2026年山东省济南市市中区普利初级中学中考数学三模试题（练习卷）

**基本信息** 立足核心素养，融合文化（唐诗梅花）、科技（AI机器人）与生活（跳棋游戏）情境，梯度设计覆盖数与式、函数、几何、统计等核心知识，适配三模综合训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|倒数、视图、科学记数法、正多边形、二次函数图像|结合唐诗考科学记数法，骰子游戏渗透概率思想| |填空题|5/20|因式分解、概率估计、正多边形边数、反比例函数交点|用发芽频率估计概率，体现数据意识| |解答题|10/90|几何证明（菱形、圆切线）、函数应用（二次函数变换）、动态几何（最值问题）|AI机器人采购考方程应用，小球运动结合坐标系与全等模型，综合考查数学思维与应用能力|

九年级数学试题（练习卷） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1． 0.5的倒数是（　　） A．5 B．2 C．﹣0.5 D．﹣2 2．如图所示的几何体，其俯视图为（　　） A． B． C． D． 3．唐诗“不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香．”歌颂了梅花不畏严寒，努力绽放的坚毅品格．已知某种梅花花粉的直径约为0.000032米，数据0.000032用科学记数法表示为（　　） A．0.32×10﹣4 B．3.2×10﹣4 C．3.2×10﹣5 D．32×10﹣6 4．如图，这是一个不完整的正多边形图案，边BC与对角线AC的夹角为∠ACB，若∠ACB＝22.5°，则这个正多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（　　） A．a+2b＝3ab B．（2a2）2＝2a4 C．（a+b）2＝a2+b2 D．2ab•4a＝8a2b 7．如图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是（　　） A． B． C． D．0 8．关于x的一元二次方程x2+2x＝m2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD＝2，直线MN恰好经过点A，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 10．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　） ①2a+b＝0； ②c＝3； ③abc＞0； ④3a+c＝0； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．分解因式：2x3﹣50x＝　 　 ． 12．在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 0.78 0.82 0.79 0.81 0.80 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为　 　 ．（结果精确到0.01） 13．如图，这是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线a，b的夹角为60°，则该正多边形的边数是　 　 ． 14．如图，已知正比例函数y＝kx的图象与双曲线的图象交于A（2，m）、B两点，则点B的坐标为 　 　 ． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AB′D，点C在线段AB′上，过点C作CE∥AD交BA延长线于点E，若AC：CB′＝3：2，EB＝16，则EA的长为 　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分90分，每小题9分） 16．（9分）计算：． 17．（9分）求不等式组：的所有整数解． 18．（9分）如图所示，E是▱ABCD的边AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，若CD＝6，求BF的长． 19．（9分）如图，一辆应急保障车在A点接到指令，得知山区观测站M的通讯设备出现故障．在A点测得观测站M位于A的南偏西60°方向上．应急保障车沿正西方向行驶20公里到达B点，此时测得观测站M位于B的南偏西30°方向上，同时测得物资补给站C位于B的西南方向．已知补给站C在观测站M的正西方向上．（参考数据：） （1）求观测站M到应急保障车行驶路线AB的距离为多少公里（结果保留根号）； （2）应急保障车到达B点后，立即执行双路行动：一名工作人员乘坐摩托车从B点出发，沿BC前往补给站C领取维修配件（领取时间忽略不计），之后沿CM赶往观测站M，速度为30公里/小时，同时维修员乘应急保障车沿BM前往观测站M检测设备，速度为25公里/小时，预计设备检测时间为35分钟；请通过计算说明：摩托车能否在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站M（结果保留小数点后一位）？ 20．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且AD平分∠BAC，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E． （1）求证：BC∥DE； （2）若，BC＝12，求BE的长． 21．（9分）为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高学校的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐防暴培训及演练活动．为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：85≤x≤100；合格为B等级：70≤x＜85；不合格为C等级：0≤x＜70．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组．A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩中A组共有a个人． 七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 c d 163 八年级 88 95 96 95.1 九年级 89 91.5 100 77.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ，d＝　 　 ； （2）根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩较好，并说明理由； （3）若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 22．（9分）为加快实现科技自立自强，推动我国智能制造高质量发展，某企业大力推进国产AI装备应用，采购了相同数量的A型、B型两种国产AI智能机器人．已知购买A型机器人总费用为90万元，购买B型机器人总费用为60万元，A型机器人的单价比B型机器人的单价高3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业某部门计划购买A，B两种型号国产AI智能机器人共8台，要求总费用不超过67万元，且B型机器人的数量不超过A型机器人的数量．请问共有哪几种购买方案？最省钱的方案所需费用是多少？ 23．（9分）【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI技术已悄然渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2），设点O为坐标原点，水平直线OC为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板CG上D点处，其中DC⊥x轴，垂足为C，∠ABD＝90°，小球运动都为直线型路径． 【初步发现】 （1）如图2，若AB的函数关系式为． ①则点A坐标为　 　 ；点B坐标为　 　 ； ②聪明的小宛发现当AB＝BD时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D的坐标为　 　 ； 【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 【应用探究】 （2）已知直线l1：y＝2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，过反比例函数图象一点E，在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求反比例函数的表达式； 【拓展延伸】 （3）如图4，将直线l1：y＝2x+2绕点A旋转45°得到l2，直接写出l2的函数表达式． 24．（9分）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题． （1）求与抛物线L1表达式； （2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点； （3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 25．（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一动点，连接PA，PB． （1）如图1，连接PC，若BC＝PB，∠CBP＝30°． ①∠APC的度数为　 　 ； ②如图2，射线AP与∠PBC的平分线BE相交于点E，求PE的长； （2）如图3，F为CD上一点，CF＝1，连接BF，PF，PD．若2PA2+PD2＝PB2，求△BPF面积的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C B D B A C D 11． 2x（x﹣5）（x+5） 12． 0.80 13． 6 14． （﹣2，﹣3） 15． 6 16． 4﹣4 解：原式＝4×+﹣3﹣2+1 ＝2+2﹣3﹣2+1 ＝4﹣4． 17． ﹣1，0． 解：， 由①得3x﹣x＜2， ∴x＜1， 由②得2（2x﹣1）≤6+3（5x+1）， 去括号，得4x﹣2≤6+15x+3， 移项，得4x﹣15x≤6+3+2， ∴﹣11x≤11， ∴x≥﹣1， ∴﹣1≤x＜1， ∴原不等式组的所有整数解是﹣1，0． 18． BF的长为12． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝6，AB∥CD， ∵E是边AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F， ∴AE＝DE，∠F＝∠DCE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴FA＝CD＝6， ∴BF＝FA+AB＝6+6＝12， ∴BF的长为12． 19． （1）公里； （2）摩托车能在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站M，、过点C作CE⊥AB于点E， 结合（1）可知MD⊥AB，BM＝20公里，∠DBM＝60°，公里， ∴MD∥CE，DB＝BM•cos60°＝10公里，∠CED＝90°， 由题意知DE∥CM， ∴四边形CMDE为矩形， ∴公里， 由题意知∠CBE＝45°， ∴，（公里）， ∴公里， 则摩托车所用时间为：， 维修员所用时间为：， ∵1.4＞1.1， ∴摩托车能在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站M． 解：（1）过点M作MD⊥AB于点D， 由题知，∠DBM＝90°﹣30°＝60°，AB＝20公里，∠DAM＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BMA＝∠DBM﹣∠DAM＝30°＝∠DAM， ∴BM＝AB＝20公里， ∴（公里）； （2）过点C作CE⊥AB于点E， 结合（1）可知MD⊥AB，BM＝20公里，∠DBM＝60°，公里， ∴MD∥CE，DB＝BM•cos60°＝10公里，∠CED＝90°， 由题意知DE∥CM， ∴四边形CMDE为矩形， ∴公里， 由题意知∠CBE＝45°， ∴，（公里）， ∴公里， 则摩托车所用时间为：， 维修员所用时间为：， ∵1.4＞1.1， ∴摩托车能在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站M． 20． （1）证明见解析； （2）5． 解：（1）证明：连接OD， ∵DE切圆于D， ∴OD⊥DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴OD∥AC， ∵AB是圆的直径， ∴∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴OD⊥BC， ∵OD⊥DE， ∴BC∥DE； （2）解：∵BC∥DE， ∴∠ABC＝∠E， ∴cos∠ABC＝cosE＝， ∴＝， ∵BC＝12， ∴AB＝15， ∴OD＝OB＝AB＝7.5， ∵cosE＝＝， ∴令DE＝4x，则OE＝5x， ∴OD＝＝3x＝7.5， ∴x＝2.5， ∴OE＝5x＝12.5， ∴BE＝OE﹣OB＝5． 21． （1）13；14；86；95； （2）九年级的成绩比较好，理由见解析； （3）390人． 解：（1）由题意得，a＝（3+5+12）×65%＝13，b＝20﹣1﹣5＝14， 七年级的中位数， ∵七年级学生测试成绩的众数出现在A组，且七年级成绩在A组中得分为95的人数最多； ∴七年级的众数d＝95； 故答案为：13；14；86；95； （2）九年级的测试成绩较好， 理由如下：∵三个年级中九年级的平均成绩最好，且九年级的众数最大，方差最小，即九年级的成绩更加稳定，∴九年级的成绩比较好； （3）（人）， ∴估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有390人． 22． （1）A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）共有3种购买方案：①购买A型机器人4台，B型机器人4台；②购买A型机器人5台，B型机器人3台；③购买A型机器人6台，B型机器人2台；最省钱的方案所需费用是60万元． 解：（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元， 根据题意得：＝， 解得：x＝9， 经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣3＝6， 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）设购买A型机器人y台，则购买B型机器人（8﹣y）台， 根据题意得：， 解得：4≤y≤， 又∵y为正整数， ∴y的值为4或5或6， ∴共有3种购买方案： ①购买A型机器人4台，B型机器人4台，费用为：9×4+6×4＝60（万元）； ②购买A型机器人5台，B型机器人3台，费用为：9×5+6×3＝63（万元）； ③购买A型机器人6台，B型机器人2台，费用为：9×6+6×2＝66（万元）； ∵60＜63＜66， ∴最省钱的方案所需费用是60万元， 答：共有3种购买方案：①购买A型机器人4台，B型机器人4台；②购买A型机器人5台，B型机器人3台；③购买A型机器人6台，B型机器人2台；最省钱的方案所需费用是60万元． 23． （1）①（0，4）；（3，0）； ②（7，3）； （2）； （3）或y＝﹣3x+2． 解：（1）①AB的函数关系式为． 当x＝0时，得：y＝4； 当y＝0时，得：， 解得：x＝3， ∴点A（0，4）；点B（3，0）． 故答案为：（0，4）；（3，0）； ②∵∠ABD＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∵DC⊥x轴， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BDC+∠CBD＝90°， ∴∠BDC＝∠ABO， 在△BCD和△AOB中， ， ∴△BCD≌△AOB（AAS）， ∴BC＝AO，CD＝OB， 由①得，A（0，4），B（3，0）， ∴BC＝AO＝4，CD＝OB＝3， ∴OC＝OB+BC＝3+4＝7， ∴点D的坐标为（7，3）． 故答案为：（7，3）； （2）如图3，作EF⊥y轴于点F， 直线l1：y＝2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A， 当x＝0时，得：y＝2； 当y＝0时，得：2x+2＝0， 解得：x＝﹣1， ∴A（0，2），B（﹣1，0）， ∴AO＝2，BO＝1， ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAO+∠EAF＝90°， ∵EF⊥y轴， ∴∠AFE＝90°， ∴∠AEF+∠EAF＝90°， ∴∠AEF＝∠BAO， 又∵∠AFE＝∠BOA＝90°，AE＝BA， ∴△AEF≌△BAO（AAS）， ∴AF＝BO＝1，EF＝AO＝2， ∴OF＝AO+AF＝2+1＝3， ∴E（﹣2，3）， 代入E（﹣2，3）到反比例函数，得：k＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为； （3）直线l2的函数表达式为或y＝﹣3x+2．理由如下： 由（2）得，A（0，2），B（﹣1，0）， ①若直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2， 如图4，过点B作BM⊥AB交l2于点M，作MN⊥x轴于点N， ∵BM⊥AB， ∴∠ABM＝90°， ∴∠MBN+∠ABO＝90°， ∵MN⊥x轴， ∴∠MNB＝90°， ∴∠MBN+∠BMN＝90°， ∴∠BMN＝∠ABO， ∵∠BAM＝45°， ∴∠AMB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BAM＝∠AMB， ∴BM＝AB， 又∵∠MNB＝∠BOA＝90°， ∴△MNB≌△BOA（AAS）， ∴MN＝BO＝1，BN＝AO＝2， ∴ON＝BO+BN＝1+2＝3， ∴M（﹣3，1）， 设直线l2的函数表达式为y＝kx+2， 代入M（﹣3，1），得﹣3k+2＝1， 解得：， ∴直线l2的函数表达式为； ②若直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2， 如图5，过点B作BM⊥AB交l2于点M，作MN⊥x轴于点N， 同理①的方法可得，MN＝BO＝1，BN＝AO＝2， ∴ON＝BN﹣BO＝2﹣1＝1， ∴M（1，﹣1）， 设直线l2的函数表达式为y＝k′x+2， 代入M（1，﹣1），得k′+2＝﹣1， 解得：k′＝﹣3， ∴直线l2的函数表达式为y＝﹣3x+2； 综上所述，直线l2的函数表达式为或y＝﹣3x+2． 24． （1）y＝x2﹣2x； （2）；L2经过L1的顶点； （3）n的最大值为． 解：（1）抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，把点O和点A的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，得： ， 解得， ∴抛物线L1表达式为y＝x2﹣2x； （2）∵L1的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； 根据题意，得抛物线L2的解析式y＝x2﹣2， 令y＝0， 得x2﹣2＝0， 解得， 故抛物线L2与x轴交点的坐标为； 当x＝1， y＝x2﹣2＝﹣1， 故抛物线L2经过L1的顶点； （3）n的最大值是．理由如下： ∵直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，抛物线L1的顶点坐标为（1，﹣1）， ∴n＞﹣1， ∴2+n＞1，1+n＞0， 令y＝x2﹣2＝n， 解得：， ∴， 令x2﹣2x＝n， 解得：， ∴， ∴， 令， 根据反比例函数的性质得：当y越小时，1+n越大， ∵的值是整数， ∴y是整数，且是整数， 当y＝1时，不是整数，不符合题意； 当y＝2时，不是整数，不符合题意； 当y＝3时，是整数，符合题意； ∴y的最小值是3，此时1+n最大，此时， 故n的最大值为． 故n的最大值是． 25． （1）①135°；②PE＝2﹣2； （2）11﹣． 解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠CBP＝30°， ∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝60°， ∵BC＝PB， ∴，AB＝PB， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB＝60°， ∴∠APC＝∠APB+∠BPC＝60°+75°＝135°； ②∵∠APC＝135°， ∴∠EPC＝45°， ∵BP＝BC，BE是∠PBC的平分线， ∴BE垂直平分PC， ∴EP＝EC， ∴∠ECP＝∠EPC＝45°， 如图，连接AC， 在Rt△ABC中，， ∵△ABP是等边三角形， ∴AP＝AB＝4， 设CE＝x，则PE＝CE＝x，AE＝AP+PE＝4+x， 在Rt△ACE中，AC2＝AE2+EC2， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； 方法二，如图，过点B作BF⊥AE于点F， 同理可得∠FEB＝45°， ∵△ABP是等边三角形， ∴AF＝PF＝2， ∴， ∴； （2）如图，将△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AQB， ∴AQ＝AP，∠AQP＝90°，BQ＝PD， ∴，∠AQP＝45°， ∵2PA2+PD2＝PB2， ∴PQ2+BQ2＝PB2， ∴△BQP是直角三角形， ∴∠PQB＝90°， ∴∠APD＝AQB＝∠AQP+∠PQB＝45°+90°＝135°， 如图，以AD为斜边作等腰直角△OAD，则∠OAD＝∠ODA＝45°，以O为圆心OA为半径作圆， ∴，， ∴， ∴∠APD＝135°， 即P在以O为圆心OA为半径的上运动， 过点O作OM⊥BF于点M，则P在OM上时，PM取得最小值，△BPF面积取得最小值， 如图，过点O作AB的平行线，分别交BA，CD的延长线于点N，T，连接OA，OD， ∴∠NOA＝∠OAD＝45°，∠TOD＝∠ODA＝45°， ∴△OAN，△ODT是等腰直角三角形， ∵正方形ABCD的边长为4，CF＝1， ∴BC＝4， 在Rt△BFC中，， ∵AD＝4，则， ∴， ∴BN＝6， ∴， 同理可得OT＝2，TF＝5， ∴， 设MB＝x，则， 在Rt△OBM，Rt△OFM中，OM2＝OB2﹣BM2＝OF2﹣MF2， ∴， 解得：， ∴， ∴△BPF面积的最小值为＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/23 14:57:51；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@163.co 第9页（共23页） 学科网（北京）股份有限公司 $