精品解析：北京市牛栏山一中教育集团2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末练习 牛栏山一中教育集团高二数学试卷 本试卷共6页，150分．练习时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数公式可求得结果. 【详解】，故A正确. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的运算法则求解． 【详解】A项，，故A项错误； B项，，故B项正确； C项，，故C项错误； D项，，故D项错误． 3. 随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得答案. 【详解】因为，所以. 4. 电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【详解】因为电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理， 所以不同的选法有种. 5. 现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题是超几何分布的定义考查，根据超几何分布概率公式，恰好对应从个隐藏款中选个、个普通款中选个的组合数除以总选法数，也就是选中隐藏款个数的概率. 【详解】题意中总共有8个盲盒，其中3个隐藏款、5个普通款，从中任选5个，选中的隐藏款个数服从超几何分布, 由可知，分子含义是从3个隐藏款里选2个，同时从5个普通款里选3个的组合数， 恰好对应“选购5个盲盒时，选中的隐藏款恰好为2个”的概率，也就是. 6. 下列各图反映了数列的前项和与项数之间的函数关系，其中说明数列可能为等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式及二次函数图象特征逐项判断． 【详解】数列为等差数列时，则， 则前项和与项数之间为二次函数关系， A项，去掉，是递增的，不符合二次函数图象特征，A不是； B项，在最高点的右侧不单调，B不是； C项，点大致在过原点的二次函数上，C是； D项，给定部分图象不符合二次函数图象特征，也不适合一次函数图象特征，D不是． 7. 设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，事件“”表示与至少有一个发生，其概率应为：， 由于相互独立，所以，故，所以A错误； 对于B选项，对于独立事件，正确的乘法公式是：，所以B错误； 对于C选项，由条件概率公式：，因为相互独立，所以， 代入上式：， 所以C正确； 对于D选项，由C选项已得，而题目并没有给出的条件， 所以一般不等于，例如：若，，则，所以D错误． 8. 若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】取，此时均为递增数列，，为常数列； 取，则数列为递增数列，此时可取， 其中为递减数列，为递增数列. 综上可得：“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 9. 如图，直线为曲线的一条切线，则函数在上（ ） A. 有2个极小值，有1个极大值 B. 有1个极小值，有2个极大值 C. 有2个单调递增区间，1个单调递减区间 D. 有1个单调递增区间，2个单调递减区间 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象，判断与的大小关系， 从而确定函数在上的极值点以及单调区间， 然后依次判断选项正误即可. 【详解】令. 根据图象，在上有三个解. 当时，切线斜率小于， 所以，单调减. 当时，切线斜率大于， 所以，单调增. 当时，切线斜率小于， 所以，单调减. 当时，切线斜率大于， 所以，单调增. 对于A与B，在单调减， 在单调增， 在时有极小值. 同理，在时有极大值 在时有极小值 所以函数在上 有2个极小值，有1个极大值. A正确，B错误. 对于C与D，根据上述分析， 函数在上， 有2个单调减区间和2个单调增区间， 所以C错误，D错误 10. 已知正整数数列：，，…，各项互不相等，且满足（，3，4），则的最小值为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，，.依次分析取得最小值时对应的取值情况，即可得到的最小值. 【详解】由（）， 得，，， 所以，，. 所以 . 因为正整数数列：，，…，各项互不相等， 所以，，，，即最大. 当且仅当，或时， 取得最小值，此时的最小值为， ； 若取得最小值， 则的最小值为，的最小值为， 此时，； 若取得最小值，则的值为，或，或. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以的最小值为， 此时； 当时，，所以取得最小值， 此时. 综上所述，的最小值为. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 数列的前项和为，若，则_______. 【答案】9 【解析】 【分析】由计算求解即可. 【详解】依题意，. 故答案为：9. 【点睛】本题考查和的关系，注意仔细审题，认真计算，属基础题. 12. 若随机变量服从两点分布，其中，则__________． 【答案】0 【解析】 【详解】由题意知，， 所以. 13. 若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为__________．（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【分析】设等差数列公差为，由题可得等差数列前项和公式，据此结合二次函数单调性可得答案. 【详解】设等差数列公差为，则， 则. 注意到在上单调递增，在上单调递减， ，从而. 14. 在一项水稻胚芽实验中，研究人员从某培养皿中随机抽取样本进行检测．培养皿内共有8个水稻胚芽样本，其中有5个目标胚芽和3个非目标胚芽．若某研究员计划进行两次不放回的随机抽样，每次抽取一个胚芽样本．则第一次抽取到目标胚芽的概率为__________；两次都抽取到目标胚芽的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题可得：第一次抽取到目标胚芽的概率为， 两次都抽取到目标胚芽的概率为. 15. 无穷数列满足（），则下列结论正确的是__________． ①若，，则为单调递增数列； ②记，若，则为单调递增数列； ③若，则对任意，存在正整数，当时，； ④存在正数，使得对任意均成立． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①令, 证明即可；②证明即可；③当 时 ,因此对任意 ，总存在正整数 ，当 时 ;④通过构造指数增长的反例，证明二次上界不成立. 【详解】条件 等价于, 令，则 是严格递增数列, ①由 ，得 ，因为 是严格递增数列， 故对所有 有 ，即 ，因此为单调递增数列，①正确； ②，则 ， 分子， 因为 ，所以分子恒正，故 ，则为单调递增数列，②正确； ③由 得 ，结合 是严格递增数列，有 对所有 成立, 累加得 ， 当 时 , 因此对任意 ，总存在正整数 ，当 时 ，③正确； ④可构造反例：取 ，验证得 ，满足题设条件, 但指数函数 增长速度远快于二次函数 ，不存在正数 使得 对任意 恒成立. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知等差数列与等比数列满足，． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 【答案】（1），；，． （2），． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求得等差数列的公差与等比数列的公比，即可求得数列与的通项公式； （2）根据等比数列的前项和公式可得； （3）若数列中的最大项是第项，则，解不等式组，并结合，可得的值． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则公差． ，． 设等比数列的公比为，则． ，． 【小问2详解】 ，． 【小问3详解】 由（1）可得，， 若数列中的最大项是第项， 则， 即， 化简得，解得， 又，所以. 17. 已知． （1）求的值和含的项的系数； （2）求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，令即可求出，利用二项式的通项公式，即可求出的项的系数； （2）根据题意，令即可求解； （3）根据题意，令，通过已知条件求出即可. 【小问1详解】 已知， 令，所以，解得， 由于的通项公式为， 当时，， 所以含的项的系数为. 【小问2详解】 令，则． 【小问3详解】 当时，则与矛盾，所以， 令，则， 所以．即，解得， 所以. 18. 已知和分别是函数的极值点． （1）求，的值及函数的单调区间； （2）若恰有两个不同的零点，求的值． 【答案】（1），，的单调递增区间为，，的单调递减区间为 （2）当且仅当或时，有两个不同的零点． 【解析】 【分析】（1）利用，求解即可； （2）利用零点存在定理讨论在区间，和上零点个数即可求解. 【小问1详解】 ，，． ，分别为函数的极值点．且． 即 ，． ． ∴当，时，，单调递增； 当时，，单调递减． 则，分别为函数的极大极值点和极小值点． 的单调递增区间为，，的单调递减区间为． 【小问2详解】 当或时，至多有一个零点． 当，即．此时且， ∴在区间内存在唯一零点，此时恰有两个不同的零点． 当，即．此时且 ∴在区间内存在唯一零点，此时恰有两个不同的零点． 当且时，即．此时，． 在区间，，内分别存在唯一零点． 综上所述，当且仅当或有两个不同的零点． 19. 某校计划于暑假开展“知行共奔赴，青春赴山海”游学活动，共有北京、西安、成都、南京、杭州五个地点可供选择，每位学生选择其中一个地点．为了解本校学生的游学意向，采用分层抽样从全校初中生和全校高中生中各随机抽取20名学生，对其选择的游学目的地进行统计调查，各目的地选择人数如下表： 北京 西安 成都 南京 杭州 初中生 10 2 4 2 2 高中生 4 6 3 6 1 假设每位学生选择游学目的地的结果互不影响，用频率估计概率． （1）从五个地点中随机选择一个，估计该地点全校初中生选择比例高于全校高中生选择比例的概率； （2）从全校初中生中随机抽取2人，从全校高中生中随机抽取1人，记这3人中选择“北京”作为游学目的地的人数为，估计的数学期望； （3）若从该校初中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为；从该校高中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为．比较第（2）问中随机变量的方差与，三者的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先分别计算五个地点初中生和高中生的选择比例，再统计初中生比例高于高中生的地点个数，用该个数除以总地点数5即可； （2）方法一：先列出随机变量  的所有可能取值，再对每个取值分类讨论其发生的具体情况，分别计算概率得到分布列，最后用期望公式求和； 方法二：将随机变量拆分为“初中生2人中选择北京的人数”与“高中生1人中选择北京的人数”之和，利用二项分布的期望公式分别计算后相加； （3）分别确定三个随机变量服从的二项分布类型及参数，代入二项分布方差公式计算后直接比较大小即可． 【小问1详解】 在5个地点中，初中生选择比例高于高中生选择比例的地点为北京、成都及杭州这3个地点． 初中生选择比例高于高中生选择比例的概率估计值为． 【小问2详解】 方法一：∵每位同学选择游学目的地互相独立，以频率估计概率． ∴初中生选择北京的概率的估计值为，高中生选择北京的概率的估计值为． 的所有可能取值为0，1，2，3． 的估计值为． 的估计值为 的估计值为 的估计值为． ． 方法二：用频率估计概率： 初中生选择“北京”的概率为 ， 高中生选择“北京”的概率为 ， 从初中生中随机抽取2人，设其中选择“北京”的人数为，则，； 从高中生中随机抽取1人，设其中选择“北京”的人数为，则，； 总人数，由期望线性性质：． 【小问3详解】 由题意：，方差：， ，方差：， 第（2）问中，，其中 ，，且相互独立， 故, 因此三者大小关系为：． 20. 已知直线是函数的一条切线． （1）求的值； （2）设实数使得对恒成立，求的值； （3）证明：对任意的，，均有． 【答案】（1）1 （2） （3）（） ． 令，， 时，，单调递减，即单调递减． 令．且，． ． ，， 由在上单调递减，． ，单调递增． 又． 时，恒成立得证，即对任意， 均有． 【解析】 【分析】(1)设切点，利用切线斜率等于导数值求出切点横坐标，代入函数求得 ； (2)构造差函数，发现是零点，由极值必要条件求出k，再验证恒成立； (3)固定t构造关于s的函数，借助在上单调递减，利用单调性完成不等式证明. 【小问1详解】 ， 设切点为，， ，． 且，． 【小问2详解】 由（1）知，对于恒成立， ， 令， 则在上恒成立． 又为的极小值点，．即． 下证满足题意： 当时，， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增． ，恒成立得证． 【小问3详解】 略. 21. 给定单调递增正整数数列：，，…，（），若非空集合满足以下条件： ①对于任意的，且，有； ②对于任意的，且，有，则称集合为数列的一个“集”． （1）已知数列：1，3，9，直接写出的一个“集”； （2）已知是数列：，，的一个“集”，且中恰有4个不同元素，求的最小值； （3）若数列：，，…，（）存在“集”，求的最大值． 【答案】（1） （2）2 （3）4． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出即可； （2）若，根据题意可得，，，设，根据已知分析、可得答案； （3）由①可知，为数列中某一项，分、讨论，可得答案． 【小问1详解】 【小问2详解】 若，则，且，，， 由②可知，在数列中，且，所以，即， 所以，，． 因为中有4个不同元素，设． 若，则，与②矛盾； 若，则由②可知，或或，即或或，矛盾； 当时，对数列：2，4，8．，是的“集” 所以的最小值为2 【小问3详解】 由①可知，对任意，，且， 则，且， 所以为数列中某一项， 若，则类比（2）可知，数列：1，，，…，， 所以，，…，，由②可知，， 所以，即； 若，则根据第（2）问解题过程可知，数列：，，…，， 所以，，…，，由②可知，， 所以，即； 当时，对数列：2，4，8，16，是的“集” 所以的最大值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末练习 牛栏山一中教育集团高二数学试卷 本试卷共6页，150分．练习时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量的分布列如下表： 1 2 3 4 0.2 0.4 则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 9种 5. 现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列各图反映了数列的前项和与项数之间的函数关系，其中说明数列可能为等差数列的是（ ） A. B. C. D. 7. 设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图，直线为曲线的一条切线，则函数在上（ ） A. 有2个极小值，有1个极大值 B. 有1个极小值，有2个极大值 C. 有2个单调递增区间，1个单调递减区间 D. 有1个单调递增区间，2个单调递减区间 10. 已知正整数数列：，，…，各项互不相等，且满足（，3，4），则的最小值为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 34 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 数列的前项和为，若，则_______. 12. 若随机变量服从两点分布，其中，则__________． 13. 若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为__________．（用数字作答） 14. 在一项水稻胚芽实验中，研究人员从某培养皿中随机抽取样本进行检测．培养皿内共有8个水稻胚芽样本，其中有5个目标胚芽和3个非目标胚芽．若某研究员计划进行两次不放回的随机抽样，每次抽取一个胚芽样本．则第一次抽取到目标胚芽的概率为__________；两次都抽取到目标胚芽的概率为__________． 15. 无穷数列满足（），则下列结论正确的是__________． ①若，，则为单调递增数列； ②记，若，则为单调递增数列； ③若，则对任意，存在正整数，当时，； ④存在正数，使得对任意均成立． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知等差数列与等比数列满足，． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若数列中的最大项是第项，请直接写出的值． 17. 已知． （1）求的值和含的项的系数； （2）求的值； （3）已知，求的值． 18. 已知和分别是函数的极值点． （1）求，的值及函数的单调区间； （2）若恰有两个不同的零点，求的值． 19. 某校计划于暑假开展“知行共奔赴，青春赴山海”游学活动，共有北京、西安、成都、南京、杭州五个地点可供选择，每位学生选择其中一个地点．为了解本校学生的游学意向，采用分层抽样从全校初中生和全校高中生中各随机抽取20名学生，对其选择的游学目的地进行统计调查，各目的地选择人数如下表： 北京 西安 成都 南京 杭州 初中生 10 2 4 2 2 高中生 4 6 3 6 1 假设每位学生选择游学目的地的结果互不影响，用频率估计概率． （1）从五个地点中随机选择一个，估计该地点全校初中生选择比例高于全校高中生选择比例的概率； （2）从全校初中生中随机抽取2人，从全校高中生中随机抽取1人，记这3人中选择“北京”作为游学目的地的人数为，估计的数学期望； （3）若从该校初中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为；从该校高中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为．比较第（2）问中随机变量的方差与，三者的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知直线是函数的一条切线． （1）求的值； （2）设实数使得对恒成立，求的值； （3）证明：对任意的，，均有． 21. 给定单调递增正整数数列：，，…，（），若非空集合满足以下条件： ①对于任意的，且，有； ②对于任意的，且，有，则称集合为数列的一个“集”． （1）已知数列：1，3，9，直接写出的一个“集”； （2）已知是数列：，，的一个“集”，且中恰有4个不同元素，求的最小值； （3）若数列：，，…，（）存在“集”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $