1.3 三角形的内角与外角（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》（人教版）

该初中数学资料聚焦三角形内角与外角知识，系统梳理内角和定理（含概念、证明及应用），延伸至直角三角形性质与判定（基于内角和的两锐角互余及逆定理），再拓展到外角定义、性质（等于不相邻两内角和）及外角和定理，构建从基础到特殊再到拓展的学习支架。 知识链路按“概念—定理证明—应用”逻辑递进，知识点标注推理依据强化逻辑。习题设计突出几何直观（折叠、辅助线作图）和推理意识（多方法证明内角和、综合探究题），融入实际情境（斜面杯子受力），助力学生用数学思维分析问题，提升知识应用与迁移能力。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.3 三角形的内角与外角（知识梳理+达标检测） 知识点一三角形的内角和定理 1、三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°。 2、三角形的内角和等于180°。 3、利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理 4、三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数。 （1）直接根据两已知角求第三个角； （2）依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点二直角三角形的性质与判定 1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 2、直角三角形的性质：在直角三角形中，两个锐角互余。（推理依据：三角形的内角和定理） 3、直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。（推理依据：三角形的内角和定理） 4、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）。 知识点三三角形的外交 1、三角形外角的定义。 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。 2、三角形的内角和定理的推论（三角形外角的性质）。 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3、三角形的外角和定理（拓展）。 三角形的外角和的定义：在三角形的每个顶点处各取一个外交，这些外角的和叫做三角形的外角和。三角形的外角和为360°。 一、选择题 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ） ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 3．如图，在中，，把沿边上的高所在的直线翻折，点落在边的延长线上的点处，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 5．一个三角形的两个内角分别为和，且，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 二、填空题 6．如图，在中，，，是的平分线，于点E，交于，则的度数是______． 7．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 8．如图，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则与，之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____． 9．如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 10．将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 三、解答题 11．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． （1）若，，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 12．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． （1）若，，求的大小； （2）若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 13．在三角形中，是角平分线，． （1）如图（1），是高，，求的度数； （2）如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； （3）如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 14．【背景】如图，直线，点在直线和之间，且，该角的两边分别交直线，于点E，F． 【感知】（1）如图1，当点在过点和点的直线的左侧时，过点作，求的度数； 【探究】（2）如图2，当点在过点和点的直线的右侧时，求的度数； 【拓展】（3）如图3，若的角平分线交直线于点，延长交直线于点，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.3 三角形的内角与外角（知识梳理+达标检测） 知识点一三角形的内角和定理 1、三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°。 2、三角形的内角和等于180°。 3、利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理 4、三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数。 （1）直接根据两已知角求第三个角； （2）依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点二直角三角形的性质与判定 1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 2、直角三角形的性质：在直角三角形中，两个锐角互余。（推理依据：三角形的内角和定理） 3、直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。（推理依据：三角形的内角和定理） 4、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）。 知识点三三角形的外交 1、三角形外角的定义。 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。 2、三角形的内角和定理的推论（三角形外角的性质）。 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3、三角形的外角和定理（拓展）。 三角形的外角和的定义：在三角形的每个顶点处各取一个外交，这些外角的和叫做三角形的外角和。三角形的外角和为360°。 一、选择题 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ） ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【解答】解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 2．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在中，，把沿边上的高所在的直线翻折，点落在边的延长线上的点处，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，如图所示，由折叠可得，再由三角形内角和定理可得，从而根据求出答案． 【解答】解：把沿边上的高所在的直线翻折后如图所示， 由折叠可知， 则由三角形内角和定理可得， 又， ∴． 4．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【解答】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 5．一个三角形的两个内角分别为和，且，则这个三角形是（    ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．利用三角形内角和定理，根据已知条件推导第三个角的大小，从而判断三角形类型． 【解答】解：∵三角形内角和为， 第三个角， ， ， ，即三角形有一个钝角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 二、填空题 6．如图，在中，，，是的平分线，于点E，交于，则的度数是______． 【答案】/65度 【分析】直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用角平分线的性质结合垂直的定义以及平行线的性质得出答案． 【解答】解：∵中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 8．如图，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则与，之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，由平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得，据此可得，即． 【解答】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 9．如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由直线是的倍形似线，所以，从而可得，又，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵直线是的倍形似线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【解答】解：， ， ． 三、解答题 11．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． （1）若，，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【解答】（1）解：如图，记，，． ， 又平分， ， （2） 理由如下：设，， 平分 ， 又 12．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． （1）若，，求的大小； （2）若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 【答案】（1） （2）18 【分析】（1）由平移的性质得到，则由平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由平移的性质得到，，证明与周长的和，即可得到答案． 【解答】（1）解：由平移的性质可得， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得，， 与周长的和 ． 13．在三角形中，是角平分线，． （1）如图（1），是高，，求的度数； （2）如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； （3）如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【解答】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 14．【背景】如图，直线，点在直线和之间，且，该角的两边分别交直线，于点E，F． 【感知】（1）如图1，当点在过点和点的直线的左侧时，过点作，求的度数； 【探究】（2）如图2，当点在过点和点的直线的右侧时，求的度数； 【拓展】（3）如图3，若的角平分线交直线于点，延长交直线于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形外角的性质及角平分线的定义，过拐点作平行线是解题的关键： （1）根据平行线的性质，已知条件，平行公理，进行作答即可； （2）过点作，根据平行线的性质，角的和差关系进行求解即可； （3）根据平行线的性质，角平分线的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵， ．     ， ， ， ．     ， ； （2）如图，过点作， ． ， ， ， ， ， ；     （3）平分， ．     ， ， ， ，即． ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $