精品解析：浙江省 杭州市萧山区高桥初级中学2022-2023学年九年级下学期期初学情阶段性教学诊断 数学试题卷

高桥初中2022学年第二学期期初学情阶段性教学诊断九年级数学试题卷 请同学们注意： 1．考试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为90分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，只需上交答题卷． 祝同学们取得成功！ 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 年月日，全国报告新冠病毒抗原检测结果，当天抗原检测阳性人数为万．将万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 已知，下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了该班15名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 1 2 3 5 6 人数 2 5 4 3 1 则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）元. A. 3，3 B. 2，2 C. 2，3 D. 3，5 5. 如图，，是的两条弦，且，点，分别在，上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图, 等边三角形的边长为为延长线上一点, 过点作于点 交于点 , 若, 则的值为( ) A. B. C. D. 8. 如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①③ 9. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：____________． 12. 在分析一组数据时，小华列出了方差的计算公式由公式提供的信息，可得出的值是________． 13. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 14. 如图，是的外接圆，，则的半径是______． 15. 已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，则AB的长为_____cm． 16. 如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________． 三、解答题（本大题共有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点为直线上一点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，求△的面积． 20. 已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求出的长． 21. 激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“”的度数处于 到 之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位． （1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到，参考数据： ， ，， ，，，，） （2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 22. 二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧． （1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）； （2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值； （3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 23. 已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（），得到线段CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F． （1）如图，当BE=CE时，求旋转角的度数； （2）当旋转角的大小发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的度数； （3）联结AF，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高桥初中2022学年第二学期期初学情阶段性教学诊断九年级数学试题卷 请同学们注意： 1．考试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为90分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，只需上交答题卷． 祝同学们取得成功！ 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解． 【详解】在数轴上，点到原点的距离是， 所以，的绝对值是， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 2. 年月日，全国报告新冠病毒抗原检测结果，当天抗原检测阳性人数为万．将万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：万． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 3. 已知，下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘除法进行计算判断即可． 【详解】解：A、x与不是同类项，不能合并，故A不符合题意． B、，故B符合题意． C、，故C不符合题意． D、，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘除法． 4. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了该班15名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 1 2 3 5 6 人数 2 5 4 3 1 则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）元. A. 3，3 B. 2，2 C. 2，3 D. 3，5 【答案】C 【解析】 【分析】由于小红随机调查了15名同学，根据表格数据可以知道中位数在第三组，再利用众数的定义可以确定众数在第二组． 【详解】∵小红随机调查了15名同学， ∴根据表格数据可以知道中位数在第三组，即中位数为3． ∵2出现了5次，它的次数最多， ∴众数为2． 故选C． 【点睛】本题考查了中位数、众数的求法：①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数． 5. 如图，，是的两条弦，且，点，分别在，上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角或弧的度数的一半． 根据圆内接四边形对角互补求得的度数，即可求得的度数，进而求得的度数，的度数，则的度数即可求解． 【详解】解：在圆内接四边形中，， 则所对的圆心角度数是， 又∵， ∴所对的圆心角的度数=所对的圆心角的度数， ∴所对的圆心角的度数是， ∴． 故选：B． 6. 已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在- 1≤x≤2的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该抛物线的对称轴为，且， ∴当时，二次函数有最大值为1+c；当时，二次函数有最小值为-3+c． ∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键． 7. 如图, 等边三角形的边长为为延长线上一点, 过点作于点 交于点 , 若, 则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，过点作EG//BC，交于点，可得是等边三角形，进而求得的长， 根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作EG//BC，交于点， ， ， ， ∵是等边三角形， ， ∵EG//BC， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵EG//BC， ∴ ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，适当的添加辅助线是解题的关键． 8. 如图，已知△中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．有下列结论：①△是直角三角形；②与直线相切；③．其中正确的结论有（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，可判断①结论；过点作交于点，结合角平分线的性质，可判断②结论；利用三角形的面积公式，求出的长，进而根据可判断③结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，①结论正确； ∴， 如图，过点作交于点， 平分，， ， 是的半径， 与直线相切，②结论正确； ， ， ， ， ， ，③结论正确， 即正确的结论有①②③． 9. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线与x轴无交点，可得，即可判断①；将代入抛物线可判断②；求出抛物线对称轴为直线，得到抛物线过点，代入抛物线可判断③；当时，抛物线在直线的下方，得到，整理后可判断④． 【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴无交点， ∴，故此选项错误； ②由图象可知：抛物线过点， ∴， ∴，故此选项正确； ③∵抛物线过点， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线过点， ∴抛物线过点， ∴， ∴，故此选项正确； ④由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， ∴， ∴， ∴，故此选项正确． 综上所述，正确的结论有3个． 10. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 【答案】B 【解析】 【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到AP的长的取值范围． 【详解】如图所示,过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E,则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA,此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠BPF＝∠A交AB于F,则△BPF∽△BAC, 此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠CPG＝∠B交AC于G,则△CPG∽△CAB, 此时,△CPG∽△CBA, 当点G与点A重合时,CA2＝CP×CB,即42＝CP×8, ∴CP＝2, ∴此时,0＜CP≤2; 综上所述,CP长的取值范围是0＜CP≤2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：____________． 【答案】4（x+5）（x﹣5） 【解析】 【分析】先提取公因式数，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为4（x+5）（x﹣5）． 【点睛】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式和平方差公式进行因式分解成为解答本题的关键． 12. 在分析一组数据时，小华列出了方差的计算公式由公式提供的信息，可得出的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据方差的计算公式得出这组数据，即可知道有多少个数据，从而得出结论． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、3、4、5， ∴这组数据的样本容量为4，即， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查方差的定义及计算公式，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中各个符号的含义． 13. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于F，得到平行四边形，得到，，，通过解直角三角形得出结果． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在直角中， ∵， ∴． 14. 如图，是的外接圆，，则的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】作直径，如图，连接，根据圆周角定理得到，，然后解直角三角形三求出，从而得到的半径． 【详解】解：作直径，如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， 即的半径是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，解决本题的关键是要熟练掌握同弧所对的圆周角相等． 15. 已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，则AB的长为_____cm． 【答案】或 【解析】 【分析】根据A点所在的位置分类讨论：①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，连接AO并延长交BC于点D，利用A、O都在BC中垂线上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，从而求出AB；②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，原理同上． 【详解】①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，如图，连接AO并延长交BC于点D，连接OB， ∵AB=AC ∴点A在BC的中垂线上 ∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线 ∴AO垂直平分BC ∵⊙O的半径为5cm ,点O到BC的距离为3cm ∴OA=OB=5，OD=3 ∴AD=8 根据勾股定理： ∴再根据勾股定理：； ②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，连接OB， ∵AB=AC ∴点A在BC的中垂线上 ∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线 ∴AO垂直平分BC ∵⊙O的半径为6cm ,点O到BC的距离为2cm ∴OA=OB=5，OD=3 ∴AD=2 根据勾股定理： ∴再根据勾股定理：； 综上所述：或． 【点睛】此题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，利用等腰三角形的顶点在圆上的不同位置分类讨论是解决此题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图， 连接 ，则有四边形 ，四边形相当于四边形沿 边对折得到． 已知，，则 ， ， 在 中， ， 则 ， 设 ，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得 ， 故答案为：． 【点睛】主要考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点． 三、解答题（本大题共有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键． 18. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案； （2）并不是等可能事件，所以不能选用树状图法做，选用概率分步原理解题即可 【详解】解：（1）画树状图得， ∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：； （2）由概率分步原理解题， 第一次拿出红球的概率为：，不放回，再拿出白球的概率为 第一次拿出白球的概率为，放回后，再拿出白球的概率为 故两次摸出的球都是白球的概率是： 故答案为： 【点睛】此题考查了画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点为直线上一点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，求△的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入求出，可得，把代入求出，即可得出答案； （2）作轴于，轴于，则，可得，根据相似三角形的性质求出，代入正比例函数和反比例函数解析式可求出，，即可求出△的面积． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，作轴于，轴于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入得，， 解得：， ∴， 把代入得，， 解得：， ∴， ∴， ． 20. 已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求出的长． 【答案】（1）证明：连接， 直线，分别切于点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∴； （2）的长． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线长定理可知，证明，可知，根据圆周角定理得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，可知，进而得到，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ， ， ， 的长． 21. 激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“”的度数处于 到 之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位． （1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到，参考数据： ， ，， ，，，，） （2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 【答案】（1）之间 （2）16000元 【解析】 【分析】（1）过点A作于点D，根据题意可得，当时，当 时，利用锐角三角函数即可解决问题； （2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为元．由题意列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点D， 根据题意可知：， ∴， 当 时， ， 在 中， ， ∴（m）， 当 时， ， 在中，， ∴ ， 答：小佳家要选择电视屏幕宽为之间的激光电视就能享受黄金观看体验； 【小问2详解】 解：设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为元． 由题意可得：， 解得：， 经检验是原方程的解，符合题意， 答：今年这款激光电视每台的售价是16000元． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形的应用以及分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程． 22. 二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧． （1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）； （2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值； （3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜2． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案； （2）利用十字相乘法分解因式即可得答案； （3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案． 【详解】（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a， ∴顶点横坐标为=． （2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a）， ∴p=-1． （3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0）， ∵-1＜0， ∴该二次函数的图象开口向下， ∵图象的顶点在y轴右侧， ∴＞0， ∴， ∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0， ∴-1＜m＜a， ∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方， ∴≤3， 解得：， ∴a的范围为1＜≤2． 【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键． 23. 已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（），得到线段CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F． （1）如图，当BE=CE时，求旋转角的度数； （2）当旋转角的大小发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的度数； （3）联结AF，求证：． 【答案】（1）30°； （2）不变；45°； （3）证明：过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I 易知四边形AGFH是平行四边形， 又∵BF⊥DF， ∴平行四边形AGFH是矩形. ∵∠BAD=∠BGF=90°， ∠BPF=∠APD ， ∴∠ABG=∠ADH. 又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADH. ∴AG=AH ， ∴矩形AGFH是正方形. ∴∠AFH=∠FAH=45°， ∴AH=AF ∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90° ∴∠DAH=∠CDI 又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC， ∴△AHD≌△DIC ∴AH=DI， ∵DE=2DI， ∴DE=2AH=AF 【解析】 【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC是等边三角形，从而求得=∠DCE=30°． （2）因为△CED是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF=. （3）过A点与C点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH是平行四边形，求得△ABG≌△ADH.从而求得矩形AGFH是正方形，根据正方形的性质证得△AHD≌△DIC，从而得出结论． 【详解】（1）证明：在正方形ABCD中, BC=CD.由旋转知，CE=CD, 又∵BE=CE, ∴BE=CE=BC, ∴△BEC是等边三角形， ∴∠BCE=60°. 又∵∠BCD=90°, ∴=∠DCE=30°. （2）∠BEF的度数不发生变化. 在△CED中，CE=CD, ∴∠CED=∠CDE=， 在△CEB中,CE=CB,∠BCE=, ∴∠CEB=∠CBE=, ∴∠BEF=. （3）略 【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $