第十八章 分式 单元测试卷 (3) 2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 第十八章分式单元复习卷，100分钟120分，覆盖分式概念、运算、方程及应用，结合苏轼《赤壁赋》、疫情口罩等文化与生活情境，体现抽象能力、运算能力和模型意识的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式值为0条件、约分通分、科学记数法|结合文化素材（如苏轼诗句）考查概念辨析| |填空题|5/15|分式方程无解、新定义运算、平均速度|设计流程图计算，渗透逻辑推理| |解答题|8/75|分式化简、实际应用（工程/口罩问题）|设置分层任务，如“方程解法对比”“方案优化”，强化模型意识与应用能力|

第十八章分式测试卷 （时间：100分钟　分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．分式中，当x＝－a时，下列结论正确的是（　　）． A．分式值为0 B．分式无意义 C．若a≠，则分式的值为0 D．若a≠－，则分式的值为0 2．已知A÷＝，则A＝（　　）． A． B． C． D．x2－1 3．已知a为整数，且－÷为正整数，则所有符合条件的a的值的和为（　　）． A．0 B．12 C．10 D．8 4．下列约分正确的是（　　）． A． B． C． D． 5．将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（　　）． A．1－a B．1＋a C．－1－a D．－1＋a 6．一个数学接力游戏，由甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则如下:从甲开始，每人进行一步计算，再将结果传递给下一人，每位同学只能看到前一人给的式子，并由最后一位同学完成化简.某轮游戏的化简过程如图所示，接力中，在自己负责的环节出现错误的同学是（　　）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．下列各式计算正确的是（　　）． A． B． C． D． 8．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），▆表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（　　）． A． B． C． D． 9．“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”本句出自宋代诗人苏轼的《赤壁赋》，表达了人相对自然界的渺小．据测量，200粒粟的质量大约为1 g，用科学记数法表示1粒粟的质量约为（　　）． A． g B． g C． g D． g 10．某市需要生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，每加工一天需付甲厂货款1.5万元，需付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（　　）． A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若关于x的方程无解，则m的值为_____________． 12．定义运算“※”：a※b＝若5※x＝2，则x的值为_________． 13．俗话说：“洋芋（马铃薯）花开赛牡丹．”每年的七八月份，甘肃省定西市的马铃薯进入盛花期，层层梯田里，洁白如雪的马铃薯花与绿色茎叶、蓝天、黄土相互映衬，显得分外妖娆．每粒马铃薯花粉的质量约为0.000 045 mg，用科学记数法表示为_________． 14．按照如图所示的流程图，若输出的M=－1，则输入的m=_________． 15．一辆货车送货上山，并按原路下山，上山速度为a km/h，下山速度为b km/h，则货车上、下山的平均速度是_________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（6分）计算： （1）； （2）． 17．（8分）解下列方程： （1）； （2）． 18．（10分）在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用3 000元购进甲、乙两种不同型号的口罩共1 100个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的1.2倍． （1）求购进的甲、乙两种口罩的单价各是多少？ （2）若甲、乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过7 000元的资金再次购进甲、乙两种口罩共2 600个，求甲种口罩最多能购进多少个？ 19．（8分）已知a2＋b2＝(a＋b－c)2，且b2≠0，化简：． 20．（10分）某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000 m2的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A，B两种外墙漆各300 kg，购买外墙漆总费用为15 000元，已知A种外墙漆每千克的价格；比B种外墙漆每千克的价格多2元． （1）求A，B两种外墙漆每千克的价格各是多少元． （2）已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5 h.甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米? 21．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取和值时，分式的值为正？ 解：依题意，得＞0． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得该不等式组无解． 所以两不等式组的解集是． 所以当时，分式的值为正． 仿照以上方法解答问题： 当x取何值时，分式的值为负？ 22．（12分）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后整理的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2 000元购进甲种商品和用1 200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价－乙商品进价=20 （1）解法一所列方程中的x表示_________，解法二所列方程中的x表示_________．