专题05 轻松突破基本不等式求最值的16大题型（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以16大题型为框架，构建“概念-方法-变式”三阶体系，系统覆盖基本不等式求最值全场景，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础型|4题型/4典例|对勾型直接用不等式、和定积最大/积定和最小|从基本不等式“一正二定三相等”概念出发，推导均值定理，应用于基础代数式| |构造型|6题型/6典例|添加常数、常数代换、凑配代换、双换元等构造策略|通过代数式变形，将复杂问题转化为基础型，体现化归思想| |综合型|6题型/6典例|代入消元、待定系数、因式分解、多元均值等综合方法|结合方程思想与不等式性质，解决含参数、多元、复杂分式等进阶问题|

专题05 轻松破解基本不等式求最值的16大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 对勾型 1 题型02 添加常数构造对勾型 3 题型03 和定求积型 4 题型04 积定求和型 4 题型05 分式型 5 题型06 根式型 6 题型07 常数代换型 7 题型08 凑配加常数代换型 8 题型09有和有积无常数型 9 题型10 有和有积有常数型 10 题型11 多元分式型 10 题型12 代入消元型 11 题型13 双换元型 12 题型14 待定系数法型 13 题型15 因式分解型 14 ▌题型01 对勾型 1.一个重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； 2.基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形： (1)a＋b≥2，常用于求和的最小值； (2)ab≤2，常用于求积的最大值； (3)（沟通两和与两平方和的不等关系式） (4)（沟通两积与两平方和的不等关系式） (5)（沟通两积与两和的不等关系式）. 4．均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 5.对勾型代数式的最值求法 对勾型：，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号. 【典例1】（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 【变式1-1】（25-26高一上·天津宁河·期中）已知， 且，则的最小值为 . 【变式1-2】（25-26高二下·福建福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． ▌题型02 添加常数构造对勾型 对于形如,则转化为分母的线性关系:,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值. 【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式2-1】（25-26高一上·河南郑州·期中）若，则（    ） A．有最小值5 B．有最大值5 C．有最小值4 D．有最大值4 【变式2-2】（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【变式2-3】（25-26高一上·天津和平·期末）若且，则的最大值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 ▌题型03 和定求积型 如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大). 【典例3】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高三上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 【变式3-2】（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【变式3-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． ▌题型04 积定求和型 如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2(简记：积定和最小). 【典例4】（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为， 所以，，当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 【变式4-1】（23-24高一上·重庆云阳·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知正实数x，y满足，则的最小值是______． 【变式4-3】（25-26高二下·天津·期末）已知，且，则最小值为____． ▌题型05 分式型 求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数. 【典例5-1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C 【典例5-2】（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【详解】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·上海浦东新·期中）函数的值域（y的取值范围）是 ． 【变式5-2】（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【变式5-3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． ▌题型06 根式型 对于根式型的最值问题，主要策略有三： (1)换元法；（2）进根号；（3）平方法. 【典例6】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】记，则，求最大值 【变式6-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 【变式6-2】函数(的最大值为 . 【变式6-3】（25-26高一上·浙江·期中）设，则的最大值为 . ▌题型07 常数代换型 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值. 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 【典例7】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 【变式7-1】（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 ▌题型08 凑配加常数代换型 有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解. 【典例8】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【变式8-1】（25-26高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-2】（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【变式8-3】（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． ▌题型09有和有积无常数型 这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值. 【典例9】（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【变式9-1】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 【变式9-2】（多选）（2025·河北·模拟预测）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．存在、满足 【变式9-3】（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． ▌题型10 有和有积有常数型 这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值． 【典例10】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【变式10-1】（2025·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【变式10-2】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【变式10-3】（25-26高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . ▌题型11 多元分式型 对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配方构造. 【典例11】（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（       ） A．11 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立. 故选：A 【变式11-1】（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【变式11-2】（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知，则的最小值为________． ▌题型12 代入消元型 对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值. 【典例12】（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 【变式12-1】（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（多选）（25-26高一上·浙江湖州·阶段练习）（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式12-3】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． ▌题型13 双换元型 双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简． 【典例13】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 【变式13-1】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式13-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【变式13-3】（25-26高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . ▌题型14 待定系数法型 出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题. 【典例14】为正整数，求的最小值为 . 【答案】4 【详解】由题意知，引入参数k，使之满足 , 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为4. 【变式14】已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A．1 B．2 C． D． ▌题型15 因式分解型 含有这类结构的式子，有时也可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合基本不等式求最值. 【典例15】已知，，且，则的最小值是________ 【答案】7 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 【变式15-1】（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式15-2】若实数满足，则的最大值为 . ▌题型16 不少于三个数的均值型（拓展） 基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即（当且仅当时，等号成立）． 有时可利用此基本不等式求不少于三个数的积或和的最值. 【典例16】（25-26高三上·天津和平·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 【变式16-1】（25-26高三·河南郑州·阶段检测）已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（2026四川成都七中月考）已知，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【变式16-3】（25-26高一上·北京·期末）函数的最小值为______. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轻松破解基本不等式求最值的16大题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 对勾型 【典例1】A 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 【变式1-1】4 【分析】直接运用基本不等式：求解即可. 【详解】∵， ， ∴，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为. 【变式1-2】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 【变式1-3】B 【详解】，当且仅当，即时取等. ▌题型02 添加常数构造对勾型 对于形如,则转化为分母的线性关系:,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值. 【典例2】C 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式2-1】A 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：A. 【变式2-2】C 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 【变式2-3】B 【分析】利用不等式的基本条件“一正，二定，三相等”，对式子配凑完再提个负号即可得到结果. 【详解】因为，所以，即， ， 当且仅当，解得：或（舍），即当时，等号成立. 故选：B ▌题型03 和定求积型 如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大). 【典例3】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高三上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 【答案】D 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 【变式3-3】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. ▌题型04 积定求和型 【典例4】C 【详解】因为， 所以，，当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 【变式4-1】D 【分析】方法一：变形后，利用四元基本不等式进行求解； 【详解】， 故， 当且仅当，且时，即时，等号成立． 故的最小值为4； 故选：D 【变式4-2】 【分析】根据基本不等式求最值. 【详解】因为正实数x、y满足，则， 当且仅当且，即时取等号． 【变式4-3】 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. ▌题型05 分式型 【典例5-1】C 【详解】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C 【典例5-2】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【详解】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 【变式5-1】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 【变式5-2】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 【变式5-3】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. ▌题型06 根式型 【典例6】 【详解】记，则，求最大值 【变式6-1】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为, 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 【变式6-2】 【详解】设（t>0），则. ∴=≤. 当且仅当,即时取“=”号.故当时，. 【变式6-3】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. ▌题型07 常数代换型 【典例7】B 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 【变式7-1】A 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 【变式7-2】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【变式7-3】B 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. ▌题型08 凑配加常数代换型 【典例8】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【变式8-1】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 【变式8-2】D 【详解】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D 【变式8-3】A 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． ▌题型09有和有积无常数型 【典例9】B 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【变式9-1】A 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 【变式9-2】AC 【详解】由正实数、满足得， 又因为，解得，故A选项正确； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确； 由得， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误． 故选：AC． 【变式9-3】9，3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. ▌题型10 有和有积有常数型 【典例10】D 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【变式10-1】C 【详解】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 【变式10-2】， 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 【变式10-3】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . ▌题型11 多元分式型 【典例11】A 【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立. 故选：A 【变式11-1】D 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式11-2】 【分析】变形后，利用四元基本不等式进行求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. ▌题型12 代入消元型 【典例12】A 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 【变式12-1】C 【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式12-2】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 【变式11-3】D 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 【典例13】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 【变式13-1】C 【详解】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 【变式13-2】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【变式13-3】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. ▌题型14 待定系数法型 【典例14】4 【详解】由题意知，引入参数k，使之满足 , 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为4. 【变式14】C 【详解】因为， 所以的最大值为，选C. ▌题型15 因式分解型 【典例15】7 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 【变式15-1】A 【详解】因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 【变式15-2】 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. ▌题型16 不少于三个数的均值型（拓展） 【典例16】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 【变式16-1】C 【分析】将写为的形式,再用基本不等式即可求出的最大值. 【详解】解:由题知, ,当且仅当时取等号, 所以．故选:C． 【变式16-2】D 【分析】先利用“1”的代换把已知化为，然后利用三元的基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以 ，当且仅当时，等号成立. 故选：D 【变式16-3】 【分析】把变形为，再由四元基本不等式求其最小值 【详解】，所以 , 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轻松破解基本不等式求最值的16大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 对勾型 1 题型02 添加常数构造对勾型 3 题型03 和定求积型 5 题型04 积定求和型 6 题型05 分式型 7 题型06 根式型 9 题型07 常数代换型 11 题型08 凑配加常数代换型 13 题型09有和有积无常数型 15 题型10 有和有积有常数型 17 题型11 多元分式型 19 题型12 代入消元型 21 题型13 双换元型 23 题型14 待定系数法型 25 题型15 因式分解型 26 ▌题型01 对勾型 1.一个重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； 2.基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形： (1)a＋b≥2，常用于求和的最小值； (2)ab≤2，常用于求积的最大值； (3)（沟通两和与两平方和的不等关系式） (4)（沟通两积与两平方和的不等关系式） (5)（沟通两积与两和的不等关系式）. 4．均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 5.对勾型代数式的最值求法 对勾型：，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号. 【典例1】（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（       ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 【变式1-1】（25-26高一上·天津宁河·期中）已知， 且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】直接运用基本不等式：求解即可. 【详解】∵， ， ∴，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为. 【变式1-2】（25-26高二下·福建福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 【变式1-3】（25-26高二下·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. ▌题型02 添加常数构造对勾型 对于形如,则转化为分母的线性关系:,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值. 【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式2-1】（25-26高一上·河南郑州·期中）若，则（    ） A．有最小值5 B．有最大值5 C．有最小值4 D．有最大值4 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：A. 【变式2-2】（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 【变式2-3】（25-26高一上·天津和平·期末）若且，则的最大值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】B 【分析】利用不等式的基本条件“一正，二定，三相等”，对式子配凑完再提个负号即可得到结果. 【详解】因为，所以，即， ， 当且仅当，解得：或（舍），即当时，等号成立. 故选：B ▌题型03 和定求积型 如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大). 【典例3】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高三上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ） A．36 B．4 C．16 D．9 【答案】D 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 【变式3-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. ▌题型04 积定求和型 如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2(简记：积定和最小). 【典例4】（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为， 所以，，当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 【变式4-1】（23-24高一上·重庆云阳·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】方法一：变形后，利用四元基本不等式进行求解； 【详解】， 故， 当且仅当，且时，即时，等号成立． 故的最小值为4； 故选：D 【变式4-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知正实数x，y满足，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据基本不等式求最值. 【详解】因为正实数x、y满足，则， 当且仅当且，即时取等号． 【变式4-3】（25-26高二下·天津·期末）已知，且，则最小值为____． 【答案】 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. ▌题型05 分式型 求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数. 【典例5-1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C 【典例5-2】（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【详解】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·上海浦东新·期中）函数的值域（y的取值范围）是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 【变式5-2】（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 【变式5-3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. ▌题型06 根式型 对于根式型的最值问题，主要策略有三： (1)换元法；（2）进根号；（3）平方法. 【典例6】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】记，则，求最大值 【变式6-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为, 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 【变式6-2】函数(的最大值为 . 【答案】 【详解】设（t>0），则. ∴=≤. 当且仅当,即时取“=”号.故当时，. 【变式6-3】（25-26高一上·浙江·期中）设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. ▌题型07 常数代换型 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值. 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 【典例7】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 【变式7-1】（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 【变式7-2】（25-26高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. ▌题型08 凑配加常数代换型 有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解. 【典例8】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【变式8-1】（25-26高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 【变式8-2】（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D 【变式8-3】（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故选：A． ▌题型09有和有积无常数型 这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值. 【典例9】（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【变式9-1】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 【变式9-2】（多选）（2025·河北·模拟预测）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．存在、满足 【答案】AC 【详解】由正实数、满足得， 又因为，解得，故A选项正确； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确； 由得， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误． 故选：AC． 【变式9-3】（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. ▌题型10 有和有积有常数型 这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值． 【典例10】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【变式10-1】（2025·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【详解】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 【变式10-2】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】， 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 【变式10-3】（25-26高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . ▌题型11 多元分式型 对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配方构造. 【典例11】（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（       ） A．11 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立. 故选：A 【变式11-1】（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式11-2】（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】变形后，利用四元基本不等式进行求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. ▌题型12 代入消元型 对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值. 【典例12】（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 【变式12-1】（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式12-2】（多选）（25-26高一上·浙江湖州·阶段练习）（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 【变式11-3】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. ▌题型13 双换元型 双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简． 【典例13】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 【变式13-1】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 【变式13-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【变式13-3】（25-26高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. ▌题型14 待定系数法型 出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题. 【典例14】为正整数，求的最小值为 . 【答案】4 【详解】由题意知，引入参数k，使之满足 , 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为4. 【变式14】已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以的最大值为，选C. ▌题型15 因式分解型 含有这类结构的式子，有时也可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合基本不等式求最值. 【典例15】已知，，且，则的最小值是________ 【答案】7 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 【变式15-1】（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 【变式15-2】若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. ▌题型16 不少于三个数的均值型（拓展） 基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即（当且仅当时，等号成立）． 有时可利用此基本不等式求不少于三个数的积或和的最值. 【典例16】（25-26高三上·天津和平·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 【变式16-1】（25-26高三·河南郑州·阶段检测）已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将写为的形式,再用基本不等式即可求出的最大值. 【详解】解:由题知, ,当且仅当时取等号, 所以．故选:C． 【变式16-2】（2026四川成都七中月考）已知，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】D 【分析】先利用“1”的代换把已知化为，然后利用三元的基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以 ，当且仅当时，等号成立. 故选：D 【变式16-3】（25-26高一上·北京·期末）函数的最小值为______. 【答案】 【分析】把变形为，再由四元基本不等式求其最小值 【详解】，所以 , 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $