1.7 位似第1课时 课件 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“位似”第1课时，核心内容包括位似图形、位似中心、位似比的概念、性质及作图方法。课堂导入通过手电筒投影三角形的生活情境，从相似图形自然过渡到位似，以问题链引导学生发现对应点共线、对应线段平行等特征，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如小熊图案投影）发展几何直观（数学眼光），通过测量计算、推理证明等探究活动培养逻辑推理（数学思维），作图步骤“定中心—连关键点—按比例取点—顺次连线”规范数学表达（数学语言）。知识梳理系统，帮助学生提升空间想象与作图能力，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

1.7位似第1课时 第一章 图形的相似 初中数学 1 学习目标 掌握以定点为位似中心将图形放大或缩小的作图方法,规范完成位似作图,提升几何作图与空间想象能力。 02 理解位似图形、位似中心、位似比的概念,能识别位似图形并找出位似中心,掌握位似图形的基本性质。 01 经历从生活实例到数学概念的抽象过程,发展几何直观、数学抽象与逻辑推理素养。 03 理解位似是特殊的相似,体会图形变换的内在联系,感受数学与生活的紧密联系。 04 2 情景问题 情境：如图,夜晚,手电筒照射一张小三角形纸片,在墙上投射出一个大三角形影子。 问题：1.小三角形与墙上大三角形是什么关系？ 2.光源、纸片上顶点、墙上对应顶点有什么位置特点？ 3.对应线段之间有怎样的位置关系？ 3 情景问题 1.两个三角形相似。 2.光源、纸片顶点、墙上对应顶点三点在同一条直线上。 3.对应线段互相平行。 4 探究新知 探究一：位似的相关概念 我们知道,把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相似.如何把一个图形放大或缩小？下面我们来学习一种简单可行的方法. 观察:图是把幻灯片上的一只小熊图案放映到屏幕上的示意图(点表示光源).幻灯片与屏幕上的两个小熊图案之间有什么关系？ 5 探究新知 探究一：位似的相关概念 在图中的左边小熊的头顶上和尾巴尖上分别取点,右边小熊的头顶上和尾巴尖上的分别为点和点的对应点.此时我们会发现点与点在一条直线上,点与点也在一条直线上. 分别量出线段的长度(精确到),计算: , , 6 探究新知 探究一：位似的相关概念 思考:在左、右两只小熊上找出一些对应点,发现每一对对应点连线有什么关系？ 继续在左、右两只小熊上找出一些对应点,发现每一对对应点都与点O在一条直线上,且每一对对应点与点O所连线段的比与的值相等. 7 探究新知 探究一：位似的相关概念 抽象:从上面的例子受到启发,可以引出下述概念: 取定一个点,把一个图形上每一个点P对应到射线(或射线OP的反向延长线)上的点,使得,其中k是非零常数,当时,点在射线上,当时,点在射线的反向延长线上.特别地,点对应到它自身.我们把图形的这种变换称为位似,把这个图形与它在位似下的像称为位似图形,这个点叫作位似中心,常数叫作位似比. 在图中,幻灯片与屏幕上的两个小熊图案是位似图形. 8 探究新知 方法总结： 1.核心判定:对应点连线交于一点、对应线段平行(或共线)的相似图形是位似图形。 2.三要素:位似中心、位似图形、位似比,位似是特殊的相似。 3.概念辨析:相似不一定位似,位似一定相似。 9 探究新知 探究二：位似的性质 解:因为, 所以. 于是,. . 思考:在图1.7-1中,连接,可以抽象出图,则吗？吗？ 10 探究新知 总结归纳： 由此受到启发,可得如下命题:若两个图形是位似图形,则这两个图形不仅相似,而且对应点的连线相交于一点,对应线段平行(或在同一条直线上). 11 探究新知 方法总结： 1.位似图形一定相似,相似比等于位似比的绝对值。 2.对应点连线经过位似中心,对应线段互相平行(或在同一直线上)。 3.周长比等于位似比,面积比等于位似比的平方。 12 探究新知 探究三：画位似图形 由位似的定义可知,利用位似可以把一个图形进行放大或缩小. 思考:如何把放大为原来的倍？ 方法一:如图在三角形外任意取一点O,连接; 分别在线段的延长线上取点使得; 依次连接点,则所得到的就是所要求的图形. 13 探究新知 探究三：画位似图形 由位似的定义可知,利用位似可以把一个图形进行放大或缩小. 思考:如何把放大为原来的倍？ 方法2:如图,我们还可以在三角形外任意取一点,连接;分别在线段的反向延长线上取点,使得;依次连接点,则所得到的就是所要求的图形. 14 探究新知 探究三：画位似图形 做一做:(1)已知外一点,以点为位似中心,将缩小为原图形的； (2)若点在内部,以点为位似中心,分别将缩小为原图形的、放大为原图形的倍. 解:(1)解:如图:为缩小后的图形。 15 探究新知 探究三：画位似图形 做一做:(1)已知外一点,以点为位似中心,将缩小为原图形的； (2)若点在内部,以点为位似中心,分别将缩小为原图形的、放大为原图形的倍. 解:(2)如图:为缩小为后的图形。 16 探究新知 探究三：画位似图形 做一做:(1)已知外一点,以点为位似中心,将缩小为原图形的； (2)若点在内部,以点为位似中心,分别将缩小为原图形的、放大为原图形的倍. 解:(2)如图,为放大2倍后的图形: 17 探究新知 方法总结： 1.作图四步:定中心→连关键点→按比例取点→顺次连线。 2.两种画法:在位似中心同侧放大(缩小)、两侧反向放大(缩小)。 3.关键注意:对应点连线必过位似中心,比例要准确。 18 课堂练习 1.已知,下列图形中,与不存在位似关系的是(　) 2.如图,已知,则下列关于与的说法中不正确的是(　) A.两个三角形是位似图形 B.点是两个三角形的位似中心 C.是位似比 D.点与点,点与点是对应位似点 3.如图,六边形与六边形是位似图形,为位似中心,且,则=(　) A.2:3　　　　B.3:2　　　　C.1:2　　　　D.2:1 D D D 19 课堂练习 4.如图,图形甲与图形乙是位似图形,是位似中心,位似比为,点的对应点分别为点.若,则的长为(　) A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10 5.如图,以点为位似中心,把的各边放大为原图形的2倍得到以下说法中错误的是(　　) A. B.点、点、点在同一直线上 C. D. 6.如图,直角梯形是由直角梯形经过位似变换得到的,点是位似中心,若这两个直角梯形的周长比为,,则=　　　. D C 2 20 课堂练习 7.如图,五边形与五边形是位似图形,为位似中心,若的面积为,的面积为,则五边形与五边形的面积比为　　　　. 五边形与五边形是位似图形,为位似中心, ∴AE∥A'E',=,∴△OAE∽△OA'E', ∴===,∴==. 21 课堂练习 解:画出两对对应点的连线,找出它们的交点,即位似中心. 如图,、即为所求的位似中心. 8.画出下列图形的位似中心. 22 课堂练习 9.如图,在网格中,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,四边形的顶点均在格点上. (1)请以点为位似中心,在网格图中作出四边形,使四边形与四边形位似,且; (2)填空:线段的长为　　　　,的面积为　　　　. 解:(1)如图,四边形即为所求. (2), . 23 课堂小结 知识点： 1.位似是特殊的相似,满足相似的一切性质。 2.位似图形的对应点连线相交于同一点,这个点叫位似中心。 3.位似图形的对应线段互相平行(或在同一直线上)。 4.位似比是对应点到位似中心的距离之比,等于相似比。 5.周长比=位似比；面积比=位似比²。 6.画位似图形:确定中心、连接关键点、按位似比确定新点、依次连线。 7.位似中心可在图形内部、外部、边上、顶点上。 知识梳理 24 课后提升 1.如图,图形甲与图形乙是位似图形,是位似中心,位似比为,点的对应点分别为点′.若,则的长为( ) A.8 B.9 C.10 D.15 2.如图,矩形中,对角线相交于点,点分别是的中点,连接,则下列说法不正确的是( ) A.△OEF和△OAB是位似图形 B.△OEH和△OFG是位似图形 C.△EFH和△ABD是位似图形 D.△OHG和△OGF是位似图形 基础作业： B D 25 课后提升 基础作业： 1:2 3.如图,BC∥ED,下列说法不正确的是( ) A.两个三角形是位似图形 B.点A是两个三角形的位似中心 C.点B与点D、点C与点E是对应位似点 D.AC:AB是位似比 4.如图,与是以点为位似中心的位似图形,点在上,分别是的中线,则的值为___. D 26 课后提升 基础作业： 5.如图,相交于点P,连接. (1)求证:； (2)直接回答与是不是位似图形？ (3)若,求的长. 解:(1), ； 27 课后提升 (2)与不是位似图形,因为它们的对应边不平行,对应点的连线不交于一点； (3), ,又,, ,即, 解得. 28 课后提升 6.下列各组图形中的两个三角形均满足,这两个三角形不是位似图形的是( ) 7.如图所示是位似图形的几种画法,其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 能力提升： B C 29 课后提升 提升作业： 9:4 6 8.在如图所示的网格中,以点为位似中心,四边形的位似图形是( ) A.四边形 B.四边形 C.四边形 D.四边形NHMR 9.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且BC:EF＝3:2, 则S△ABC:S△DEF＝____. 10.如图,在平行四边形ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF 分别交AC,CD于点P,E,则图中的位似三角形共有____对. A 30 课后提升 解:(1)△ACC′与△ABB′的位似比为:CC′:BB′＝2:1；它们的位似中心是A； (2)△AEE′是△ABB′的位似图形, 位似比为:EE′:BB′＝4:1； (3)如果位似比为3,那么△ABB′的位似图形是△ADD′. 11.如图,△ACC′是由△ABB′经过位似变换得到的 (1)求出△ACC′与△ABB′的位似比,并指出它们的位似中心； (2)△AEE′是△ABB′的位似图形吗？如果是,求位似比； 如果不是说明理由； (3)如果位似比为3,那么△ABB′的位似图形是什么？ 31 课后提升 12.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且位似比是1:2,若AB＝2cm,求A′B′的长度,并在图中画出位似中心O. 解:∵△ABC与△A′B′C′是位似图形,∴△ABC∽△A′B′C′, ∵位似比是1:2,∴AB:A′B′＝1:2, ∵AB＝2cm,∴A′B′＝4cm. 位似中心如图,点O即为所求. 32 课后提升 拓展作业： 13.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M为AD的中点,连接CM交BD于点N,且ON＝1. (1)求BD的长； (2)在直线AC的同侧,以点O为位似中心,作出△CON的位似三角形,并使△CON与和它位似的三角形的位似比是1:2.(不写作法,保留作图痕迹). 33 课后提升 拓展作业： 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD＝BC,OB＝OD, ∴DM∥BC,∴△MND∽△CNB, ∴MD:BC＝DN:BN, ∵M为AD的中点,∴MD:BC＝1:2, ∴DN:BN＝1:2,即BN＝2DN, 设OB＝OD＝x,则BD＝2x,BN＝OB＋ON＝x＋1,DN＝x－1, ∴x＋1＝2(x－1),解得x＝3, ∴BD＝2x＝6； (2)如图,△HOG为所作. 34 课后提升 拓展作业： 14.如图1,在6×8的网格图中,每个小正方形边长均为1m,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点. (1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为1:2； (2)台风过后,一片狼藉,如图2,小明测量发现,一棵被吹倾斜了的树影长为3m,与地面的夹角为45°,同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似(树干对应BC边),求原树高.(结果保留根号) 35 课后提升 解:(1)如图1所示,即为所求. (2), ,, , , 即, . 答:原树高为米. 36 $