（填序号） ①甲种商品每件进价为x元； ②乙种商品每件进价为x元； ③甲种商品购进x件． （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． 23．（13分）学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下： 列分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路400 m与乙队修路600 m所用时间相等，乙队每天比甲队每天多修20 m，求甲队每天修路的长度. 聪聪：． 明明：． 根据以上信息，解答下列问题： （1）选择：聪聪同学所列方程中的x表示_________，明明同学所列方程中的y表示_________． A.甲队每天修路的长度 B.乙队每天修路的长度 C.甲队修路400 m所用的天数 （2）我喜欢_________列的方程，该方程的等量关系为______________． （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题. 参考答案 1．【答案】D 【解析】由题意得x＋a＝0且2x－1≠0时分式的值为0， 即若x＝－a且a≠－，则分式的值为0． 2．【答案】B 【解析】∵A÷＝， ∴A＝··＝． 3．【答案】C 【解析】－÷ ＝－÷ ＝－· ＝－ ＝． ∵a为整数，且分式的值为正整数， ∴a－3＝1或a－3＝3， 即a＝4或6， ∴所有符合条件的的值的和为4＋6＝10． 4．【答案】B 【解析】，故A选项不符合题意； ，故B选项符合题意； 是最简分式，不能约分，故C选项不符合题意； 是最简分式，不能约分，故D选项不符合题意． 故选B． 5．【答案】A 【解析】，故两式通分后，的分子变为1－a，故选A． 6．【答案】B 【解析】甲到乙：，故选项A不符合题意； 乙到丙：，故选项B不符合题意； 丙到丁：，故选项C不符合题意； 丁到结果：，故选项D不符合题意． 故选B． 7．【答案】C 【解析】A选项，原式； B选项，原式； C选项，原式； D选项，原式，所以只有C选项是正确的，故选C． 8．【答案】A 【解析】破损部分的式子为）． 故选A． 9．【答案】D 【解析】．故选D． 10．【答案】C 【解析】设甲厂单独完成此项任务需x天，则乙厂单独完成此项任务需(x＋5)天． 依题意，得，解得x=20． 经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意，所以x+5=25． 根据题意可知，只有方案①和③可选，这两种施工方案需要的费用为： 方案①：1.5×20=30(万元)； 方案③：1.5×4+1.1×20=28(万元)． 因为30＞28，所以方案③最节省费用．故选C． 11．【答案】－1或－ 【解析】去分母，得1＝mx＋x＋3， 即(m＋1)x＝－2． 由分式方程无解，得m＋1＝0或－＝－3， 解得m＝－1或－． 12．【答案】或10 【解析】当x＜5时，＝2，解得x＝， 经检验，x＝是原分式方程的解； 当x＞5时，＝2，解得x＝10， 经检验，x＝10是原分式方程的解． 综上所述，x的值为或10． 13．【答案】4.5×10-5 【解析】0.000 045=4.5×10-5． 14．【答案】－5 【解析】当时，，解得m=－5， 经检验，m=－5是原方程的解，并且满足． 当时，，解得m=2， 此时，与条件矛盾，故舍去． 故答案为－5． 15．【答案】 km/h 【解析】设单程的路程为x km． 所以上山的时间为 h，下山的时间为 h， 所以货车上、下山的平均速度是（km/h）． 16．【答案】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17．【答案】解：（1）方程两边乘， 得， 解得x＝3． 检验：当x＝3时，． 所以，原分式方程的解为x＝3． （2）方程两边乘， 得， 解得x＝－2． 检验：当x＝－2时，． 所以，原分式方程的解为x＝－2． 18．【答案】解：（1）3 000÷2＝1 500（元）． 设乙种口罩的单价为x元，则甲种口罩的单价为1.2x元． 由题意得＋＝1 100， 解得x＝2.5． 经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意． 当x＝2.5时，1.2x＝3． 答：甲种口罩的单价为3元，乙种口罩的单价为2.5元． （2）设该药店购进甲种口罩a个，则购进乙种口罩（2 600－a）个．　 由题意得3a＋2.5(2 600－a)≤7 000， 解得a≤1 000． 答：甲种口罩最多购进1 000只． 19．【答案】解：∵a2＋b2＝(a＋b－c)2， ∴a2＝(a＋b－c)2－b2＝(a＋b－c＋b)(a＋b－c－b)＝(a＋2b－c)(a－c)． 同理，b2＝(2a＋b－c)(b－c)． ∴ ＝ ＝ ＝ ＝． 20．【答案】解：（1）设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元． 根据题意，得 解得 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元． （2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m m2，则乙每小时粉刷外墙的面积是m m2． 根据题意，得， 解得m＝25． 经检验，m＝25是所列分式方程的解，且符合题意． 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25 m2． 21．【答案】解：依题意，得＜0． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得该不等式组无解． 所以两不等式组的解集是． 所以当时，分式的值为负． 22．【答案】解：（1）由甲商品数量=乙商品数量，可得种的x表示甲种商品每件进价为x元．由甲商品进价－乙商品进价=20，可得中的x表示甲种商品购进x件．故答案为①，③． （2）本题答案不唯一，合理即可．例如： 选择“解法一”，解题过程如下： ． 方程两边乘， 得． 整理，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以， 所以甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元． 23．【答案】解：（1）A　C （2）选第一个方程，解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意. 所以甲队每天修路的长度为40 m. 选第二个方程，解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意. 所以， 所以甲队每天修路的长度为40 m. 学科网（北京）股份有限公司 $