到．当点A，C，D在同一条直线上时，的长为________． 14. 在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 16. 解不等式组： 17. 解方程：． 18. 如图，已知和一边上的点B．请用尺规作图法，求作，使是它的一个内角，且对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将经过平移得到，点B的对应点的坐标为，点A，C的对应点分别为，． （1）请在图中画出； （2）点是边上的一点，经过平移后，点P的对应点是点，则点的坐标为________． 21. 为落实劳动教育，学校规划打造校园劳动实践菜园．如图是劳动实践菜园的平面示意图，四边形是平行四边形，已知步道，现打算沿再修一条步道，两条步道的交点处设置一个凉亭（凉亭大小忽略不计），经测得，，求步道的长． 22. 如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 23. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 24. 如图，在四边形中，，E为边上一点，连接，，交于点O，且，过点E作，，垂足分别为F，G，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 25. 某校后勤部门为进一步提升校园绿植养护质量，改善绿化带、苗木培育区域的土壤环境，计划集中采购一批优质绿植养护营养土．现有两家花卉店售卖同一品质的营养土，售价均为20元/袋．为了让利酬宾，两家花卉店给出如下优惠： “绿园”店：按售价的9折出售； “植享”店：若一次性购买营养土的数量不超过3袋，则按售价出售；若超过3袋，则超出的部分按售价的8折出售． 设学校后勤部门计划购买x袋营养土（x为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． （1）请分别写出，与x之间的函数表达式； （2）通过计算说明选择哪家花卉店购买更划算． 26. 【问题提出】 如图①，在中，和的平分线与交于点E，且点在边上． （1）与之间存在的数量关系为________； （2）若是的中点，连接，交于点，，求的长； 【问题解决】 （3）如图②，平行四边形为生态研究所的湿地研究基地，湿地边界与形成的夹角，点是边界上的观测点，且，将线段绕观测点逆时针旋转得到线段，连接，沿铺设监测线路，现计划在边上设置一个观测点，监测线路与交于点，点即为集成传感器的位置，沿铺设电线．根据规划要求，为的中点，且．为了解规划的可实施性，请根据以上信息，探究边界，与电线之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $