13.2 与三角形有关的线段导学案2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕三角形的边、高、中线、角平分线及稳定性展开，通过“两点之间线段最短”证明三边关系，结合垂线、中点等旧知导入新知，构建从定义到性质的学习支架。 资料设计例题精析与分层练习，通过画图探究培养几何直观，用生活实例渗透应用意识，习题注重推理意识训练，帮助学生深化理解，提升数学思维与实践能力。

13.1 与三角形有关的线段 知识框架： · 三角形的边 · 三角形的高、中线、角平分线、稳定性 1、 三角形的边 1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 如何证明？ 理由：对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点看成定点，由“两点之间，线段最短”可得AB＋AC＞BC ① 同理有AC＋BC＞AB ② AB＋BC＞AC ③ 由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB． 例题精析 小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8 cm和5 cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是奇数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？ 检测1 1．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个三角形的两条边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（ ）．A．14 B．15 C．16 D．17 3．已知一个三角形的两边长分别是3 cm和4cm，则第三边长x的取值范围________． 若x是奇数，则x的值是___________；这样的三角形有____________个；若x是偶数，则x的值是____________；这样的三角形又有____________个． 4．已知三角形三边长分别为2，x，9，若x为奇数，则此三角形的周长为_______． 5．两根木棒的长分别是7 cm和10 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，第三根木棒的长度有什么限制？ 2、 三角形的高、中线、角平分线、稳定性 回忆： 1．垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 2. 线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点． 3. 角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 探究： 1．三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高． 任意画一个锐角△ABC，请画出BC边上的高． 那锐角、钝角、直角三角形的高都怎么画？ 总结发现： 三角形的三条高所在直线交于一点． 2. 三角形的中线 发现：三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部． 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 符号语言表示：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD＝BC． 3．三角形的角平分线 三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部． 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心． 符号语言表示 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC． 补充：三角形的高、中线、角平分线都是线段． 能将三角形的面积平均分成两部分的线是三角形的中线． 练习1 （1）点D是△ABC的BC边上的一点． ∵BD＝CD， ∴线段AD是△ABC的_______．（中线） ∵∠BAD＝∠CAD， ∴线段AD是△ABC的_______．（角平分线） ∵∠ADC＝90°， ∴线段AD是△ABC的_______．（高） （2）下列各组图形中，哪一组图形中的AD是△ABC的高（ ）． （3）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 （4）如图，AD，AM，AH分别是△ABC的角平分线、中线、高． ①∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠_______＝∠_______＝∠_______． ②∵AM是△ABC的中线， ∴_______＝_______＝_______． ③∵AH是△ABC的高， ∴∠_______＝∠_______＝90°． 3. 三角形的稳定性（四边形具有不稳定性） （1）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF，EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法根据的是__三角形的稳定性____． （2）下列设备，没有利用三角形的稳定性的是（ A ）． A．活动的四边形衣架 B．起重机 C．屋顶三角形钢架 D．索道支架 练习2 1．三角形的角平分线是（ ）． A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线 2．已知AD，AE分别是△ABC的中线和角平分线，则下列结论中错误的是（ ）． A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ）． （1）三角形的高，中线，角平分线都是线段； （2）三角形的三条中线都在三角形内； （3）三角形的高有两条在三角形的外部，还有一条在三角形的内； （4）如果点P是△ABC中AC边的中点，则PB是△ABC的中线． A．（1）（2）（4） B．（1）（2）（3）（4） C．（1）（4） D．（1）（2） 作业1 1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）． A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠ABE＝∠DBE＝∠CBD D．BC是△ABE的高 2．如图，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D，E分别在△ABC的AB和BC边上，下列说法正确的个数有（ ）． （1）△ABC中，AC是BC边上的高；（2）△BCD中，DE是BC边上的高； （3）△ABE中，DE是BE边上的高；（4）△ACD中，AD是CD边上的高． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是（ ）． A．高 B．中线和角平分线 C．角平分线 D．中线 4．下列命题：其中假命题的个数有（ ）． （1）直角三角形只有一条高；（2）钝角三角形只有一条高； （3）三角形的三条高所在的直线相交于一点，它不在三角形的内部，就在三角形的外部； （4）三角形的高是一条垂线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示，△ABC中BC边上的高是________，△ACD中CD边上的高是________，△BCE中BC边上的高是________，以CF为高的三角形是________． 6．如图所示，△ABC的三条中线把这个三角形分成________部分，这几部分的面积________． 7．如图所示，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则________． 8．如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，已知AF＝6，BC＝10，BG＝5． （1）求△ABC的面积；（2）求AC的长； （3）说明△ABD和△ACD的面积的关系． 检测2 1．如图所示，已知在△ABC中，BC边上的高为（ ）． A．BE B．BF C．AD D．CF 2．三角形的角平分线、中线、高线中（ ）． A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段 C．高线是直线，其余是线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段 3．图中，BD＝DE＝EF＝FC，那么___________是△ABE的中线． A．AD B．AE C．AF D．以上都是 4．如图，△ABC的周长为18 cm，BE，CF分别为AC，AB边上的中线，BE，CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF＝3 cm，AE＝2 cm，求BD的长． 5．湖南岳阳某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给4位农户， 请你设计两种不同的分配方案（在已给的图形中直接画图，保留画图痕迹，不写画法） 答案 检测1： 1．B．2．B．3．1＜x＜7，3或5，2，2或4或6，3．4．20． 5．第三根木棒应在3和17之间． 练习1 2 D．3 B． 练习2 1．C． 2．D． 3．A． 作业1 1．C． 2．B． 3．D． 4．D． 5.AD，AD，BE；△ABC，△BCF，△ACF．6．6；相等 7．16 cm2． 8．解：（1）因为BC＝10，AF⊥BC，AF＝6，所以S△ABC＝BC·AF＝30． （2）因为BG为△ABC的高，所以S△ABC＝AC·BG＝AC·BG＝BC·AF，因为BG＝5， BC＝10，AF＝6，所以AC＝12； （3）因为AF⊥BC，所以S△ABD＝BD·AF，S△ACD＝CD·AF，因为AD为△ABD的中线，所以BD＝CD．所以S△ABD＝S△ACD，即△ABD和△ACD的面积相等． 检测2 1．答案：C．2．答案：A．3．答案：A． 4．答案：BD长为4 cm． ∵BE，CF是AC，AB边上的中线，且交于点O， ∴AB＝2AF＝2×3＝6（cm），AC＝2AE＝2×2＝4（cm）． ∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝BC． 5．答案： 解析： 对三角形进行等分，一般要借助三角形的中线，然后再在三角形中线所分的两个三角形上分别再作中线就可以了，这样就可以把三角形四等分了． 学科网（北京）股份有限公司 $