1.1 探索勾股定理 同步练习-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 练习以勾股定理为核心，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖概念理解、变式应用到综合探究，梯度递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理基本计算（如已知两边求第三边）|直接应用题型，培养运算能力，如选择2、填空1| |提升层|面积关系变式（如正方形、半圆面积）、简单应用|图形转化题型，发展几何直观，如选择5、填空3| |综合层|定理证明（赵爽弦图）、实际问题（如树折断、秋千）|跨情境探究题型，强化推理意识与模型观念，如解答1、5|

1.1 探索勾股定理 一．选择题 1．以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则A为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AC，BC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，若S1＝8，S2＝2，则AB的长为（　　） A． B．6 C． D． 4．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D． 5．如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形、半圆、正三角形、直角三角形，不一定存在S1+S2＝S3的面积关系的是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF的值是（　　） A．8 B． C．16 D．18 7．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．60 C．120 D．128 9．在北京召开的第24届国际数学家大会会标（图1）以“赵爽弦图”为原型设计，图2是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，M是BC的中点，连接EM，则EM的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A．10m B．15m C．18m D．20m 二．填空题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积．若S1＝6，S3＝10，则S2的值为　 　 ． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝5，则点D到AB的距离为　 　 ． 3．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝88，大正方形的面积为576，则小正方形的边长为　 　 ． 4．如图，在三角形支架中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2m，AC＝1.5m，DC＝0.9m，则BD的长为　 　 m． 5．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？” 题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长 　 　 尺． 三．解答题 1．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． 【问题解决】 （1）如图1，Rt△ABE≌Rt△DEC，∠A＝∠D＝90°，直角边分别为a，b，斜边为c，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）如图2，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3，求阴影部分的面积． 【知识应用】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，使CH⊥AB，现测得CA＝1.3千米，AB＝1.4千米，BC＝1.5千米，则新修路CH的长为　 　 千米． 2．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． （1）用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：　 　 ；用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：　 　 ； （2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理a2+b2＝c2． 3．如图，学校操场边有一盏垂直于水平地面的路灯AB，路灯旁有一斜坡BC，斜坡与水平地面的夹角∠CBD＝30°．数学延时课上，实践小组的小创同学带领组员一起来测量路灯AB的高度．他们的方案如下：①小智同学站在斜坡最高处点C处，用一根足够长的绳子，把绳子一端打结向路灯的顶端扔去，使得绳子打结处刚好挂在路灯顶端A处；②小研同学把绳子拉直，在绳子上的点B处做标记，再把绳子拉向斜坡最高点C处，发现AB＝AC；③小九同学测量发现，斜坡最高点C处到地面的距离CD为3米，求路灯的高度AB． 4．如图，有一架秋千．当它静止在AD所处的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.5m．将秋千AD（始终保持拉直的状态）往前推送至AB位置，此时，推送的水平距离CB为3m，秋千踏板离地的垂直高度BF为1.5m． （1）求CD的长度； （2）求秋千AD的长度． 5．如图，某试验基地有一块四边形试验田ABCD，基地管理处计划修一条A到C的小路，经测量，∠D＝90°，AD＝7m，DC＝24m，AB＝20m，CB＝15m． （1）求这块试验田ABCD的面积； （2）基地现计划在AB上建立一个观测点E，要求点E在AC的垂直平分线上，请你计算出点E到点B的距离． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：如图， 由题意得：BC2＝8，∠CBD＝90°，CD2＝14， 由勾股定理得：BD2＝CD2﹣BC2＝14﹣8＝6， 即A的值为6， 故选：C． 2．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB， 故选：A． 3．【解答】解：根据题意可知：，， ∴， 故选：D． 4．【解答】解：由题意得：S阴影AC2BC2AB2（AB2+AC2+BC2）， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2＝（）2＝3， ∴AB2+AC2+BC2＝6， ∴S阴影6＝3． 故选：C． 5．【解答】解：设直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c， ∴a2+b2＝c2， 选项A中，S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2， ∴S1+S2＝S3， 故A选项正确，不符合题意； 选项B中，S1＝π×（）2，S2＝π×（）2，S3＝π×（）2， ∵S1+S2（a2+b2），S3，a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3， 故B选项正确，不符合题意； 选项C中，S1b2，S2a2，S3c2， ∵S1+S2（a2+b2），S3c2，a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3， 故C选项正确，不符合题意； 选项D中，设S1斜边上的高为h1，S2斜边上的高为h2，S3斜边上的高为h3， ∴S1ah1，S2bh2，S3ch3， ∴不一定存在S1+S2＝S3的面积关系， ∴D选项符合题意， 故选：D． 6．【解答】解：由题意得：四边形EMFN为正方形，边长为：13﹣5＝8， ∴∠EMF＝90°，EM＝MF＝8， ∴EF8， 故选：B． 7．【解答】解：A、∵边长为a正方形的面积+边长为b正方形的面积+2个长为a，宽为b的长方形的面积＝大正方形的面积， ∴a2+b2+2ab＝（a+b）2，不能用来证明勾股定理； B、∵三个直角三角形的面积和＝梯形的面积， ∴，整理得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理； C、∵四个直角三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积， ∴，整理得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理； D、∵四个直角三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积， ∴，整理得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理． 故选：A． 8．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2， ∴，且a、b均大于0， 解得ab＝120， ∴每个直角三角形的面积为ab120＝60， 故选：B． 9．【解答】解：∵大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4， ∴设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a2+b2＝100，（a﹣b）2＝4， ∴a2﹣2ab+b2＝4，a﹣b＝2（负值已舍去）， ∴2ab＝a2+b2﹣4＝96， ∴a2+2ab+b2＝100+96＝196， ∴（a+b）2＝196， 解得：a+b＝14（负值已舍去）， ∵a﹣b＝2， ∴a＝8，b＝6， 如图，M为BC的中点，∠BFC＝90°，连接FM，过M作MQ⊥BF于Q， ∴， ∵， ∴QM＝3， 在直角三角形BMQ中，由勾股定理得：， ∴EQ＝6﹣4＝2， 在直角三角形EMQ中，由勾股定理得：， 故选：A． 10．【解答】解：∵52+122＝169， ∴13， ∴13+5＝18（米）． ∴树折断之前有18米． 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 以三边向外作正方形， 面积分别为S1、S2、S3． 根据图形与题意， S1对应直角边BC的平方，S1＝BC2， S3对应直角边AC的平方：， S2对应斜边AB的平方：， 由勾股定理：AB2＝AC2+BC2， 代入面积表达式得：S2＝S1+S3， 已知S1＝6，S3＝10， 因此：S2＝6+10＝16． 故答案为：16． 2．【解答】解：作DF⊥AB于点F， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥AC于点C， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，CD⊥AC于点C， ∴DF＝CD＝5， ∴点D到AB的距离为5， 故答案为：5． 3．【解答】解：由题意得：大正方形的面积＝大正方形的边长2＝a2+b2，小正方形的边长为a﹣b， ∵大正方形的面积为576， ∴a2+b2＝576， ∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，ab＝88， ∴（b﹣a）2＝576﹣2×88＝400， ∴a﹣b＝20（取正值）， ∴小正方形的边长为20， 故答案为：20． 4．【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，AC＝1.5m，DC＝0.9m， ∴AD1.2（m）， 在Rt△ADB中，AB＝2m，AD＝1.2m， ∴BC1.6（m）， ∴BD的长为1.6m， 故答案为：1.6． 5．【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺， 在Rt△CAB′中， AC2+B′C2＝AB′2， 即x2+52＝（x+1）2． 解得：x＝12． ∴x+1＝13． 故芦苇长13尺． 故答案为：13． 三．解答题 1．【解答】（1）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DEC， ∴∠AEB＝∠DCE， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴∠DEC+∠DCE＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°，即∠BEC＝90°， ∴， 梯形ABCD的面积为， ∴，即a2+b2＝c2． （2）解：∵AD⊥CD，AD＝4，CD＝3， 由勾股定理可得， ∵AB＝13，BC＝12， 满足AC2+BC2＝AB2，即∠ACB＝90°， ∴阴影部分的面积为． （3）解：设AH＝x千米，则BH＝（1.4﹣x）千米， ∵CH⊥AB，即∠CHA＝∠CHB＝90°， 在Rt△AHC中，CH2＝AC2﹣AH2， 在Rt△BHC中，CH2＝BC2﹣BH2， ∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2，即1.32﹣x2＝1.52﹣（1.4﹣x）2， 整理可得2.8x＝1.4， 解得x＝0.5， ∴AH＝0.5千米， ∴（千米）， 则新修路CH的长为1.2千米． 故答案为：1.2． 2．【解答】解：（1），即图1的大正方形的面积为2ab+c2； ，即图2的大正方形的面积为a2+b2+2ab， 故答案为：a2+b2+2ab；2ab+c2； （2）由题图可知，两个大正方形的边长都是a+b， ∴两个大正方形的面积相等， ∴a2+b2+2ab＝2ab+c2， 化简可得a2+b2＝c2． 3．【解答】解：∵AB⊥BD，∠CBD＝30°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵CD⊥BD， ∴在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝3， ∴BC＝2CD＝6， ∴AB＝6， 答：路灯的高度AB是6米． 4．【解答】解：（1）根据题意得AB＝AD，四边形BFEC是矩形． ∴CE＝BF＝1.5m， ∵DE＝0.5m， ∴CD＝CE﹣DE＝1.5﹣0.5＝1（m）． （2）在Rt△ACB中，BC＝3m，CD＝1m， 设秋千的长度为xm，则AC＝（x﹣1）m， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，则x2＝32+（x﹣1）2， 解得：x＝5， 答：秋千AD的长度是5m． 5．【解答】解：（1）∵DC＝24m，∠D＝90°，AD＝7m， ∴， 又∵AB＝20m，CB＝15m， 152+202＝625＝252， ∴BC2+AB2＝AC2， 即AB⊥BC， ， 答：这块试验田ABCD的面积为234m2； （2）连接CE， ∵E在AC的垂直平分线上， ∴AE＝CE， 设BE＝x，则AE＝CE＝20﹣x， 由（1）知AB⊥BC， ∴BE2+BC2＝CE2， 即x2+152＝（20﹣x）2， 225＝4000﹣40x， 解得， 答：点E到点B的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $