第二章 章末过关检测卷(二)　直线和圆的方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

章末过关检测卷(二)　直线和圆的方程 (用时：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是(　　 ) A．x－y＋＋1＝0 B．x＋y＋－1＝0 C．x－3y＋＋3＝0 D．x＋3y＋－3＝0 解析：选B.因为k1＝tan α＝，α＝60°，所以k＝tan 120°＝－，所以直线l的方程是y－1＝－(x＋1)，即x＋y＋－1＝0. 2．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　 ) A．点 B．直线 C．线段 D．圆 解析：选D.∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆． 3．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－b)，由于圆心位于第三象限，所以a<0，b>0.直线方程x＋ay＋b＝0可化为y＝－x－.因为－>0，－>0，所以直线不经过第四象限． 4．顺次连接点A(－4，3)，B(2，5)，C(3，2)，D(－3，0)所构成的图形是(　　 ) A．矩形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 解析：选A.因为A(－4，3)，B(2，5)，C(3，2)，D(－3，0)， 所以kAB＝＝，kBC＝＝－3，kCD＝＝，kAD＝＝－3， 所以kAB＝kCD，kBC＝kAD， 所以四边形ABCD是平行四边形． 又kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC， 所以四边形ABCD是矩形． 5．已知直线l过点P(1，0)且与线段y＝2(－2≤x≤2)有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－]∪[2，＋∞) B．[－，2] C．(－∞，－)∪(2，＋∞) D．(－，2) 解析：选A.如图，kPB＝＝2，kPA＝＝－， 由于直线l与线段y＝2(－2≤x≤2)有交点，故k≥2或k≤－. 6．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　 ) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 解析：选D.由题意设圆心坐标为C(a，0)(a>0). 因为圆C与直线3x＋4y＋4＝0相切，圆C的半径为2，所以＝2， 解得a＝2，所以圆心为C(2，0)， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0. 7．已知圆的方程为x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的最短弦长为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.圆的一般方程化为标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为C(3，0)，半径为r＝3， 由(1－3)2＋22＝8<9，故点A(1，2)在圆(x－3)2＋y2＝9内， 则过点A(1，2)的直线l与圆相交，交点设为B，D， 易知当l⊥AC时，直线l被圆截得的弦长最小，此时圆心C到直线的距离为d＝|AC|＝＝2， 所以|BD|＝2＝2，所以最短弦长为2. 8．已知直线kx－y＋2k＝0与直线x＋ky－2＝0相交于点P，点A(4，0)，O为坐标原点，则tan ∠OAP的最大值为(　　 ) A．2－ B． C．1 D． 解析：选B.直线kx－y＋2k＝0恒过定点M(－2，0)，直线x＋ky－2＝0恒过定点N(2，0)， 而k·1＋(－1)·k＝0，即直线kx－y＋2k＝0与直线x＋ky－2＝0垂直，当P与N不重合时，PM⊥PN，·＝0， 当P与N重合时，·＝0，令点P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，于是得x2＋y2＝4，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆(除点M外)，如图， 观察图形知，射线AP绕点A旋转∠OAP∈，当旋转到与圆O：x2＋y2＝4相切时，∠OAP最大，tan ∠OAP最大，因为|OA|＝4，AP′为切线，点P′为切点，|OP′|＝2，∠OP′A＝90°，则∠OAP′＝30°，所以∠OAP最大值为30°，(tan ∠OAP)max＝tan 30°＝. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是(　　 ) A．直线l过定点(0，1) B．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 C．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 解析：选AB.验证可知选项A，B正确；对于选项C，若直线l与直线x－y＝0平行，则有a＝0或a＝－1，所以选项C错误；当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距分别是－1和1，所以选项D错误． 10．在平面直角坐标系xOy中，关于曲线C：x2＋y2－2mx＋2y＋2m＝0的说法正确的有(　　 ) A．若m＝0，则曲线C表示一个圆 B．若m＝1，则曲线C表示两条直线 C．若m＝2，则过点(1，1)与曲线C相切的直线有两条 D．若m＝2，则直线x＋y＝0被曲线C截得的弦长等于2 解析：选AC.对于A，当m＝0，则曲线C：x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，表示圆心为(0，－1)，半径为1的圆，故A正确； 对于B，当m＝1，则曲线C：x2＋y2－2x＋2y＋2＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝0，表示点(1，－1)，故B错误； 对于C，当m＝2，则曲线C：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1，表示圆心为C(2，－1)，半径为1的圆， 因为(1－2)2＋(1＋1)2＝5>1，所以点(1，1)在圆外，则过点(1，1)与曲线C相切的直线有两条，故C正确； 对于D，圆心C到直线x＋y＝0的距离d＝＝，所以直线与圆相交所得弦长l＝2＝，故D错误． 11．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则(　　 ) A．直线l与圆C的位置关系无法判定 B．当k＝1时，圆C上的点到直线l的最大距离为＋2 C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0 D．若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆 解析：选BCD.由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆心C的坐标为(3，4)，半径为2. 由直线l的方程可得y－3＝k(x－4)，则直线l恒过定点(4，3)，易得此点在圆C内，故直线l与圆C相交，故A错误； 当k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0，设圆心C(3，4)到直线l的距离为d，则d＝＝，所以圆C上的点到直线l的最大距离为＋2，故B正确； 当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C(3，4)到直线l的距离为1，由＝1，得k＝0，故C正确； 设直线l恒过的定点为A，MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知两点A(－1，2)，B(1，0)，则直线AB在y轴上的截距b＝________． 解析：由两点A(－1，2)，B(1，0)，得直线AB的斜率k＝＝－1，其方程为y＝－(x－1)，变形可得y＝－x＋1，所以直线AB在y轴上的截距b＝1. 答案：1 13．“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，△ABC的三条边长分别为|BC|＝a，|AC|＝b，|AB|＝c.延长线段CA至点A1，使得|AA1|＝a，延长线段AC至点C2，使得|CC2|＝c，以此类推得到点A2，B1，C1，B2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝12，b＝5，c＝13，则由△ABC生成的康威圆的半径为________． 解析：因为|CC1|＝|CC2|，|CA1|＝|CB2|， 所以康威圆的圆心在∠ACB的平分线上， 同理可知康威圆的圆心在∠ABC的平分线上，即康威圆的圆心为△ABC的内心． 因为a＝12，b＝5，c＝13，满足a2＋b2＝c2， 所以∠ACB＝90°， 所以△ABC的内切圆的半径r＝＝2， 所以，康威圆的半径R＝＝. 答案： 14．已知直线y＝2x＋b与曲线y＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是________． 解析：由曲线y＝得x2－2x＋y2＝0，y≥0，所以该曲线表示以(1，0)为圆心，1为半径的上半圆，则直线与曲线如图所示． 由图可知，当直线y＝2x＋b位于l1，l2之间时，直线与曲线只有一个公共点，当直线y＝2x＋b为l3，即与曲线相切时也只有一个公共点， 直线与圆相切，则圆心(1，0)到直线的距离等于半径长，即＝1，解得b＝－2±.由图可知，当直线y＝2x＋b为l3时，b＝－2＋；当直线y＝2x＋b为l1时，直线经过点(2，0)，代入可得b＝－4；当直线y＝2x＋b为l2时，直线经过点(0，0)，代入可得b＝0， 所以b∈[－4，0)∪{－2}． 答案：[－4，0)∪{－2} 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知直线l经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，直线l3：2x－y－1＝0. (1)若l∥l3，求l的直线方程； (2)若l⊥l3，求l的直线方程． 解：(1)由得 所以l1与l2的交点为(1，3). 设与直线2x－y－1＝0平行的直线为2x－y＋c＝0， 则2－3＋c＝0，所以c＝1. 所以所求直线l的方程为2x－y＋1＝0. (2)设与直线2x－y－1＝0垂直的直线为x＋2y＋d＝0， 则1＋2×3＋d＝0，解得d＝－7. 所以所求直线l的方程为x＋2y－7＝0. 16．(15分)已知圆心为M的圆经过A(0，4)，B(2，0)，C(3，1)三个点． (1)求△ABC的面积； (2)求圆M的方程． 解：(1)由A(0，4)，B(2，0)得直线AB的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0. 则点C到直线AB的距离d＝＝， A(0，4)，B(2，0)，则|AB|＝＝2， 则△ABC的面积为S＝|AB|·d＝×2×＝3，即△ABC的面积为3. (2)根据题意，A(0，4)，B(2，0)，C(3，1)， 得kAC＝＝－1，kBC＝＝1，则kAC·kBC＝－1，故直线AC与BC垂直，则△ABC为直角三角形，故圆心M为边AB的中点，即M(1，2)， 半径r＝|AB|＝×2＝，故圆M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 17．(15分)已知直线l过点P(1，－1)，且___________________． 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答． ①与圆(x＋1)2＋y2＝5相切；②倾斜角的余弦值为；③直线l的一个方向向量为a＝(－2，－4). (1)求直线l的一般式方程； (2)若直线l与曲线C：x2＋y2－6x－2y＋6＝0相交于M，N两点，求弦长|MN|. 解：(1)若选①：因为(1＋1)2＋(－1)2＝5，故点P在圆(x＋1)2＋y2＝5上， 且圆心(－1，0)与P连线的斜率为＝－， 因为直线l与圆(x＋1)2＋y2＝5相切，所以直线l的斜率为2； 所以直线l的一般式方程为2x－y－3＝0. 若选②：设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)， 由cos α＝得tan α＝2； 故直线l的斜率k＝tan α＝2； 所以直线l的一般式方程为2x－y－3＝0. 若选③：因为直线l的一个方向向量为a＝(－2，－4)， 所以l的斜率k＝＝2； 所以直线l的一般式方程为2x－y－3＝0. (2)曲线C：x2＋y2－6x－2y＋6＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝4； 故曲线C为圆，圆心为C(3，1)，半径为r＝2； 则圆心C到直线l的距离为d＝＝； 所以弦长|MN|＝2＝. 18．(17分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2 997 m，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统．如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为4 m，高4 m．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由．(参考数据：≈3.74) 解：如图，建立平面直角坐标系，设圆心M(0，m)，A，B(0，4)， 由|MA|＝|MB|得，m＝－， 则圆的方程为x2＋＝， 所以当x＝2.5时，y＝－≈3.24<3.5(y的负值舍去). 即一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道． 19．(17分)已知两个定点A(－4，0)，B(－1，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx－4. (1)求曲线E的方程； (2)若直线l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD＝90°(O为坐标原点)，求直线l的斜率； (3)若k＝，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得＝2，平方可得x2＋y2＋8x＋16＝4(x2＋y2＋2x＋1)， 整理得曲线E的方程为x2＋y2＝4. (2)直线l的方程为y＝kx－4， 依题意可得△COD为等腰直角三角形， 则圆心到直线l的距离d＝＝·|CD|＝，∴k＝±. (3)由题意可知，O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上， 设Q，以OQ为直径的圆的方程为x(x－t)＋y(y－＋4)＝0， 即x2－tx＋y2－y＝0， 又M，N在曲线E：x2＋y2＝4上， ∴MN的方程为tx＋y－4＝0， 即t－4(y＋1)＝0， 由得 ∴直线MN过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $