微专题集训6 基本不等式-【高考领航】2027年高考数学一轮复习微专题速练

**基本信息** 聚焦基本不等式应用，通过高考真题与模拟题结合，覆盖多选判断、最值求解及实际应用，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考真题|2题（2020新高考Ⅰ卷T11等）|多选判断代数式范围|从基本不等式概念到与指数、对数结合的综合应用| |模拟应用|14题（含实际应用题）|最值求解、恒成立问题|通过“和定积最大”“积定和最小”变形，衔接函数与方程思想|

微专题集训6　基本不等式 [真题精准练] 1．ABD　由a>0，b>0及可知(a＋b)2≤2a2＋2b2，则a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取等号，故A正确；由a>0，b>0，a＋b＝1，得a－b＝2a－1>－1，故2a－b>，故B正确；log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2 ＝log2 ＝－2，当且仅当a＝b＝时取等号，故C错误；由可知(当且仅当a＝b＝时取等号)，结合a＋b＝1可知(或因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以要证成立，只需 证a＋b＋2≤2成立，即证2≤1，因为，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以不等式得证)，故D正确．故选ABD. 2．BC　对于A，B，由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，又xy＝，所以(x＋y)2－＝1，即1＝，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C，D，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确．故选BC. [高考变式练] 1．ABC　由基本不等式可知，＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确； 易知，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故B正确；log2a·log2b≤ ＝ ＝(－1)2＝1，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C正确；由ab＝可得b＝，所以a＋ln b＝a＋ln ＝a－ln 4a＝a－2ln 2－ln a，若a＋ln b≥－ln 2，即证明a－2ln 2－ln a≥－ln 2，即a－ln a≥＋ln 2＝－ln ，即需证明a－ln a≥－ln ，令函数f(x)＝x－ln x，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝1－，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以a∈(1，＋∞)时，解不等式a－ln a≥－ln 可得a>1，即a∈(1，＋∞)时不等式a－ln a≥－ln 成立；当x∈(0，1)时，f′(x)<0，即f(x)在(0，1)上单调递减，解不等式a－ln a≥－ln 可得a≤，即a∈时不等式a－ln a≥－立；综上可知，当a∈∪(1，＋∞)时，不等式a＋ln b≥－ln 2才成立，所以D错误．故选ABC. 2．BC　因为a>0，b>0，所以a＋b＝ab－3≥2，所以2－2－3≥0，解得≥3，当且仅当即a＝b＝3时取等号，所以ab≥9，所以ab的取值范围是[9，＋∞)，A错误，B正确；因为a>0，b>0，所以a＋b＋3＝ab≤2，化为(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当即a＝b＝3时取等号，所以a＋b的取值范围是[6，＋∞)，C正确，D错误．故选BC. [最新模拟练] 1．C　因为x>1，所以x－1>0，对2x＋进行变形可得2(x－1)＋＋2，根据基本不等式，得2(x－1)＋＋2＝8＋2＝10，当且仅当2(x－1)＝时，即x＝3等号成立，所以当x＝3时，2x＋取得最小值10.故选C. 2．C　对于A，因为a>0，b>0，a＋b＝24，所以ab≤2＝144，当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以ab的最大值为144.故A错误；对于B，因为a>0，b>0，a＋b＝24，所以2＝144，所以a2＋b2≥288，当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以a2＋b2的最小值为288.故B错误；对于C，因为a>0，b>0，a＋b＝24，所以，由A选项可知，ab≤144，所以，所以，即，当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以的最小值为.故C正确；对于D，因为a>0，b>0，a＋b＝24，所以2＝a＋b＋2，由A可知，ab≤144，所以≤12，所以24＋2≤48，即2≤48，所以0<，所以的最大值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．故D错误．故选C. 3．A　因为＝1，ab>0，所以a＋b＝(a＋b)＝5＝9，当且仅当且＝1，即a＝3，b＝6时等号成立，因为关于t的不等式a＋b≥t2＋5t＋3恒成立，所以9≥t2＋5t＋3，解得－6≤t≤1，所以t∈[－6，1].故选A. 4．C　因为正数a，b满足a＋b＝3，所以(a＋b)＝＝3，当且仅当，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为3.故选C. 5．C　因为a，b>0，所以ab≤2，即a＋b＋8≤2，令t＝a＋b，t>0，得t2－4t－32≥0，解得t≤－4(不符合题意，舍去)或t≥8，所以a＋b≥8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，即a＋b的最小值为8.故选C. 6．B　因为正实数a，b满足a＋b＝4，所以(a＋2)＋b＝6，即[(a＋2)＋b]＝1，所以·[(a＋2)＋b]＝＝，当且仅当，即b＝a＋2，又因为a＋b＝4，所以a＝1，b＝3时等号成立，所以的最小值为.故选B. 7．B　因为这个无盖水池的容积为8 m3，高为2 m，故其底面积为4 m2，设水池的长为x m，则其宽为 m，其中x>0，故这个水池的造价为80×2×2＋120×4＝320＋480≥320×2＋480＝1280＋480＝1760(元)，当且仅当x＝(x>0)时，即当x＝2时等号成立，故这个水池的最低造价为1760元．故选B. 8．D　因为a>0，b>0，所以(a＋b)＝10＋＝16，当且仅当时取等号．令s＝a＋b得s≥16，由a＋b＝＋4得＝s－4，所以(s－4)s≥16，s2－4s－16≥0，解得s≤2－2或s≥2＋2，又因为a>0，b>0，所以s＝a＋b>0，故s＝a＋b≥2＋2，当且仅当即b＝3a＝时，取等号．故选D. 9．解析：由a，b>0，a＋＝2，得b＋＝＋2＝4，当且仅当ab＝，即b＝2，a＝1时等号成立， 所以b＋的最小值为4. 答案：4 10．解析：由题意可知ab>0，满足2a－b＋＝1，即1－(2a－b)＝，等式两边同时乘以2a－b可得(2a－b)－(2a－b)2＝(2a－b)＝－10，因为ab>0，则>0，>0，故＝8，当且仅当，结合2a－b＋＝1，即a＝，b＝2或a＝－1，b＝－4时，等号成立，故－10≥－2，即(2a－b)－(2a－b)2≥－2，即(2a－b)2－(2a－b)－2≤0，解得－1≤2a－b≤2，当a＝，b＝2时，2a－b＝－1；当a＝－1，b＝－4时，2a－b＝2.所以2a－b的最大值为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训6　基本不等式 1．(多选)(2020·新高考Ⅰ卷T11，中)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D． 2．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷T12，中)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 1．(多选)已知a>0，b>0，且ab＝，则下列不等关系成立的是(　　) A．≥4 B． C．log2a·log2b≤1 D．a＋ln b≥－ln 2 2．(多选)若a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则(　　) A．0<ab≤9 B．ab≥9 C．a＋b≥6 D．0<a＋b≤6 1．(2026·湖南名校联盟联考)若x>1，则2x＋的最小值是(　　) A．6 B．4 C．10 D．2 2．(2026·辽宁大连期中)若a>0，b>0，且a＋b＝24，则(　　) A．ab有最小值144 B．a2＋b2有最大值288 C．有最小值 D．有最小值4 3．(2026·陕西商洛月考)已知＝1，且ab>0，若关于t的不等式a＋b≥t2＋5t＋3恒成立，则实数t的取值范围为(　　) A．[－6，1] B．[－1，6] C．(－∞，－1]∪[6，＋∞) D．(－∞，－6]∪[1，＋∞) 4．(2026·青海海西期中)已知正数a，b满足a＋b＝3，则的最小值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 5．(2026·安徽马鞍山模拟)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则a＋b的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 6．(2026·福建宁德期中)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则的最小值为(　　) A． B． C．1 D．4 7．(2026·广东江门月考)要建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为(　　) A．1600元 B．1760元 C．1800元 D．1860元 8．(2026·湖北孝感模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝＋4，则a＋b的最小值为(　　) A．2－2 B．2－1 C．1＋2 D．2＋2 9．(2026·四川成都模拟)设a，b>0，a＋＝2，则b＋的最小值为________． 10．(2026·陕西延安模拟)已知ab>0，满足2a－b＋＝1，则2a－b的最大值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $