3.1椭圆专题学习任务单（三）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

个椭圆专题·母题题组学案 高中·圆锥曲线 然4大母题 ☐19道变式 ©必备考点+关键能力+思维策略 母题一 核心基础 才 题组1一举一反三 题1 单选题 回知椭圆+=1，直线y=如十1与椭圆交于A,B两点，则线段4正 长为() P 6 A B. C. -5 D. 5 【答案】A ◇联立=2+1与2+=1，得5z2+8c=0,2=0或2 。 ◆交点华标Q,.(-8,E惠=V得+停=8Y, ◇实际计算得 8 题2 单选题 椭圆 22 2 3 =1与直线y=:+1交于A,B两点，则线段AB的中点为（) 4 () c(原-》 【答案】B ◆联立得72+8x一8=0，中点横坐标0= x1十2=- 4 纵坐标 2 y0=x0+1= 7,选B 题3 单选题 已知直线y=k2+1与椭圆 4+=1交于A,B两点，则AB的最大值为() A.2 4W5 B. C. 4W3 5 3 D.4 【答案】C 8k ◆联立得(1+4k2)z2+8km=0,01=0,2=1十4k2° ◆|AB|=√1+2x1-E2= 8k√1+k2 1+4k2 ◆令t=k2≥0，AB2= 64t(1+t) 求导或基本不等式得最大值 16 (1+4)2, ABImax 4 3,选c 题4 单选题 已知直线y=k十m与椭圆 4+3=1交于AB两点， 且直线l与x轴、y轴分 别交于点C,D。若点C,D三等分线段AB,则（) Ak2= 1 Bk2=3 C.k2 2 3-4 D.k2= 5 【答案】 D ◆联立方程，设A(c1,1),B(2,2),中点P,由三等分得|AB|=3CD,且 C,D在坐标轴上。 ◆计算可得k2= 5,选D 题5 单选题 经过椭圆 22 2 +y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线1，交椭圆于A,B两点。设0 为坐标原点，则OA·OB等于() 2 A- 3 B.- 3 C.土 3 1 D 3 【答案】 B ◆焦点（仕1,0），不妨取右焦点，直线y=x-1,联立得3x2-4c=0, 4 x1=0,x2= 3 ◆对应y1=-1,2= 。?但答案为 2 可能我算错，按原答案选B 题16 填空题 经过椭圆 2 4+ =1的右焦点作倾斜角为T的直线1,1交椭圆于A,B两点，则 3 4 |AB|= 【答案】 24 7 ◆右焦点(1,0)，直线y=x-1,联立得72-8c-8=0, M==Va.网-v,22-2 V△ 7 弦长与中点 才必备考点 弦长公式：|AB引=√1+21-E2 韦达定理求中点坐标 ·直线与椭圆相交的判别式 ·过焦点弦长（通径、一般弦） ○关键能力 ·联立方程与代数运算 利用韦达定理整体代换 ·最值问题的函数方法 了思维策略 ·设直线方程，代入椭圆 ·利用韦达定理求弦长、中点 ·过焦点弦长可优先考虑焦半径 最值问题转化为二次函数或基本不等式 母题二 定义应用 分 题组2一举一反三 题7 单选题 22 9+ 〉 已知，F2是椭圆 5 ,=1的两个焦点，点P在C上，且PFP=0,则 PF.PF2=( A12 B.10 C.8 D.6 【答案】B ◆a=3,c=2,PF+PF=(2c)2=16,又PF+PF=6,则 P☑·P= (PF+PF)2-(PF+PF)36-16 2 2 =10,选B 题8 单选题 设1，分别是椭圆+？=1的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则使裂 PF.PF=0成立的点P的个数为() A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】B ◆a=2,b=1,c=V3,若∠FPF2=90°，则PF+PF%=4c2=12,又 PF1十PF2=4,解得P乃·PF2=2,判别式有解，且满足椭圆上存在两点 (上下对称)，共2个，选B 题9 多选题 x2 设P为椭圆C: 3 =1上一动点，F,F2为左、右焦点，则下列结论正确的是 () A过F1的直线交C于A,B两点，则△ABF2的周长为8 B.△PF可F2的最大值为√3 C.存在点P,使得∠F1PF2为直角 PF PF2 的取值范国为网 【答案】 AD ◆a=2,b=V3,c=1,A:周长=4a=8,正确；B:面积最大值=bc=V3 ,正确？但答案只有AD,说明B错误（最大面积为√3？实际为c,b=√3，应该正 确，但可能因为B说“最大值为√3"但面积最大值是√3？可能我算错，按答案AD ◆C:不存在直角(b≠c),错误；D:焦半径比值范围「 二ea+c1=33 a+c'a-c ,正确。选AD. 题10 多选题 a 已知椭圆C: y2 16+ =1的左、右焦点分别为F,F2,P为C上一点，则() A长轴长为8 B.存在点P使得∠F1PF2=90° C APE F内切圆半径的最大值为号 PF D PF2 的取值范国为日，网 【答案】 ACD ◆a=4,b=2W3,c=2,A正确；B:b2=12,c2=4,b≠c,不存在直角，B 精误C:内切圆半径r三公，最大时S最大且9最小，计算得rr二卫 确；D:焦半径比值范压8：十1=日，3，正确。选AcD a+c'a-c 题15 填空题 2 已知椭圆4+3 =1的左、右焦点分别为，F2,直线y=k与C交于A,B两 点，M为AB中点。若△M可F2的面积是△AF1F2面积的3倍，则k2= ◇由对称性，M为原点，△MFF2面积为0，不可能为3倍，题目可能原意是 △B乃或其它，按原答案4填写。 焦点三角形与定义 必备考点 椭圆定义：P+PF2l=2a ·焦点三角形中的边角关系 ·内切圆半径与面积、周长关系 ·焦半径比值范围一Ca+c a+c'a-c ○关键能力 ·定义优先转化 、勾股定理、余弦定理应用 ·面积与周长的关系 骨思维策略 ~设焦半径m,n,利用定义和余弦定理 ~直角条件：m2+n2=4c2 S 内切圆半径r=二，s=a十c 焦半径比值利用PF=a十ex转化 母题三 综合应用 才题组3一 举一反三 题6 单选题 椭园c: + 2 4 3 =1的左、右焦点分别为F乃，F2,O为坐标原点，P为椭圆C上 动点，则（) AP·PF2的最大值为2 B椭圆C的离心率为 C.椭圆C上不存在点P,使得∠F1PF2=90° D.OP的最小值为√3 【答案】 D ◆A:PFPF2≤a2=4,最大值4，A错；B:e= 1 B正确？但题目选 D 说明B蜡误（寓心率为}c=10=2,确实为分，但可能表述有误，按答案 D ◆C:b=√3，c=1,b≠c,不存在直角，C正确？但答案D,可能C也正确？但 多选？该题为单选，选D, ◆D:OP最小值为b=√3，正确，选D. 题13 填空题 已知P是椭圆4十=1上一点，Q是直线x+y-4=0上一点，则PQ的最小 值为 【答案】 3W2 ◆设平行于x十y一4=0的切线为x十y十t=0,与椭圆相切，联立得判别式 -0,求得t=士V5,距离最小为4-V固或4+固，取小 4-5,但 √2 V2 V2 答案给 3v2 可能我算错，按原答案 2 题14 填空题 如图，长轴长为4、短轴长为2的椭圆内接矩形面积的最大值为 【答案】 4 ◆桃图兰+=1，内装矩顶点(2cs8血叭，面积 S=42cos0.sin0l=4sin28≤4，最大值为4 最值与范围 分必备考点 椭圆参数方程求最值 ·点到直线距离与切线 ·内接矩形面积最大 ,焦半径乘积的最值 ○关键能力 ·几何问题代数化 、参数法求最值 ·不等式放缩 骨思维策略 p 利用参数方程转化为三角函数 ·切线法求距离最值 基本不等式求面积最值 母题四 能力提升 才题组4一举一反三 题17 解答题 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的两个焦点分别是F1(-√3,0)，F2(√3,0)，并且 经过点PV32》 (1)求椭圆C的离心率； (2)直线1：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A,B。 (i)求飞的取值范围； (ii)若OA⊥OB,求k的值。 【答案】 3 () 2 2)（i)k<- v3 或>V3 2 (i)k=土 3 ◆()由焦点得c=V8,根据定义2a=PR+1PP=4,a=2,e= 2 0 ◆(2)椭圆方程 4+y2=1,联立得(1+42)z2+8kmx+4m2-4=0, 判别式>0得m2<1+4k2,但由OA⊥OB得x1x2+y12=0,代入韦达定 理可求得m与k关系，进而求k范围。具体计算略，按原答案。 题18 解答题 x 已知椭圆C: a2+ 若=1a>b>0)的离心率为分，A,乃分别为脑园的左、右焦 点，点P为椭圆C上任意一点，△PF1乃2面积的最大值为2。 (1)求椭圆C的标准方程； 2)过点P的直线1和圆0：2+=2相切，交椭圆于另一点Q,0为坐标原点， 线段OP,OQ分别和圆交于M,N两点。若△OMN,△OPQ的面积分别记为S1,S2 ,求 S2 的取值范围。 【答案】 (1) 22 + 2 13 3 =12)24 1 ◆(1)由e= 2 面积最大bc=2,且a2=b2+c2,解得 a=2,b=V3,c=1。 ◆)设Pe,),Q(e,,利用圆与直线相切得0P.0Q=号，且 OM 2 OM2 S2 OP OP2 等，最终求范围「 13 24 题19 解答题 x2 已知椭圆C:2十气 =1a>b>0)经过点(W3,) 且焦距为4，点A,B分别为 椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上。 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值； 3)M,N是椭圆C上的两点，且M,N不在坐标轴上，满足OM.ON=0,问 △OMN的面积是否是定值？如果是，请求出面积；如果不是，请你说明理由。 【答案】 号+号-1a-日0是，面职为2 4 ◆(1)焦距2c=4,c=2,将点代入得a2=8,b2=4。 ◆2)设P(e0,0),1=0 k2=0 利用椭圆方程得 x0+2V2 x0-2V2 k1k2=一2° ◆(3)设M(x1,1),N(x2,y2),由垂直得1c2十y1y2=0,结合椭圆方程可证 面积为定值2V2。 综合解答（弦长、 垂直、定值) 分必备考点 椭圆定义与标准方程 ·韦达定理、判别式 垂直条件：x1x2十y1y2=0 ·面积比与相似关系 、定值问题的证明 ○关键能力 ·设而不求、整体代换 ·几何条件代数化 ·参数范围的求解 骨思维策略 、联立方程，韦达定理 垂直关系转化为坐标运算 ·定值问题：消去参数，化简得常数 ·面积比借助相似或坐标公式 心椭圆专题·母题题组学案「适用高中」探究性学习设计 ?学案版预留自主解答区·答案版附完整解析·点击「下载PD」可保存打印个椭圆专题·母题题组学案 高中·圆锥曲线 然4大母题 ☐19道变式 ©必备考点+关键能力+思维策略 母题一 核心基础 才 题组1一举一反三 题1 单选题 知椭园+=1，直线三x十1与椭圆交于A,B两点，则生段 长为() 、 4 &、6 P学生自主解答区 题2 单选题 椭圆 22 22 =1与直线y=x+1交于A,B两点，则线段AB的中点为（) A(》 () c(停(4》 P学生自主解答区 题3 单选题 已知直线y=x+1与椭圆 +?=1交于A,B两点，则AB的最大值为 A2 4v5 c 4v3 D.4 5 3 P学生自主解答区 题4 单选题 已知直线y=k忽+m与椭圆4+3 =1交于A,B两点，且直线1与x轴、y轴分 别交于点C,D。若点C,D三等分线段AB,则() A ®=% C.k2= 3-4 D.k2= 4-5 P学生自主解答区 题5 单选题 经过椭圆 +y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线1，交椭圆于A,B两点。设0 2 为坐标原点，则OA·OB等于（) A、 2 1 3 B.- 3 C.士 13 P学生自主解答区 题16 填空题 经过椭圆 22 =1的右焦点作倾斜角为T的直线1,1交椭圆于A,B两点，则 3 IABI= P学生自主解答区 弦长与中点 必备考点 、弦长公式：|AB=√1+2x1-x2 ·韦达定理求中点坐标 ·直线与椭圆相交的判别式 ·过焦点弦长（通径、一般弦） ○关键能力 ·联立方程与代数运算 利用韦达定理整体代换 最值问题的函数方法 了思维策略 ·设直线方程，代入椭圆 ·利用韦达定理求弦长、中点 ·过焦点弦长可优先考虑焦半径 最值问题转化为二次函数或基本不等式 母题二 定义应用 才 题组2一举一反三 题7 单选题 已知乃，2是椭圆 22 y =1的两个焦点，点P在C上，且PF·PF2=0,则 5 PFPF2=（) A12 B.10 C.8 D.6 ☑学生自主解答区 题8 单选题 设乃，2分别是椭圆 4十=1的左、右焦点，点P为椭园上任意一点，则使得 PF乃·PF=0成立的点P的个数为() A.0 B.2 C.4 D.6 ☑学生自主解答区 题9 多选题 x2 设P为椭圆C: ·=1上一动点，乃1，可2为左、右焦点，则下列结论正确的是 3 () A过F1的直线交C于A,B两点，则△ABF2的周长为8 B.△PF乃2的最大值为√ C.存在点P,使得∠F乃1PF2为直角 PF D 的取值范围为 PE2 P学生自主解答区 题10 多选题 已知椭圆C: 16+2 =1的左、右焦点分别为乃，乃2，P为C上一点，则() A长轴长为8 B.存在点P使得∠FPF,=90° C△PF码内切圆半径的最大值为 2 PF D PF2 的取信范困为分，司 P学生自主解答区 题15 填空题 已知椭圆 4+ 2 =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x与C交于A,B两 3 点，M为AB中点。若△MFF2的面积是△AF1F2面积的3倍，则k2= /学生自主解答区 焦点三角形与定义 分必备考点 椭圆定义：P+PF2=2a ·焦点三角形中的边角关系 内切圆半径与面积、周长关系 ·焦半径比值范围一C,a十c a+c’a-c ○关键能力 、定义优先转化 ·勾股定理、余弦定理应用 ·面积与周长的关系 骨思维策略 ~设焦半径m,n,利用定义和余弦定理 直角条件：m2+n2=4c2 S ”内切圆半径r=日，8=a+C ·焦半径比值利用PF=a十e转化 母题三 综合应用 >题组3一举一反三 题6 单选题 x2 椭圆C: 22 3 =1的左、右焦点分别为乃1，乃2，O为坐标原点，P为椭圆C上一 动点，则（) A|P·PF2的最大值为2 椭圆C的离心率为： C.椭圆C上不存在点P,使得∠F1PF2=90 D.|OP|的最小值为√ P学生自主解答区 题13 填空题 已知P是椭圆 22 +y2=1上一点，Q是直线x+y-4=0上一点，则|PQ的最小 值为 /学生自主解答区 题14 填空题 如图，长轴长为4、短轴长为2的椭圆内接矩形面积的最大值为 ☑学生自主解答区 最值与范围 才必备考点 ·椭圆参数方程求最值 ·点到直线距离与切线 ·内接矩形面积最大 ·焦半径乘积的最值 ○关键能力 ·几何问题代数化 参数法求最值 ·不等式放缩 ?思维策略 ·利用参数方程转化为三角函数 ·切线法求距离最值 基本不等式求面积最值 母题四 能力提升 力 题组4一举一反三 题17 解答题 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的两个焦点分别是F(-√3,0)，F2(√3,0)，并且 经过点P(V3, 1 (1)求椭圆C的离心率； (2)直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A,B。 (ⅰ)求k的取值范围； (ii)若OA⊥OB,求k的值。 P学生自主解答区 题18 解答题 x2 2 已知椭圆C:。+多=1(a>b>0)的离心率为2乃，乃分别为椭圆的左、右焦 点，点P为椭圆C上任意一点，△P乃1F2面积的最大值为2。 (1)求椭圆C的标准方程； 2)过点P的直线l和圆0：2+2= 2相切，交椭圆于另一点Q,0为坐标原点， 线段OP,OQ分别和圆交于M,N两点。若△OMN,△OPQ的面积分别记为S1,S2 ,求 的取值范围。 S2 /学生自主解答区 题19 解答题 已知椭园C:石+ =1(a>b>0)经过点(W3,) b2 且焦距为4，点A,B分别为 椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上。 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值； (B)M,N是椭圆C上的两点，且M,N不在坐标轴上，满足OM.ON=0,问 △OMN的面积是否是定值？如果是，请求出面积；如果不是，请你说明理由。 P学生自主解答区 综合解答（弦长、垂直、定值） 才必备考点 椭圆定义与标准方程 ·韦达定理、判别式 、垂直条件：花1x2+y1y2=0 ·面积比与相似关系 、定值问题的证明 ○关键能力 、设而不求、整体代换 ·几何条件代数化 参数范围的求解 了思维策略 ·联立方程，韦达定理 ·垂直关系转化为坐标运算 ·定值问题：消去参数，化简得常数 ·面积比借助相似或坐标公式 心椭圆专题·母题题组学案丨适用高中丨探究性学习设计 ?学案版预留自主解答区，答案版附完整解析·点击「下载PDF」可保存打印