3.1椭圆讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学椭圆核心知识点，系统梳理椭圆的三个定义（第一定义：距离之和为常数，第二定义：距离比为离心率，第三定义：斜率之积为常数），并延伸至标准方程与性质（含焦点位置、范围、对称性等）、参数方程、点与椭圆位置关系及焦点三角形等内容，构建从基础概念到拓展应用的学习支架。 该资料通过五大题型（定义辨析、焦点三角形、最值、离心率、综合应用）的多样化题目（选择、填空、多选），培养学生用数学眼光抽象椭圆定义条件，用数学思维推理焦点三角形面积及离心率计算，用数学语言解决综合问题。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识应用。

椭圆 椭圆 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 5 【题型一：椭圆定义及概念辨析】 5 【题型二：椭圆的焦点三角形问题】 6 【题型三：椭圆中的最值问题】 8 【题型四：椭圆中的离心率问题】 9 【题型五：椭圆的综合应用】 11 1 学科网（北京）股份有限公司 椭圆 【知识梳理】 知识点1: 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距2c。 设M为椭圆上任意一点，则有 1 2 3 知识点2：椭圆的标准方程与性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 【补充】P（）是椭圆（a>b>0）上一点，是椭圆的左右焦点，则有椭圆的焦半径 知识点3：椭圆的参数方程 （1） 中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆 （2） 中心在点（），焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 知识点4：平面上任意点P（）与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 知识点5：椭圆的焦点三角形 椭圆焦点三角形的一些结论：已知是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，把△称为焦点三角形，则 （1） （2） 若直线交椭圆与另一个点Q，则三角形的周长 （3） 若，则有以下两个结论： ① ② 知识点6：椭圆定义拓展 1.椭圆第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集 ，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么： ① 将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得： ② 对②式继续平方，再整理可得： ③ 由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④. 这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④. 2.第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 继续定位到②式，⑥. ⑥式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率. 3.椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 由④式，⑦，⑦式表明椭圆上的点到左右两顶点的斜率之积为一个定值. 实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点（不与重合）到点的斜率之积为一个定值. 证明：设的坐标分别为，，则由于三点均在椭圆上，故满足：，即. 【题型演练】 【题型一：椭圆定义及概念辨析】 1．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4． 已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 5． 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______. 6．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 7．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．1或3 9．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 10．曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 11． 椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，N是的中点，O为原点，若，则______． 12．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为______． 【题型二：椭圆的焦点三角形问题】 13．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．28 B．16 C．12 D．9 14．（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为 C．若，则的面积为 D．的周长为 15．（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 16．（多选）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则下列说法正确的有（    ）. A．的周长为 B．的面积为 C．点到轴的距离为 D． 17．（多选）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为．过的直线与交于两点，与轴交于点（其中位于轴上方），则（    ） A．的最大值为 B．当位于第一象限且时，面积为 C．当位于第二象限且时， D．当时，的周长为8 【题型三：椭圆中的最值问题】 18．椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 19． 已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为______. 20． 设是椭圆上一点，分别是两圆和上的点，则的最小值和最大值分别为 A．4，8 B．2，6 C．6，8 D．8，12 21． 已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 22． 设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______. 23． （多选）若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（    ） A． B．的最大值为 C．存在，使得四边形是平行四边形 D．面积的最大值为 【题型四：椭圆中的离心率问题】 24． 若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________. 25． 已知椭圆（）的离心率为，则______． 26． 已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 27．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 28．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆在第一象限上的点，的延长线交椭圆于另一个点，满足，且，则椭圆的离心率______. 29．已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 30．已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 【题型五：椭圆的综合应用】 32．（多选）已知椭圆的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则椭圆的离心率为 33．（多选）已知椭圆上有不同两点，，，则（    ） A．若过原点，则 B．，的最小值为 C．若，则的最大值为9 D．，，异于点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为 34．（多选）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（    ）      A．椭圆的长轴长为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 35．（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　） A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 $ 椭圆 椭圆 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 5 【题型一：椭圆定义及概念辨析】 5 【题型二：椭圆的焦点三角形问题】 10 【题型三：椭圆中的最值问题】 15 【题型四：椭圆中的离心率问题】 19 【题型五：椭圆的综合应用】 25 1 学科网（北京）股份有限公司 椭圆 【知识梳理】 知识点1: 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距2c。 设M为椭圆上任意一点，则有 1 2 3 知识点2：椭圆的标准方程与性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 【补充】P（）是椭圆（a>b>0）上一点，是椭圆的左右焦点，则有椭圆的焦半径 知识点3：椭圆的参数方程 （1） 中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆 （2） 中心在点（），焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 知识点4：平面上任意点P（）与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 知识点5：椭圆的焦点三角形 椭圆焦点三角形的一些结论：已知是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，把△称为焦点三角形，则 （1） （2） 若直线交椭圆与另一个点Q，则三角形的周长 （3） 若，则有以下两个结论： ① ② 知识点6：椭圆定义拓展 1.椭圆第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集 ，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么： ① 将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得： ② 对②式继续平方，再整理可得： ③ 由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④. 这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④. 2.第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 继续定位到②式，⑥. ⑥式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率. 3.椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 由④式，⑦，⑦式表明椭圆上的点到左右两顶点的斜率之积为一个定值. 实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点（不与重合）到点的斜率之积为一个定值. 证明：设的坐标分别为，，则由于三点均在椭圆上，故满足：，即. 【题型演练】 【题型一：椭圆定义及概念辨析】 1．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、判断命题的必要不充分条件 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2．平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故选：D 3．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面轨迹方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、利用椭圆定义求方程 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 4．已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可. 【详解】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 5．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解范围. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 6．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据给定条件，由椭圆焦点位置列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D 7．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】分焦点在轴上与轴上讨论，求的取值范围. 【详解】当时，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆. 综上，实数的取值范围. 故选：D 8．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．1或3 【答案】B 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、利用椭圆定义求方程 【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案. 【详解】若，则由得（舍去）； 若，则由得． 故选：B. 9．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】判断方程是否表示椭圆、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值． 【详解】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 10．曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 11．椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，N是的中点，O为原点，若，则______． 【答案】4 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案. 【详解】椭圆的左焦点为,如图，设右焦点为 ,则 ， 由N是的中点，O为得中点，, 故 , 又 ， 所以， 故答案为：4 12．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为______． 【答案】 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】由垂直平分线的性质，结合椭圆的定义得出点的轨迹方程. 【详解】依题意，点，半径，线段的垂直平分线交于点，则， 于是， 因此点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 由，，得， 所以点的轨迹的方程为：. 故答案为：. 【题型二：椭圆的焦点三角形问题】 13．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．28 B．16 C．12 D．9 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由椭圆可得，所以， 因为点在上，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，最大值为， 故选：B. 14．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为 C．若，则的面积为 D．的周长为 【答案】BD 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】利用椭圆焦半径公式可得点到右焦点的距离的最大值为，可知A正确；易知焦距为，可知B错误，利用椭圆定义即勾股定理可知的面积为，即C正确；的周长为，D错误. 【详解】根据椭圆方程可知，，则； 点到右焦点的距离的最大值为，可知A正确； 焦距为，即B错误； 由椭圆定义可知， 若，则， 所以，可得， 可得的面积为，即C正确； 易知的周长为，即D错误； 故选：BD 15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 【答案】ABD 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆上点到焦点的距离及最值、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆的方程确定a、b、c，即可判断选项A、B、C；当点P在短轴端点时有，判断与是否相等，即可判断选项D. 【详解】由椭圆C：，可得，，则， 对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确； 对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确； 对于选项C，的周长为，故C错误； 对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确． 故选：ABD 16．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则下列说法正确的有（    ）. A．的周长为 B．的面积为 C．点到轴的距离为 D． 【答案】ABD 【知识点】椭圆定义及辨析、用定义求向量的数量积、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据椭圆定义分析的周长可判断A；根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出可判断B；根据三角形等面积法求解出点到轴的距离可判断C；根据向量数量积运算以及的值求解出结果可判断D. 【详解】因为，， 所以的周长为，故A正确； 由余弦定理可得， 变形为， 代入相关数据可得，所以， 所以，故B正确； 设点到轴的距离为，则，所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 17．已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为．过的直线与交于两点，与轴交于点（其中位于轴上方），则（    ） A．的最大值为 B．当位于第一象限且时，面积为 C．当位于第二象限且时， D．当时，的周长为8 【答案】ABD 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】A选项当点与点重合时，此时最大，计算此时的值即可；对于B选项，根据题目信息，得到，求出点的纵坐标，代入面积公式即可求出答案；对于C选项，将进行转化，利用椭圆的定义即可得到答案；对于D选项，根据题意得到直线是线段的中垂线，将的周长转化为，即可求出答案. 【详解】对于A，由椭圆的几何图象可得，当点与点重合时，此时最大，，所以，此时，故A正确； 对于B，当时，又，所以，所以点的横坐标为，代入椭圆方程得到点的纵坐标，所以，故B正确； 对于C，当，，故C错误； 对于D，由A选项知，，，又，所以直线是线段的中垂线，所以，，所以的周长为，故D正确. 故选：ABD. 【题型三：椭圆中的最值问题】 18．椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 19．已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为______. 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】设，先根据两点距离公式结合二次函数求解，然后利用圆的性质求得最值. 【详解】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故.    故答案为： 20．设是椭圆上一点，分别是两圆和上的点，则的最小值和最大值分别为 A．4，8 B．2，6 C．6，8 D．8，12 【答案】A 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】在两个三角形中，由三角形知识列不等式，，两不等式组同向相加，再利用椭圆定义即可得解． 【详解】根据题意作出如下图像，其中是椭圆的左，右焦点， 在中可得：…①, 当且仅当三点共线时，等号成立， 在中可得：…②，当且仅当三点共线时，等号成立， 由①+②得：， 由椭圆方程可得：，即 由椭圆定义可得：， 所以可化为：. 故选A. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及椭圆方程，还考查了三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边结论，考查了转化能力，属于中档题． 21．已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求椭圆中的最值问题、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. 22．设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______. 【答案】 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆的定义，化简得，进而得到，结合椭圆的焦点弦的性质，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，即， 根据椭圆的定义，可得， 则， 所以， 当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值， 此时，所以的最大值为. 故答案为：. 23．若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（    ） A． B．的最大值为 C．存在，使得四边形是平行四边形 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】利用椭圆和圆的对称性，结合椭圆的定义、圆的性质、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为曲线由半圆和半椭圆组成， 所以曲线关于横轴对称，不妨研究当时的情况. A：由椭圆的标准方程可知， 所以是椭圆的焦点， 于是有，所以本选项结论正确； B：显然，所以是直角三角形，且， 所以，当且仅当时，取等号，即，此时，显然重合，不符合题意， 即，所以本选项说法不正确； C：当时， 由. 当时， 由. 假设四边形是平行四边形，因为， 所以， 即，舍去，所以存在，使得四边形是平行四边形，所以本选项说法正确； D：的面积为，当且仅当时取等号，即， 所以当时，面积的最大值为，所以本选项说法正确. 【题型四：椭圆中的离心率问题】 24．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________. 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】利用条件及椭圆的几何性质易求. 【详解】依题意，得b＝3，a－c＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4， ∴椭圆的离心率为. 故答案为：. 25．已知椭圆（）的离心率为，则______． 【答案】4 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【详解】显然，故，解得. 26．已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离 【分析】易得直线AB的方程为，再由原点到直线AB的距离为求解. 【详解】由题意知：，则直线AB的方程为， 所以原点到直线AB的距离为， 又，则，即， 解得，则， 所以. 27．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 28．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆在第一象限上的点，的延长线交椭圆于另一个点，满足，且，则椭圆的离心率______. 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出点的坐标，并代入椭圆方程求得离心率. 【详解】设椭圆：的半焦距为c，由为椭圆在第一象限上的点，且， 则由得，又，则， 点在椭圆：上，因此，整理得， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 29．已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的对称性 【分析】如图，设，根据椭圆的对称性和定义可得，，在直角与中，分别利用勾股定理建立方程，解之即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 设，由对称性可知， 由定义得，则， 又，，所以， 在直角中，由， 即，解得. 在直角中，，即， 把代入整理得，由解得. 故选：C 30．已知椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆C的上顶点，直线与椭圆相交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】借助椭圆的定义与余弦定理可得与、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】，，设，则， 又由，则，可得，则， 又由，在中，由余弦定理， 有，则，故. 31．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以，    因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 【题型五：椭圆的综合应用】 32．已知椭圆的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】由椭圆方程可得A；由椭圆定义可得B、C；由离心率定义计算可得D. 【详解】对A：由题意可得且，故A错误； 对B：若椭圆的焦点在轴上，则，故B正确； 对C：若，则， 则周长为，故C正确； 对D：若，则椭圆的离心率，故D正确. 故选：BCD. 33．已知椭圆上有不同两点，，，则（    ） A．若过原点，则 B．，的最小值为 C．若，则的最大值为9 D．，，异于点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为 【答案】ABD 【知识点】用定义求向量的数量积、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中的定值问题 【分析】利用椭圆的对称性判断A，利用椭圆的定义判断B，利用特殊位置法排除C，利用点在椭圆上与两点距离公式推得，再利用点差法求得的垂直平分线方程，进而求得点与直线的斜率，从而判断D. 【详解】因为椭圆，所以，则是其右焦点， 对于A，设椭圆的左焦点为， 因为过原点，所以由椭圆的对称性易知四边形是平行四边形， 则，故A正确； 对于B，因为，则， 又， 所以， 当在线段与椭圆的交点位置时，等号成立，故B正确； 对于C，当轴，点为椭圆的右顶点时，满足，此时， 但，故C错误； 对于D，因为在椭圆上，所以，， 所以， 同理：，而由，可知， 所以由，得，则， 故可设的中点坐标为， 又在椭圆上，所以，， 两式相减，得， 所以. 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 令，得，即， 所以直线的斜率，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题选项D解决的关键是求得，进而得到，再利用点差法得到的垂直平分线方程，从而得解. 34．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（    ）      A．椭圆的长轴长为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 【答案】ABD 【知识点】求椭圆中的最值问题、求椭圆的长轴、短轴、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】结合圆的半径长可求得，结合椭圆焦点坐标可求得，由此可判断A；根据，结合的范围可判断B；设，利用结合面积公式可求得，取可判断C；结合椭圆定义可判断D. 【详解】对于A，∵半圆所在圆过点，∴半圆的半径， 又椭圆短轴为半圆的直径，∴，即， 又，∴，即， ∴椭圆长轴长为，故A正确； 对于B，∵，， ∴，故B正确； 对于C，设，则， 当时，，故C错误； 对于D，由题意知：，则为椭圆的下焦点， 由椭圆定义知：， 又，∴的周长为，故D正确. 故选：ABD.    35．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　） A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答． 【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误； 显然，则，离心率，B正确； 当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确. 故选：BCD $