精品解析：山东省淄博市桓台一中附属学校2024年九年级中考前测试数学试题

初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 年月日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 3. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解=__． 13. 若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，连结，那么线段的长度为_________． 15. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当时，的长为______． 三、解答题：本大题共8 个小题，共 90 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）先化简，再求值：，其中，． （2）解不等式组： 17. 如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 18. 张老师为了了解学生训练前后定点投篮情况（规则为在罚球线投篮次，统计进球个数），对本班男、女生的投中个数进行了统计，并绘制成如图频数分布折线图． （1）小红根据图①列出表格： 人数 平均数 众数 中位数 男生 女生 请你帮助小红完成表格中的数据：______，______，______； （2）通过张老师对投篮要点的讲解和示范，一周后学生的投中个数比训练前明显增加，全班投中个数变化的人数的扇形统计图如图②所示，求训练后投篮个数增加次的学生人数和全班增加的投篮总个数； （3）从训练前投篮数是个的名同学中随机抽取名同学，作为投篮师范生，求抽取人恰好都是女生的概率． 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 （1）求这两个函数的表达式 （2）请结合图像直接写出不等式的解集 （3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标 20. 资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：） （1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔的高． 21. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？ （3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 在⊙O中，点C是上的一个动点(不与点A，B重合)，，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD． （1）求证：AD=BD． （2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由． （3）若⊙O的半径为2，点E，F是的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长． 23. 已知抛物线过点，过点A作直线轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）在直线的下方y轴左边的抛物线上取一点N，过点N作轴交于点G，求四边形面积的最大值； （3）若在抛物线上存在点Q，使得平分，请求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正负数的意义分析即可； 【详解】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意； B、是正数，故该选项不符合题意； C、0不是负数，故该选项不符合题意； D、-5＜0是负数，故该选项符合题意． 故选D. 【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键． 2. 年月日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的定义，依次观察四个选项中的图形即可. 【详解】A.没有对称中心，故不是中心对称图形，A不符合题意； B.有对称中心，绕对称中心旋转后与原图形重合，故是中心对称图形，B符合题意； C.没有对称中心，故不是中心对称图形，C不符合题意； D.没有对称中心，故不是中心对称图形，D不符合题意． 3. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义． 4. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5. 我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案． 【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据， 则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键． 6. 已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键． 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形，故①正确； ②， ， ∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确， ④四边形是矩形， ， 若AF平分∠BAC，， 则， ， ， ， ， ， ， CF＝2BF．故④正确； 故选B 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°， ∴OP＝＝， ∴A（1，）， 第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）； 第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）； 第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）； 第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）； ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴4次一个循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，）， 故选：B 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 10. 如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30°角的直角三角形性质以及勾股定理可得AB、AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设，则，然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断． 【详解】解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵BC＝4， ∴AB＝8，AC＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 当时，, 当时，． 且图像是二次函数的一部分 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围． 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解题的关键．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得到答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解=__． 【答案】（a+b）（a+4b） 【解析】 【详解】由图可知， a2+5ab+4b2=（a+b）（a+4b）. 点睛：本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，会用等积法解答． 13. 若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定弦抛物线的定义和对称轴求出原抛物线的解析式，得到原抛物线顶点坐标，再根据二次函数图象平移规律计算平移后抛物线的顶点坐标. 【详解】解：定弦抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点间的距离为， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向左平移个单位，横坐标减，再向下平移个单位，纵坐标减， 可得平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为. 14. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，连结，那么线段的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，由勾股定理得出A'C=5，则A'D=A'C-CD=5-3=2，证Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），得出DF=D'F，设DF=D'F=x，则A'F=4-x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=，由勾股定理即可得出CF的长度． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠ADC=90°， ∴∠A'DF=∠CDF=90°， 由旋转的性质得：CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°， ∴， ∴A'D=A'C-CD=5-3=2， 在Rt△CDF和Rt△CD'F中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL）， ∴DF=D'F， 设DF=D'F=x，则A'F=4-x， 在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2=（4-x）2， 解得：x=， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 点D为的中点， ，， 由旋转的性质可知，， ①点在线段上， ， ， 在中，； ②点在的延长线上， 在中，，， ， 综上可知，当时，的长或． 三、解答题：本大题共8 个小题，共 90 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）先化简，再求值：，其中，． （2）解不等式组： 【答案】（1）；1； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【小问1详解】 解： ， 当，时，原式； 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）10 【解析】 【分析】（1）证明，得到，得到，即可得证； （2）根据，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键． 18. 张老师为了了解学生训练前后定点投篮情况（规则为在罚球线投篮次，统计进球个数），对本班男、女生的投中个数进行了统计，并绘制成如图频数分布折线图． （1）小红根据图①列出表格： 人数 平均数 众数 中位数 男生 女生 请你帮助小红完成表格中的数据：______，______，______； （2）通过张老师对投篮要点的讲解和示范，一周后学生的投中个数比训练前明显增加，全班投中个数变化的人数的扇形统计图如图②所示，求训练后投篮个数增加次的学生人数和全班增加的投篮总个数； （3）从训练前投篮数是个的名同学中随机抽取名同学，作为投篮师范生，求抽取人恰好都是女生的概率． 【答案】（1）4，3，5 （2）4人，52个 （3） 【解析】 【分析】（1）结合折线统计图，根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案； （2）由扇形统计图，可求得投篮个数增加次的学生人数所占的百分比，则可求得训练后投篮个数增加次的学生人数，从而得出全班增加的投篮总个数； （3）通过画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取人恰好都是女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 男生投中个数为，，，，，，的人数分别为：，，，，，，， 女生投中个数为，，，，，，的人数分别为：，，，，，，， 男生的平均数（个）， ∵出现了次，出现的次数最多， ∴众数； ∵女人共有人，且第人与第人投中的个数分别为：个，个， ∴女生投中个数的中位数为：； 故答案为：，，； 【小问2详解】 （人） 即训练后投中个数增加次的学生为人； （个）， 即全班增加的投中总个数为个， 故答案为：4人，52个； 【小问3详解】 由折线图可知，有2名男生和3名女生，共计5人，均是投中7个球， 根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取人恰好都是女生的结果数为， 即抽取人恰好都是女生的概率是． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 （1）求这两个函数的表达式 （2）请结合图像直接写出不等式的解集 （3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标 【答案】（1）反比例函数：y=；一次函数：y=-x+5；（2）0＜x≤1或x≥4；（3）（1，0）或（9，0）． 【解析】 【分析】（1）将点A（1，4）代入y=可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式； （2）根据图象得出不等式kx+b≤的解集即可； （3）利用面积的和差关系可求解． 【详解】解：（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4， ∴反比例函数的解析式为y=， 把B（4，n）代入y=， 得：n=1， ∴B（4，1）， 把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象得：当或时，； ∴不等式的解集为或； （3）如图，设直线与轴交于点， ∵直线与轴交于点， ∴点坐标为， 的面积为6， ∴ ， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键 20. 资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：） （1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔的高． 【答案】（1）5米；（2）19.25米 【解析】 【分析】（1）过点D作DE⊥CM，根据坡度及勾股定理求DE的长度； （2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形 【详解】解：（1）过点D作DE⊥CM ∵斜坡的坡度为 ∴设DE=x，则CE=2.4x 在Rt△CDE中， 解得：x=±5（负值舍去） ∴DE=5 即D处的竖直高度为5米； （2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形 ∴GF=DE=5，CE=2.4DE=12， 由题意可得：∠ACF=45°，∠ADG=53° 设AF=CF=a，则DG=EF=a-12，AG=AF-GF=a-5 ∴在Rt△ADG中，， 解得：a=33 经检验：符合题意， ∴DG=33-12=21， 又∵斜坡的坡度为 ∴， 解得：BG=8.75 ∴AB=AF-GF-BG=19.25 即基站塔的高为19.25米． 【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型． 21. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？ （3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）40元或20元； （3）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元； 【解析】 【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式； （2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案； （3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由图可知，设一次函数的解析式为， 把点（25，50）和点（35，30）代入，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则 ， 解得：，， ∴当天玩具的销售单价是40元或20元； 【小问3详解】 解：根据题意，则 ， 整理得：； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题． 22. 在⊙O中，点C是上的一个动点(不与点A，B重合)，，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD． （1）求证：AD=BD． （2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由． （3）若⊙O的半径为2，点E，F是的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长． 【答案】（1）证明见解析； （2）AB=DI，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论； （2）根据，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论； （3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长． 【小问1详解】 证明：∵点I是∠ABC的内心 ∴CI平分∠ACB ∴∠ACD=∠BCD ∴ ∴AD=BD 【小问2详解】 解：AB=DI，理由如下：连接BI， ∵，∠ACD=∠BCD ∴∠BCD= ∵ ∴ ∵AD=BD ∴△ABD是等边三角形， ∴AB=BD，∠ABD=∠BAD=∠BCD， ∵I是△ABC的内心 ∴BI平分∠ABC ∴∠CBI=∠ABI ∵∠BID=∠BCD+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD ∴∠BID=∠IBD ∴ID=BD ∵AB=BD ∴AB=DI 【小问3详解】 解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形是以D为圆心，DI1为半径的弧 ∵， ∴∠AMD=∠AED=∠ACB= ∵圆的半径为2， ∴DM=4， ∴AD=sin∠AMD×DM=×4=2 ∵点E，F是的三等分点，△ABD是等边三角形， ∴ ∴的度数为， ∴、的度数都为 ∴∠FAB ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的长为：． 【点睛】本题考查了圆中的解直角三角形，三角形的内心，弦、弧、圆心角、圆周角以及等边三角形的判定及性质，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透． 23. 已知抛物线过点，过点A作直线轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）在直线的下方y轴左边的抛物线上取一点N，过点N作轴交于点G，求四边形面积的最大值； （3）若在抛物线上存在点Q，使得平分，请求出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）由点C、D的坐标，利用待定系数法可求出直线的表达式，设点N的坐标为，则点G的坐标为，进而可得出，利用二次函数的性质可求出的最大值，进而可以求四边形面积的最大值； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标，结合点A、D的坐标可得出的长，取点，连接CE交抛物线于点Q，则四边形为菱形，由点C、E的坐标，利用待定系数法可求出直线的表达式，联立直线与抛物线表达式成方程组，通过解方程组即可求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得：， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为， 将代入，得： 解得：， ∴直线的表达式为． 如图，在直线的下方y轴左边的抛物线上取一点N，过点N作轴交CD于点G，连接， 设点N的坐标为 则点G的坐标为， ∴ ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 当取最大值时，四边形面积最大， ∵四边形面积=， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：当时，则， 解得：， ∴点C的坐标为 ∴． ∵， ∴． 取点，连接交抛物线于点Q，如图所示． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴平分． 设直线的表达式为， 将代入，得： 解得： ∴直线的表达式为， ∴联立直线与抛物线表达式成方程组， 得： 解得： ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，菱形的判定和性质，一次函数的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $