1.1 探究勾股定理 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册“探究勾股定理”同步练，聚焦新授课场景，通过三级分层设计实现从公式应用到综合实践的知识巩固，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|核心公式直接应用|选择题1-6、填空题11-12，如直角边3、4求斜边，夯实概念理解| |情境应用|实际问题建模求解|选择题3-9、解答题一，如“折竹抵地”“芦苇出水”，强化几何直观| |综合拓展|跨情境证明与实践|解答题二、三，如加菲尔德证法、四脚八叉凳制作，发展推理与创新意识|

· 1.1探究勾股定理 同步练习 · 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 2．如图，在中，，中线，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 3．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 4．中，斜边，则的值是（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知的三边分别为a，b，c，若斜边，则的值是（   ） A．5 B． C．15 D．25 7．如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（    ） A．40m B．45m C．30m D．35m 8．如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（    ）尺． A．6 B．5 C．13 D．12 9．如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 10．如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（   ） A．8 B．14 C．16 D．18 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，那么第三条斜边的长是 _________ 12．如图，在中，，．若，，则_________． 13．如图，在四边形草坪中，．若，，，则这块草坪的面积为________． 14．如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是______． 15．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是__________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离． 17．如图，从电线杆离地面处向地面拉一条长的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？ 18．勾股定理是证明方法最多的数学定理之一． 如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 20．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 21．假日里，淇淇一家在广场放风筝．如图，测得放飞点与风筝的水平距离为，根据手中余线的长度，计算出的长度为，牵风筝线的手到地面的距离为，点A、B、C、D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)若想要让风筝沿射线方向再上升，还需放线多少米． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．如图1，点B在线段CE上，，垂足分别为C、E，且，连接AB、BF、AF，解答下列问题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，较短的一条底边叫上底，较长的一条底边叫下底，另外两边叫腰，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高．梯形的面积公式为：．若，且四边形ACEF为梯形．请通过求梯形ACEF面积不同的计算方法验证：在中，两直角边a、b和斜边c满足． (3)利用（2）中验证的结论解答下列问题： ①若两条直角边长分别为3、4，则斜边的长为_______； ②如图2，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两棵树水平相距8米，一只鸟从矮树的树梢飞到另一棵数的最短距离是________米． 23．【项目介绍】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④． 【驱动任务二】如图⑤，若A、B、C在同一条直线上，且与地面垂直．小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移多少时可将凳高调整为？ 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和，则成品桌子的高度为多少？ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B B D C C C A 11．13cm 12． 13．234 14．36 15．3 16． 【分析】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴AB= 答：A，B两点间的距离是． 17． 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴在中，； ∴BC= 答：这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有远． 18．见解析 【分析】利用梯形的面积进行证明即可． 【详解】证明：根据梯形的面积可得，， 整理得， ∴． 19．(1)； (2)点B到斜边的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质． （1）根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：点B到斜边的距离为， ∵， ∴， 答：点B到斜边的距离为． 20．(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 21．(1) (2) 【分析】（1）过点作构造矩形和，先用勾股定理求出，再加上的长度得到风筝离地面的垂直高度； （2）先算出风筝上升后到的垂直距离，再用勾股定理求出新的风筝线长，最后减去原线长得到还需放线的长度． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴风筝离地面的垂直高度为； （2）解：如图2，延长至点，连接， 则， 在中， ， ∵， ∴还需放线． 22．(1)△ABF为等腰直角三角形，证明见详解 (2)见详解 (3)①5；② 【分析】（1）先证△ACB≌△BEF（SAS），得出AB=BF，∠CAB=∠EBF，再证∠ABF=180°-∠ABC-∠EBF=90°即可； （2）根据△ACB≌△BEF，得出AC=BE=b，CB=EF=a，AB=BF=c，CE=CB+BE=a+b，利用两种方法求梯形ACEF面积整理即可； （3）①直接利用勾股定理计算即可； ②构造直角三角形，然后利用勾股定理计算即可 【详解】（1）解：△ABF为等腰直角三角形， 理由如下： ∵ ∴∠ACB=∠BEF=90°， 在△ACB和△BEF中， ∴△ACB≌△BEF（SAS）， ∴AB=BF，∠CAB=∠EBF， ∵∠CAB+∠ABC=90°， ∴∠ABC+∠EBF=∠ABC+∠CAB=90°， ∴∠ABF=180°-∠ABC-∠EBF=90°， ∴△ABF为等腰直角三角形； （2）解∵△ACB≌△BEF ∴AC=BE=b，CB=EF=a，AB=BF=c， ∴CE=CB+BE=a+b， ∴S梯形ACEF=， 即， ∴， ∴， ∴ （3）①两条直角边长分别为3、4，斜边c的长=， 故答案为5； ②解高树用AB表示，矮树用CD表示，连结AD，过D作DE⊥AB于E， ∵AB⊥BC，DC⊥BC，DE⊥AB， ∴∠EBC=∠BCD=∠DEB=90°， ∴四边形BCDE为矩形， ∴BE=CD， ∵AB=12米，CD=5米，AD=8米， ∴AE=AB-BE=12-5=7米， 根据勾股定理DE=米． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，两用面积法证明勾股定理，完全平方公式，勾股定理应用，掌握等腰直角三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，两用面积法证明勾股定理，完全平方公式，勾股定理应用是解题关键． 23．驱动任务二：8cm；驱动任务三：80cm 【分析】本题考查勾股定理的应用． 驱动任务二：根据题意先根据勾股定理求出长和重新调整打孔位置后榫眼离B点距离然后求差即可解题； 驱动任务三：利用列出方程解题即可． 【详解】解：驱动任务二：， 重新调整打孔位置后榫眼离B点距离为， ∴将榫眼外移距离为：； 驱动任务三：∵正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和， ∴， ∴， 解得． ∴成品桌子的高度为． 答案第6页，共7页 答案第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $