1.7位似 第1课时教学设计2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“位似”核心知识，通过手电筒投影情境导入，联系相似三角形旧知，引导学生观察对应点连线规律，搭建从相似到特殊位似的学习支架，理解位似概念、性质及作图方法。 特色在于生活化情境培养数学眼光，探究活动发展数学抽象与逻辑推理，规范作图四步法强化几何直观，分层练习提升应用意识。如通过投影实例抽象位似定义，分步示范同侧与反向作图，帮助学生掌握技能，为教师提供清晰教学路径与分层资源。

1.7位似第1课时教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一 课题 1.7位似第1课时 课时 1 课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于图形与几何领域图形的相似主题,要求学生了解位似图形及其有关概念,知道位似是特殊的相似；理解位似中心、位似比的意义,掌握位似图形对应点连线交于位似中心、对应线段互相平行的性质；能够利用位似将一个图形按要求放大或缩小,经历观察、抽象、作图、应用的过程,发展几何直观、空间观念与数学抽象素养；体会位似在生活、投影、设计中的应用价值,增强图形变换的应用意识。 教材分析 本节是湘教版九年级上册第一章《图形的相似》最后一节新授课,是相似图形的拓展与特殊应用。教材从幻灯片投影等生活实例引入,抽象出位似、位似中心、位似比的概念,归纳位似图形的核心性质,重点讲解以定点为位似中心对图形进行放大与缩小的作图方法。内容由直观到抽象、由概念到操作,将相似、比例、平行线知识融为一体,既是对全章相似知识的总结提升,也是后续平面直角坐标系中位似变换、图形设计与投影问题的重要基础,突出直观性、操作性与应用性。 学情分析 九年级学生已熟练掌握相似三角形、图形放大缩小、比例线段等知识,具备基本作图与几何观察能力,但对“位似”这种特殊相似缺乏认知,易混淆位似与一般相似；对位似中心位置、位似比符号、对应点连线共点、对应线段平行等特征理解不深；作图时容易出现连线不经过位似中心、比例不准确、反向延长作图遗漏等问题。学生好奇心强、乐于动手操作,适合实例观察、探究归纳、分步作图教学。 教学目标 1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念,能识别位似图形并找出位似中心,掌握位似图形的基本性质。 2.掌握以定点为位似中心将图形放大或缩小的作图方法,规范完成位似作图,提升几何作图与空间想象能力。 3.经历从生活实例到数学概念的抽象过程,发展几何直观、数学抽象与逻辑推理素养。 4.理解位似是特殊的相似,体会图形变换的内在联系,感受数学与生活的紧密联系。 教学重点 1.位似图形的概念、性质理解与位似中心识别。 2.以定点为位似中心进行图形放大与缩小的规范作图。 教学难点 位似图形的本质理解(对应点连线共点、对应线段平行)及反向延长线位似作图的准确性。 教学过程 教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图 环节一:依标靠本,独立研学 情境 夜晚,手电筒照射一张小三角形纸片,在墙上投射出一个大三角形影子。 问题 1.小三角形与墙上大三角形是什么关系？ 2.光源、纸片上顶点、墙上对应顶点有什么位置特点？ 3.对应线段之间有怎样的位置关系？ 答案 1.两个三角形相似。 2.光源、纸片顶点、墙上对应顶点三点在同一条直线上。 3.对应线段互相平行。 回顾相似图形的定义与性质,提问图形放大缩小的特征,为位似学习铺垫。 回忆相似相关知识,思考图形放大缩小的特点。 以旧引新,建立相似与位似的知识联系。 探究活动一:位似的相关概念 我们知道,把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相似.如何把一个图形放大或缩小？下面我们来学习一种简单可行的方法. 观察:图1.7-1是把幻灯片上的一只小熊图案放映到屏幕上的示意图(点O表示光源).幻灯片与屏幕上的两个小熊图案之间有什么关系？ 在图1.7-1中的左边小熊的头顶上和尾巴尖上分别取点A,B,右边小熊的头顶上和尾巴尖上的A′,B′分别为点A和点B的对应点.此时我们会发现点A,A′与点O在一条直线上,点B,B′与点O也在一条直线上. 分别量出线段的长度(精确到),计算: , , 答案:,. 思考:在左、右两只小熊上找出一些对应点,发现每一对对应点连线有什么关系？ 继续在左、右两只小熊上找出一些对应点,发现每一对对应点都与点O在一条直线上,且每一对对应点与点O所连线段的比与的值相等. 抽象:从上面的例子受到启发,可以引出下述概念: 取定一个点O,把一个图形上每一个点P对应到射线OP(或射线OP的反向延长线)上的点P′,使得,其中k是非零常数,当k>0时,点P′在射线OP上,当k<0时,点P′在射线OP的反向延长线上.特别地,点O对应到它自身.我们把图形的这种变换称为位似,把这个图形与它在位似下的像称为位似图形,这个点O叫作位似中心,常数k叫作位似比. 在图1.7-1中,幻灯片与屏幕上的两个小熊图案是位似图形. 方法总结: 1.核心判定:对应点连线交于一点、对应线段平行(或共线)的相似图形是位似图形。 2.三要素:位似中心、位似图形、位似比,位似是特殊的相似。 3.概念辨析:相似不一定位似,位似一定相似。 展示投影实例,引导观察对应点位置关系,抽象位似相关概念并规范表述。 观察图形特征,归纳对应点连线规律,理解位似、位似中心、位似比定义。 从直观到抽象,形成位似概念,培养数学抽象素养。 环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:位似的性质 思考:在图1.7-1中,连接,可以抽象出图,则吗？吗？ 解:因为, 所以. 于是,. . 由此受到启发,可得如下命题:若两个图形是位似图形,则这两个图形不仅相似,而且对应点的连线相交于一点,对应线段平行(或在同一条直线上). 方法总结: 1.位似图形一定相似,相似比等于位似比的绝对值。 2.对应点连线经过位似中心,对应线段互相平行(或在同一直线上)。 3.周长比等于位似比,面积比等于位似比的平方。 引导推导位似与相似的关系,归纳位似图形的核心性质。 通过证明三角形相似,得出位似图形的性质结论。 经历推理过程,理解性质来源,提升逻辑推理能力。 环节三:全班展学,互动深入 探究活动三:画位似图形 由位似的定义可知,利用位似可以把一个图形进行放大或缩小. 思考:如何把放大为原来的倍？ 方法一:如图1.7-3(1)1.在三角形外任意取一点O,连接 2.分别在线段的延长线上取点A′,B′,C′,使得 3.依次连接点,则所得到的就是所要求的图形. 方法2:如图,我们还可以在三角形外任意取一点,连接； 2.分别在线段的反向延长线上取点,使得； 3.依次连接点,则所得到的就是所要求的图形. 做一做:(1)已知外一点,以点为位似中心,将缩小为原图形的； (2)若点在内部,以点为位似中心,分别将缩小为原图形的、放大为原图形的倍. 解:(1)解:如图:为缩小后的图形。 (2)如图:为缩小后的图形。 如图,为放大后的图形: 总结归纳: 1.作图四步:定中心→连关键点→按比例取点→顺次连线。 2.两种画法:在位似中心同侧放大(缩小)、两侧反向放大(缩小)。 3.关键注意:对应点连线必过位似中心,比例要准确。 示范位似作图步骤,强调同侧与异侧作图的区别与规范。 按步骤完成图形放大与缩小,规范作图,区分正向与反向位似。 强化动手操作,掌握作图技能,发展几何直观。 环节四:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.已知△ABC∽△A'B'C',下列图形中,△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是(　　) 2.如图,已知DE∥BC,则下列关于△ABC与△ADE的说法中不正确的是(　　) A.两个三角形是位似图形 B.点A是两个三角形的位似中心 C.AB:AD是位似比 D.点B与点E,点C与点D是对应位似点 3.如图,六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形,O为位似中心,且OD=OD1,则A1B1:AB=(　　) A.2:3　　　　B.3:2　　　　 C.1:2　　　　D.2:1 4.如图,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为-,点A,B的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B'的长为(　　) A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10 5.如图,以点O为位似中心,把△ABC的各边放大为原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法中错误的是(　　) A.△ABC∽△A'B'C' B.点C、点O、点C'在同一直线上 C.AO:AA'=1:2 D.AB∥A'B' 6.如图,直角梯形AEFH是由直角梯形ABCD经过位似变换得到的,点A是位似中心,若这两个直角梯形的周长比为3:4,AE=6,则BE=　　　　. 7.如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,O为位似中心,若△OAE的面积为4,△OA'E'的面积为9,则五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的面积比为　　　　. 8.画出下列图形的位似中心. 9.如图,在网格中,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,四边形ABCD的顶点均在格点上. (1)请以点O为位似中心,在网格图中作出四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似,且=2; (2)填空:线段BB'的长为　　　　,△A'D'O的面积为　　　　. 1.D　根据位似图形的概念可知,选项A、B、C中的三角形存在位似关系,而选项D中,△ABC与△A'B'C'不存在位似关系,故选D. 2.D　根据位似图形的定义可得:A.两个三角形是位似图形,说法正确;B.点A是两个三角形的位似中心,说法正确;C.AB:AD是位似比,说法正确;D.点B与点D,点C与点E是对应位似点,说法错误,故选D. 3.D　∵六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形, ∴六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,DE∥D1E1, ∴=,△ODE∽△OD1E1,∴==,∴==, ∴A1B1:AB=2:1.故选D. 4.D　∵图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为-, ∴AB:A'B'=3:5,∵AB=6,∴A'B'=10,故选D. 5.C　∵以点O为位似中心,把△ABC的各边放大为原图形的2倍得到△A'B'C',∴△ABC∽△A'B'C',点C、点O、点C'在同一直线上,AB∥A'B',AO:OA'=1:2,故选项C中的说法错误,符合题意.故选C. 6.2 解析　由题意得=,∴=,∴AB=8,∴BE=AB-AE=8-6=2. 7.4:9 解析　∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,O为位似中心,∴AE∥A'E',=,∴△OAE∽△OA'E', ∴===,∴==. 8.解析　画出两对对应点的连线,找出它们的交点,即位似中心. 如图,P、O即为所求的位似中心. (1)　　　　　　　　(2) 9.解:(1)如图,四边形即为所求. (2),. 故答案为6;10. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.位似是特殊的相似,满足相似的一切性质。 2.位似图形的对应点连线相交于同一点,这个点叫位似中心。 3.位似图形的对应线段互相平行(或在同一直线上)。 4.位似比是对应点到位似中心的距离之比,等于相似比。 5.周长比=位似比；面积比=位似比²。 6.画位似图形:确定中心、连接关键点、按位似比确定新点、依次连线。 7.位似中心可在图形内部、外部、边上、顶点上。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。 板书设计 1.7位似(第1课时) 1. 位似图形:特殊的相似,对应点连线共点,对应线段平行； 2. 三要素:位似中心、位似比、位似图形； 3. 性质:相似；对应点过中心；对应线段平行； 4. 作图:定中心→连线→取点→连线。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。 课后提升 基础达标： 1.如图,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为2:3,点A,B的对应点分别为点A′,B′.若AB＝6,则A′B′的长为( ) A.8B.9C.10D.15 2.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,连接EF,FG,GH,EH,则下列说法不正确的是( ) A.△OEF和△OAB是位似图形 B.△OEH和△OFG是位似图形 C.△EFH和△ABD是位似图形 D.△OHG和△OGF是位似图形 3.如图,BC∥ED,下列说法不正确的是( ) A.两个三角形是位似图形 B.点A是两个三角形的位似中心 C.点B与点D、点C与点E是对应位似点 D.AC:AB是位似比 4.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,点B在OD上,AE,CB分别是△OAB,△OCD的中线,则AE:CB的值为___. 5.如图,BD,AC相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,∠DAP＝∠CBP. (1)求证:△ADP∽△BCP； (2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？ (3)若AB＝8,CD＝4,DP＝3,求AP的长. 能力提升： 6.下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF,这两个三角形不是位似图形的是( ) 7.如图所示是△ABC位似图形的几种画法,其中正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 8.在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( ) A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 9.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且BC:EF＝3:2,则S△ABC:S△DEF＝____. 10.如图,在平行四边形ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF分别交AC,CD于点P,E,则图中的位似三角形共有____对. 11.如图,△ACC′是由△ABB′经过位似变换得到的 (1)求出△ACC′与△ABB′的位似比,并指出它们的位似中心； (2)△AEE′是△ABB′的位似图形吗？如果是,求位似比；如果不是说明理由； (3)如果位似比为3,那么△ABB′的位似图形是什么？ 12.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且位似比是1:2,若AB＝2cm,求A′B′的长度,并在图中画出位似中心O. 拓展迁移： 13.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M为AD的中点,连接CM交BD于点N,且ON＝1. (1)求BD的长； (2)在直线AC的同侧,以点O为位似中心,作出△CON的位似三角形,并使△CON与和它位似的三角形的位似比是1:2.(不写作法,保留作图痕迹). 14.如图1,在6×8的网格图中,每个小正方形边长均为1m,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点. (1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为1:2； (2)台风过后,一片狼藉,如图2,小明测量发现,一棵被吹倾斜了的树影长为3m,与地面的夹角为45°,同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似(树干对应BC边),求原树高.(结果保留根号) 1.B;2.D;3.D;4.1:2; 5.解:(1)∵∠DAP＝∠CBP,∠DPA＝∠CPB,∴△ADP∽△BCP； (2)△ADP与△BCP不是位似图形, 因为它们的对应边不平行,对应点的连线不交于一点； (3)∵△ADP∽△BCP, ∴＝,又∠APB＝∠DPC, ∴△APB∽△DPC, ∴＝,即＝, 解得AP＝6. 6.B;7.C;8.A;9.9:4;10.6; 11.解:(1)△ACC′与△ABB′的位似比为:CC′:BB′＝2:1；它们的位似中心是A； (2)△AEE′是△ABB′的位似图形, 位似比为:EE′:BB′＝4:1； (3)如果位似比为3,那么△ABB′的位似图形是△ADD′. 12.解:∵△ABC与△A′B′C′是位似图形, ∴△ABC∽△A′B′C′, ∵位似比是1:2,∴AB:A′B′＝1:2, ∵AB＝2cm,∴A′B′＝4cm. 位似中心如图,点O即为所求. 13.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD＝BC,OB＝OD, ∴DM∥BC, ∴△MND∽△CNB, ∴MD:BC＝DN:BN, ∵M为AD的中点,∴MD:BC＝1:2, ∴DN:BN＝1:2,即BN＝2DN, 设OB＝OD＝x,则BD＝2x,BN＝OB＋ON＝x＋1,DN＝x－1, ∴x＋1＝2(x－1),解得x＝3, ∴BD＝2x＝6； (2)如图,△HOG为所作. 14. 解:(1)如图1所示,即为所求. (2), ,, , , 即, . 答:原树高为米. 教学反思 本节课以生活投影实例导入,紧扣2022新课标,突出概念抽象、性质归纳与动手作图,落实几何直观与空间观念素养。教学中重视位似本质特征提炼,规范作图步骤,强化正向与反向位似对比。但部分学生仍不能快速判断位似图形,作图时连线不共点、比例不准确,反向延长作图易遗漏。后续应增加图形辨析训练,简化概念理解难度；强化分步示范与同伴互查,设计分层作图任务,提升学生识图、辨位似、规范作图的能力,完善相似变换体系。 学科网（北京）股份有限公司 $