13.3三角形的内角与外角（4知识点+12大题型+针对训练）【暑假自学课】 2026-2027学年人教版八年级数学上册

13.3三角形的内角与外角 学习目标导航 1. 阐述并验证三角形的内角和定理。并能够利用三角形的内角和熟练的求角度。 2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定并加以应用。3.3.掌握三角形外角的概念，并能够3. 熟练判断三角形的外角； 4. 掌握三角形外角的性质，能够熟练的应用三角形的外角解决相关题目 洞悉◆教材知识 知识点01 三角形的内角和定理 1. 三角形内角和定理的内容： 三角形的三个内角之和等于 180° 。 即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180° 。 2. 三角形内角和定理的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 如图：过点A作DE平行于BC。 ∵DE∥BC ∴∠B＝ ∠DAB ；∠C＝ ∠EAC 。 ∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180° 。 ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180° 。 知识点02 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。 2. 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 互余 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° 。 3. 直角三角形的判定： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形。 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形。 知识点03 三角形的外角 1. 三角形外角的定义： 如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。 知识点04 三角形的外角定理 1. 三角形的外角性质： ①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。 即∠1= ∠2+∠3 。 ②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。 ③三角形的外角与相邻的内角 互补 。 ④三角形的外角和都等于 360° 。 核心题型◆归纳 题型01 利用三角形的内角和求角度 题型02 直角三角形的性质 题型03 直角三角形的判定 题型04 三角形的内角和与直角三角板 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 题型06 三角形的折叠问题 题型07 利用三角形的外角定理求角度 题型08 比较角度的大小关系 题型09 三角形的外角与直角三角板 题型10 三角形的两条内角平分线 题型11 三角形的内角平分线与外角平分线 题型12 三角形的两条外角平分线 针对训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用三角形的内角和求角度 【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（　　） A．75° B．78° C．80° D．85° 【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 题型02 直角三角形的性质 【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　 　 °． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（　　） A．39° B．51° C．38° D．52° 题型03 直角三角形的判定 【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型04 三角形的内角和与直角三角板 【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　） A．50° B．40° C．35° D．25° 【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 题型06 三角形的折叠问题 【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 题型07 利用三角形的外角定理求角度 【典例1】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【变式1】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 题型08 比较角度的大小关系 【典例1】如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　） A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定 【变式1】如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　） A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3 题型09 三角形的外角与直角三角板 【典例1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式1】数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 题型10 三角形的两条内角平分线 【典例1】如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式1】如图，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°∠A的理由． 解：∵BD平分∠ABC（已知）， ∴∠DBC＝　 （角平分线定义）． 同理：∠DCB＝　 　 ． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（ 　 　 ）， ∴∠D＝　 　 （等式性质）． 即：∠D＝90°∠A． 题型11 三角形的内角平分线与外角平分线 【典例1】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D，∠D＝40°，则∠A等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2的大小为 　 　 ．（用含α的式子表示） 题型12 三角形的两条外角平分线 【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为（　　） A．47° B．57° C．67° D．77° 【变式1】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 针对训练 一、三角形的内角 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 2．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 3．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是高，是角平分线，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 10．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．如图，直线，直线，，则的度数为___________． 12．如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为________． 13．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是______． 14．如图，中，，于，，，则 _______°． 15．如图：已知和一块含角的直角三角尺． (1)如图，三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图，三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，若，求的度数． 二、三角形的外角 16．如图，在中，，点在的延长线上，，则（    ） A． B． C． D． 17．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 18．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 19．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，，与交于点，，，则______． ． 21．如图，是的边上一点，，，，则_______°. 22．如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为______． 23．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则_____________度（用含x、y的代数式表示）． 24．如图，已知，，，，求的度数． 25．如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3三角形的内角与外角 学习目标导航 1. 阐述并验证三角形的内角和定理。并能够利用三角形的内角和熟练的求角度。 2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定并加以应用。3.3.掌握三角形外角的概念，并能够3. 熟练判断三角形的外角； 4. 掌握三角形外角的性质，能够熟练的应用三角形的外角解决相关题目 洞悉◆教材知识 知识点01 三角形的内角和定理 1. 三角形内角和定理的内容： 三角形的三个内角之和等于 180° 。 即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180° 。 2. 三角形内角和定理的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 如图：过点A作DE平行于BC。 ∵DE∥BC ∴∠B＝ ∠DAB ；∠C＝ ∠EAC 。 ∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180° 。 ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180° 。 知识点02 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。 2. 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 互余 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° 。 3. 直角三角形的判定： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形。 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形。 知识点03 三角形的外角 1. 三角形外角的定义： 如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。 知识点04 三角形的外角定理 1. 三角形的外角性质： ①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。 即∠1= ∠2+∠3 。 ②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。 ③三角形的外角与相邻的内角 互补 。 ④三角形的外角和都等于 360° 。 核心题型◆归纳 题型01 利用三角形的内角和求角度 题型02 直角三角形的性质 题型03 直角三角形的判定 题型04 三角形的内角和与直角三角板 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 题型06 三角形的折叠问题 题型07 利用三角形的外角定理求角度 题型08 比较角度的大小关系 题型09 三角形的外角与直角三角板 题型10 三角形的两条内角平分线 题型11 三角形的内角平分线与外角平分线 题型12 三角形的两条外角平分线 针对训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用三角形的内角和求角度 【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（　　） A．75° B．78° C．80° D．85° 【答案】B 【解答】解：设另两个内角的度数分别为2x，3x， 根据题意得：50°+2x+3x＝180°， 解得：x＝26°， ∴2x＝2×26°＝52°，3x＝3×26°＝78°， ∵50°＜52°＜78°， ∴最大内角的度数是78°． 故选：B． 【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】A 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A180°＝40°． 故选：A． 题型02 直角三角形的性质 【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　52　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°． 故答案为52． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（　　） A．39° B．51° C．38° D．52° 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°， ∴∠A＝51°， ∵EF∥AB， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝51°， 故选：B． 题型03 直角三角形的判定 【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【答案】D 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 题型04 三角形的内角和与直角三角板 【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∠α＝∠β＝45°，故不符合题意； B、根据同角的余角相等，得∠α＝∠β，故不符合题意； C、根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°， ∴∠α＝∠β，故不符合题意； D、根据图形可知∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β＝180°，∠α≠∠β，故符合题意； 故选：D． 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 【答案】B 【解答】解：∵将一副三角板按照如图方式摆放， ∴∠BCF＝60°，∠EAD＝45°， ∴∠AGC＝180°﹣∠BCF﹣∠EAD＝75°， ∴∠BGE＝∠AGC＝75°， 故选：B． 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　） A．50° B．40° C．35° D．25° 【答案】D 【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB＝40°， ∴∠CAE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE∠CAE50°＝25°． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1＝40°， ∴∠BAC＝2∠1＝2×40°＝80°． 在△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣35°﹣80°＝65°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°． 故选：B． 题型06 三角形的折叠问题 【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【答案】C 【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处， ∴△BMN≌△B'MN， ∴∠BMN＝∠B'MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故选：C． 【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】D 【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 题型07 利用三角形的外角定理求角度 【典例1】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】D 【解答】解：∵直角三角板， ∴α＝90+60°＝150°， 故选：D． 【变式1】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【解答】解：由图可得∠1＝30°+45°＝75°， 故选：C． 题型08 比较角度的大小关系 【典例1】如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　） A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠B+∠A， ∴∠B＜∠ACD． 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　） A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝∠1+∠ABD，∠3＝∠2+∠CBD，∠ABD＞0°，∠CBD＞0°， ∴∠1＜∠2＜∠3，即∠1，∠2，∠3的大小关系是∠1＜∠2＜∠3， 故选：A． 题型09 三角形的外角与直角三角板 【典例1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠EAD＝45°， ∴∠FBA＝∠EAD﹣∠FBA＝45°﹣30°＝15°， 故选：B． 【变式1】数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【解答】解：∵图中是一副三角板叠放， ∴∠ACB＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°， ∵∠α是△ACE的外角， ∴∠α＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°． 故选：D． 题型10 三角形的两条内角平分线 【典例1】如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD） ∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）， ∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC） ∴∠BDC＝90°∠A， ∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°， 故选：D． 【变式1】如图，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°∠A的理由． 解：∵BD平分∠ABC（已知）， ∴∠DBC＝　ABC　 （角平分线定义）． 同理：∠DCB＝　ACB　 ． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（ 　三角形的内角和等于180°　 ）， ∴∠D＝　180°﹣（∠DBC+∠DCB）　 （等式性质）． 即：∠D＝90°∠A． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BD平分∠ABC（已知）， ∴∠DBCABC（角平分线定义）， 同理：∠DCBACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（三角形的内角和等于180°）， ∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°A（等式性质）， 即：∠D＝90°∠A， 题型11 三角形的内角平分线与外角平分线 【典例1】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D，∠D＝40°，则∠A等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示. ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE． 又∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D， ∴∠A＝2∠D， 又∵∠D＝40°， ∴∠A＝80°． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2的大小为 　　 ．（用含α的式子表示） 【答案】． 【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O， ∴， ∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴， ∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣∠ABC+∠1）＝∠1+∠ABC，∠ECD＝180°﹣∠ECB＝180°﹣（180°﹣∠EBC+∠1）＝∠EBC+∠2， ∴； 故答案为：． 题型12 三角形的两条外角平分线 【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为（　　） A．47° B．57° C．67° D．77° 【答案】C 【解答】解：∵∠DAC＝∠B+∠ACB，∠FCA＝∠B+∠BAC， ∴∠DAC+∠FCA＝∠B+∠ACB+∠BAC+∠B＝180°＝46°＝226°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠CAE∠DAC，∠ACE∠ACF， ∴∠CAE+∠ACE（∠DAC+∠ACF）＝113°， ∴∠AEC＝180°﹣113°＝67°． 故选：C． 【变式1】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 【答案】B 【解答】解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线， ∴，， ∵∠P＝70°， ∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°， ∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确． 故选：B． 针对训练 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 2．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 3．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵平分．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 4．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，在中，是高，是角平分线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先根据三角形内角和定理，求出的度数，然后根据角平分线的定义，求出的度数，再次利用三角形内角和定理，求出的度数，最后根据求出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，由三角形内角和定理可求出的度数，进而由折叠的性质得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：A． 9．如图，中，平分，．，．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平分，得，根据，则，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得， 故选：D 10．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 11．如图，直线，直线，，则的度数为___________． 【答案】/40度 【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得出，然后求出的邻补角，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】因为，， 所以， 则的邻补角为， 所以． 故答案为：． 12．如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两个锐角相加等于是解题的关键．先计算出和的度数，再根据即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ． 故答案为： ． 13．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是______． 【答案】/128度 【分析】本题考查平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，根据平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，结合邻补角求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，中，，于，，，则 _______°． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质．先根据得出，再由可得出，由可得出的的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 15．如图：已知和一块含角的直角三角尺． (1)如图，三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图，三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余．解决本题的关键是根据平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系． （1）设，则，根据平行线的性质可知，根据平角的定义可知，解方程即可求出的度数． （2）根据两直线平行同旁内角互补可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，所以可得：，又因为，可以求出． 【详解】（1）解：设，则， ， ， 由已知可得：， ， 解得：， ； （2）解：， ， 即， 又， ， ． 16．如图，在中，，点在的延长线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ， 故选C． 17．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，由角的和差关系求得，由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 18．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 19．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由三角形外角的性质得出的度数，由对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 20．如图，，与交于点，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由三角形外角性质得，进而由平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 21．如图，是的边上一点，，，，则_______°. 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，在三角形中求角度的大小时，经常运用它们解题． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理，直接求出的度数． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：. 22．如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，延长交于点，设，利用三角形外角的性质表示出的度数，结合角平分线的等腰得到度数，根据列出等式，即可求出． 【详解】解：延长交于点，设交于F， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则_____________度（用含x、y的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 24．如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 25．如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $