精品解析：2024年山东桓台县城南学校初四下学期数学练习题

初四数学练习题 （时间：120分钟） 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的计算结果为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由7个大小相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒 A. B. C. D. 4. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 学校组织“超强大脑”答题赛，参赛的 11 名选手得分情况如表所示，那么这 11 名选手得分的中 位数和众数分别是（ ） 分数（分） 60 80 90 95 人数（人） 2 2 3 4 A. 86.5 和 90 B. 80 和 90 C. 90 和 95 D. 90 和 90 6. 如图，已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A. 3α+β＝180° B. 2α+β＝180° C. 3α﹣β＝90° D. 2α﹣β＝90° 8. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，，连接，过点作交的延长线于．若，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 9. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，，…是分别以为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请直接填写最后结果． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______ 13. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 14. 如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是___________． 15. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，将四边形沿翻折，点B的对应点点G恰好落在上，点A的对应点是点H，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，现需安装教室间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，则最多安排甲公司工作多少天？ 18. 如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）求证：． 19. 在“双减”政策下，某校体育组在八年级开展的球类活动有：A．乒乓球，B．篮球，C．排球，D．羽毛球，要求八年级的每位学生必须参加且仅参加一项．学校体育组根据实际情况，要安排活动场地，随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是____________人；在扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数是___________； （2）请把这两幅统计图补充完整； （3）若该校八年级学生有600名，请估计该校参加篮球和排球活动的八年级学生共有多少人？ （4）小明与小亮是好朋友，且同在该校八年级上学，请用画树状图或列表的方法说明小明与小亮参加同一球类活动的概率． 20. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 21. 小华去太华路小学参加中考体育测试时发现，太华路小学的路灯照明是依靠太阳能光板供给的，如图所示，路灯立柱长10.3米，支架的长为0.4米，支点到立柱顶端的距离为0.3米，支架与立柱的夹角，支架与光板垂直，太阳能光板长为1.2米，点是的中点，求太阳能光板最低点离地面的高度（结果保留根号）． 22. 已知点O是线段的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”． （1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”和的数量关系是_________． （2）[探究证明]如图2，当点P是线段上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）[拓展延伸]如图3， ①当点P是线段延长线上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由； ②若，求证：． 23. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当AC∥x轴时， ①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c． (2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学练习题 （时间：120分钟） 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的计算结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据有理数的减法法则计算绝对值里的算式，再去绝对值，取相反数． 【详解】原式． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，去绝对值，掌握有理数的减法运算是解题的关键． 2. 如图是由7个大小相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图为： ． 3. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可． 【详解】解：光在真空中的速度约为每秒30万千米， 光在真空中的速度约为30万千米/秒， 30万千米千米，3后面有5个0， 用科学记数法表示为千米/秒， 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键． 4. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据平行线的性质可得∠3=∠1=110°，则有∠4=70°，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴∠3=∠1=110°， ∴， ∵ ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 5. 学校组织“超强大脑”答题赛，参赛的 11 名选手得分情况如表所示，那么这 11 名选手得分的中 位数和众数分别是（ ） 分数（分） 60 80 90 95 人数（人） 2 2 3 4 A. 86.5 和 90 B. 80 和 90 C. 90 和 95 D. 90 和 90 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用中位数和众数的定义求解可得． 【详解】解：这组数据的中位数是第6个数据，即90分， 出现次数最多的数据是95分， 所以，众数为95分， 故选：C． 【点睛】本题考查中位数和众数的概念．在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 6. 如图，已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本作图方法得出∠APE＝90°，AP＝PE，AB＝AE，利用勾股定理求出AE的长，即可得出答案． 【详解】解：∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAB＝45°， ∵EP⊥AB， ∴∠APE＝90°， ∴∠EAP＝∠AEP＝45°， ∴AP＝PE， 设AP＝PE＝x，、 ∴AB＝AE＝， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了基本作图，勾股定理，分母有理化，正确掌握基本作图方法得出线段之间的关系是解题关键． 7. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A. 3α+β＝180° B. 2α+β＝180° C. 3α﹣β＝90° D. 2α﹣β＝90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果． 【详解】解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，，连接，过点作交的延长线于．若，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，证明出，得到，过点P作轴于点Q，根据，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据，得到，得到，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到是解题的关键． 9. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点F的坐标，可得MB=1，AB=2，连接AC，CM，交BD于点N1，连接A N1，此时MN+AN的最小值=M N1+A N1=CM，根据菱形和直角三角形的性质可得CM=，DN1=，进而即可得到答案． 【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是AB的中点， ∴BD=，MN+AN=AB+MB=3MB=3， ∴MB=1，AB=2， 连接AC，CM，交BD于点N1，连接A N1，此时MN+AN的最小值=M N1+A N1=CM， ∵在菱形ABCD中，∠C＝120°， ∴∠ABC=60°， ∴是等边三角形， ∴CM⊥AB，∠BCM=30°， ∴BC=2×1=2，CM=， ∵AB∥CD， ∴CM⊥CD， ∵∠ADC=∠ABC=60°， ∴∠BDC=30°， ∴DN1=CD÷cos30°=2÷=， ∴E的坐标为， 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数的图像，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 10. 如图，，，，…是分别以为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，……然后再求和． 【详解】解：如图，过……分别作轴的垂线，垂足分别为……， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 其斜边的中点在反比例函数中， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 设，则， 此时将代入得， 解得，即， 同理， ． ∴ ． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请直接填写最后结果． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______ 【答案】 【解析】 【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可 【详解】解：如图，作轴于H． 由题意：， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 13. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根得到，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：16． 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． 14. 如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先作，作于点E，和交于点O，再根据边长求出，即可求出，然后根据面积公式即可求出答案． 【详解】作，作于点E，和交于点O，如图所示： ∵等边的边长为6 ∴AB=6，则BD=3， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形以及三角形的内切圆，解题关键是求出圆的半径． 15. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，将四边形沿翻折，点B的对应点点G恰好落在上，点A的对应点是点H，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作，证明，得到，则，那么，故当A、G、R共线时，有最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作， 由对称性可得，，，，，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值，最小值为 由对称可得， ∴ ∴ ∴的最小值为． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式运算的法则计算，再代入中即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，现需安装教室间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 （2）最多安排甲公司工作天 【解析】 【分析】（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天列出分式方程求解即可； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作  天，由题意：甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是所列方程的解， 则， 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； 【小问2详解】 设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天， 根据题意得：， 解这个不等式，得：， 答：最多安排甲公司工作天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解（1）的关键是找准等量关系，列出分式方程；解（2）的关键是找出不等关系，列出一元一次不等式． 18. 如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证； （2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB•DF=EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）证明：连接OD，如图所示， ∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE， ∴∠ODE=∠DEA=90°， ∴OD∥AC， ∴∠ODA=∠DAC， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠DAC=∠OAD， ∴AD平分∠BAC； （2）证明：连接OF，BD，如图所示， ∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径， ∴∠DEF=∠ADB=90°， ∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°， ∴∠EFD=∠DBA， ∴△EFD∽△DBA， ∴， ∴DB•DF=EF•AB， 由（1）知，AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠DAB， ∴DF=DB， ∴DF2=EF•AB． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 19. 在“双减”政策下，某校体育组在八年级开展的球类活动有：A．乒乓球，B．篮球，C．排球，D．羽毛球，要求八年级的每位学生必须参加且仅参加一项．学校体育组根据实际情况，要安排活动场地，随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是____________人；在扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数是___________； （2）请把这两幅统计图补充完整； （3）若该校八年级学生有600名，请估计该校参加篮球和排球活动的八年级学生共有多少人？ （4）小明与小亮是好朋友，且同在该校八年级上学，请用画树状图或列表的方法说明小明与小亮参加同一球类活动的概率． 【答案】（1）50；72° （2）答案见解析 （3）276人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据“A”的人数和占比，计算总人数，然后计算“D”的占比，根据总占比和为1，可以计算“C”的占比从而计算扇形统计图中圆心角的度数； （2）由（1）可知总人数以及各占比，计算出“B”“C”人数； （3）篮球占比为26％，排球占比20％，再根据总人数计算即可； （4）小明有四种选择结果，小亮在小明每种选择的基础上同样有四种选择． 【小问1详解】 解：根据题意得，学生总人数为：（人）， “D”占比为：， “C”占比为：， 所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：50；72° 【小问2详解】 补全的统计图和扇形图如下： 【小问3详解】 解：由题意得， （人） 答：该校参加篮球和排球活动的八年级学生共有276人． 【小问4详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果．其中，小明与小亮参加同一球类活动的有4种， 所以小明与小亮参加同一球类活动的概率为：． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，树形图和列表，样本估计总体，简单概率的计算，关键是正确从图中获取信息，对数据细心计算． 20. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2） 【解析】 【分析】（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标； （2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解． 【详解】解∶（1）设点 D 坐标为（m，n）， 由题意得． ∵点 D在的图象上，． ∵直线的图象与轴交于点A， ∴点A 的坐标为（－4，0）． ∵CHx轴，CH//y 轴．． 点D在反比例函数的图象上， 点 D 坐标为（4，3） （2）由（1）知轴，． ． 过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M， ． ． ∴点 E 的横坐标为－8. ∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 21. 小华去太华路小学参加中考体育测试时发现，太华路小学的路灯照明是依靠太阳能光板供给的，如图所示，路灯立柱长10.3米，支架的长为0.4米，支点到立柱顶端的距离为0.3米，支架与立柱的夹角，支架与光板垂直，太阳能光板长为1.2米，点是的中点，求太阳能光板最低点离地面的高度（结果保留根号）． 【答案】太阳能光板最低点离地面的高度为米 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，通过解在和求得的长度，结合图中相关线段间的和差关系求得的长度即可得到答案． 【详解】解：由题意知，米，米，米，，米， 米， 如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 在中，（米）， 在中，（米）， 米， 米， （米）， （米）， 因此，太阳能光板最低点离地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 22. 已知点O是线段的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”． （1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”和的数量关系是_________． （2）[探究证明]如图2，当点P是线段上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）[拓展延伸]如图3， ①当点P是线段延长线上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由； ②若，求证：． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析 （3）①成立，证明见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）过点O作直线，交于点F，延长交于点E，证明即可； （3）①过点O作直线，交于点F，延长交于点E，证明；②延长交的延长线于点E，证明，根据已知条件得出． 【小问1详解】 解：O是线段AB的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：数量关系依然成立． 过点O作直线，交于点F，延长交于点E． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①数量关系依然成立． 过点O作直线，交于点F，延长交于点E． ∵， ∴， ∴四边形为矩形．， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴点O为AB的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∵，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，锐角三角函数，根据题意找到全等的三角形，证明线段相等是解题的关键． 23. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当AC∥x轴时， ①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c． (2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①y＝﹣x2﹣2x+1； ②证明：如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F， ∵AC∥x轴， ∴EF＝OC＝c， ∵点D是抛物线的顶点坐标， ∴D(，)， ∴DF＝DE﹣EF＝＝， ∵四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝OB，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∵∠AFD＝∠BCO＝90°， ∴△AFD≌△BCO(AAS)， ∴DF＝OC， ∴＝c， 即b2＝4c； (2)存在这样的点A，A(﹣，) 【解析】 【分析】(1)①由点A(﹣2，1)得到C(0，1)，利用待定系数法即可求解； ②作DE⊥x轴于E，交AB于点F，利用顶点坐标及点C的坐标求得DF＝，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，得到DF＝OC，即可证得结论； (2)由题意知顶点坐标D(﹣1，c+1)，设点A(m，﹣m2﹣2m+c)，利用“AAS”证得△AFD≌△BCO，作如图的辅助线，证得△ANF∽△AMC，结合已知＝，求得，利用比例线段即可求解． 【详解】(1)①∵AC∥x轴，点A(﹣2，1)， ∴C(0，1)， 将点A(﹣2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1； ②略 (2)如图2， ∵b＝﹣2． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c， ∴顶点坐标D(﹣1，c+1)， 假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形， 设点A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)， 过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F， ∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO， ∵四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝BO，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∴△AFD≌△BCO(AAS)， ∴AF＝BC，DF＝OC， 过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N， ∴DE∥CO， ∴△ANF∽△AMC， ∴＝， ∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+c＝c﹣＜c， ∵AM∥x轴， ∴点M的坐标为(0，c﹣)，N(﹣1，c﹣)， ∴CM＝c﹣(c﹣)＝， ∵点D的坐标为(﹣1，c+1)， ∴DN＝(c+1)﹣(c﹣)＝， ∵DF＝OC＝c， ∴FN＝DN﹣DF＝﹣c， ∵＝， ∴， ∴c＝， ∴c﹣＝， ∴点A纵坐标为， ∴A(﹣，)， ∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等，求得D的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $