1.2一定是直角三角形吗同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册“一定是直角三角形吗”同步练，分层设计从基础认知到综合拓展，通过梯度化题型构建“概念理解-方法应用-迁移创新”的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知（选择1-10、填空11-15）|勾股定理逆定理直接应用、勾股数识别|如选择1判断三边长，填空13实际检验垂直，夯实概念理解| |方法应用（解答一16-18）|简单图形与计算结合|如解答16用方程思想求边长，培养运算能力与几何直观| |综合拓展（解答二19-21、解答三22-23）|复杂情境与规律探究|如解答21物理实验应用、22勾股数规律证明，发展应用意识与创新思维|

· 1.2 一定是直角三角形吗同步练习 · 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若一个三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．若的三边分别为3、4、5，则的面积是（    ） A．12 B．10 C．7.5 D．6 5．将一个直角三角形的三边都扩大4倍，则得到的新三角形是（   ）． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 6．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 7．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜十三里，中斜十四里，大斜十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是（    ） A．76平方里 B．84平方里 C．88平方里 D．94平方里 8．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．72 B．36 C．66 D．42 9．如图，一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（   ） A．15 B．24 C．30 D．不能确定 10．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为_________． 12．中，，，高，则的长为__． 13．欲检验画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框________填“合格”或“不合格”． 14．如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为_______． 15．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积为______． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．在中，，若，．求a，b的长． 17．如图，D为边上的一点，，，，，求的长． 18．已知，如图，，，，，，计算四边形的面积．    四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．在中，，设为最大边的长．当时，是直角三角形：当时，利用代数式与的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当的三边长分别为6，8，9时，为___________三角形；当的三边长分别为6，8，11时，为___________三角形： (2)猜想：当___________时，为锐角三角形：当___________时，为钝角三角形： (3)在中，，试判断的形状，过点作于点，求的长． 20．劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到． (1)请判断小路是否与垂直，并说明理由； (2)求劳动场地的面积． 21．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，． (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 23．如图①，在中，为边上的高． (1)若，，，的形状为______． (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足时，是直角三角形，请你验证小明的发现是否正确？ (3)如图②是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图③所示的图形，已知斜梁．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全？请直接写出答案． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D A A B B B C 11． 12．14或4 13．合格 14． 15．2027 16．6，8 【分析】根据，设，根据勾股定理可得，结合题意求得的值即可求解． 【详解】解：设，根据勾股定理可得． 又，即， 所以， 因此． 即a，b的长分别为6，8． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 17． 【分析】首先利用勾股定理逆定理判断是直角三角形，，然后再利用勾股定理计算长即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵，， ∴196． ∴ 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 18．36 【分析】根据勾股定理得：，根据勾股定理的逆定理，得，根据四边形的面积，即可求得答案． 【详解】如图所示，连接，    ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及逆定理，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键． 19．(1)锐角，钝角； (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理的运用，掌握知识点是解题的关键． （1）当两直角边长分别为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度； 接下来根据当最长的边大于所求的斜边，则所对应的角大于90°，反之小于90°，据此可得到对应的三角形的类型，进而解答； （2）当两直角边长分别为a、b时，利用勾股定理可得斜边的长度；根据当最长的边c大于所求的斜边，则所对应的角大于90°，反之小于90°，即可解答； （3）先判断出是钝角三角形，再作图，根据勾股定理，得到，即，求解即可． 【详解】（1）解：两直角边分别为6、8时，斜边为，， ∴三边分别为6、8、9时，为锐角三角形； 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形． 故答案为：锐角，钝角； （2）当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形． 故答案为：． （3）∵， 即， ∴， 即是钝角三角形，如图所示 ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得． 答：的长为． 20．(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判定即可； （2）利用勾股定理先求解，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ，， ， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴劳动场地的面积为． 21．(1) (2) 【分析】（1）设，则，运用勾股定理求出即可求解； （2）先利用勾股定理计算出，进而得到即可． 【详解】（1）解：由题可知为直角三角形，， 设，则， 又，即，解得， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：如图， 则， ， ， 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了． 22．(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； （2）根据勾股数的定义，证明即可． 【详解】（1）解：根据所提供的几组勾股数的规律发现， 当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 故答案为：和； （2）证明：， ， ， ， ， ∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 23．(1)直角三角形 (2)正确 (3)不安全 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：不安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ，， ， 不是直角三角形， ∴这个房梁不安全． 答案第2页，共7页 答案第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $