3.5 函数中的综合问题-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

§3.5函数中的综合问题 ★[考试要求] 不等式证明问题、恒成立问题、函数的零点问题在高考中占有很重要的地位，不等式证 明经常与函数的性质、函数的零点与极值等相结合，恒成立问题经常与导数及其几何意义、 函数、方程等相交汇，解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等. 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔利用导数研究恒（能）成立问题 2.求解含参不等式恒成立问题的关键是 过好“双关” [例1]已知函数f(x)=之，其中e= 通过分离参数法，先转化为f(a) 2.71828…为自然对数的底数. ≥g(.x)(或f(a)≤g(x)对Hx 转化关 (1)求函数f(x)的单调区间； ∈D恒成立，再转化为f(a)≥ (2)证明：f(x)≤er-1; g(x）nmx（或f(a)≤g(x)min) (3)设g(x)=f(x)-e2x+2ae'-4a2+1 求函数g(x)在区间D上的最大 求最值关 (a∈R),若存在实数xo使得g(xo)≥0， 值（或最小值）问题 求a的最大值. 跟踪训练 已知fx)-alnx+22-2za∈R且 a≠0)在(0，十o∞)上单调递增，g(x)= cos x+xsin x. (1)当a取最小值时，证明f(x)≤2x x-1恒成立； (2)对y∈[-x小，3∈[小使 规律方法 得) T2 -a≤g(x)成立，求实数a的取 1.分离参数法解含参不等式恒成立问题 值范围. 的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问 题是指在能够判断出参数的系数正负 的情况下，可以根据不等式的性质将参 数分离出来，得到一个一端是参数，另 一端是变量表达式的不等式，只要研究 变量表达式的最值就可以解决问题. 53 题型2 利用导数研究函数的零点 [例2]函数f(x)=aln(x+1)+x2一x. 题型3 利用导数证明不等式 (1)若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切 [例3] 已知函数f(x)=xln(x+1). 线，求实数a的取值范围； (1)判断0是否为f(x)的极小值点，并说 (2)设0<a<1,试探究函数f(x)的零点 明理由； 个数 2证明：12>-+1 规律方法 1.欲证函数不等式f(x)>g(x)(x>a),只 需证明f(x)一g(x)>0(x>a),设h(x)= -规律方法 f(x)-g(x),即证h(x)>0(x>a).若 判断函数零点个数的3种方法 h(a)=0,h(x)>h(a)(x>a).接下来往往 令f(x)=0,则方程解的个数即为零 用导数证得函数h(x)是增函数即可. 直接法 点的个数 2.欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I,1是 转化为两个易画出图象的函数，看其 画图法 区间)，只需证明f(x)一g(x)>0(x∈I). 交点的个数即可 设h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即证h(x) 利用零点存在性定理判定，可结合最 定理法 >0(x∈I),也即证h(x)m>0(x∈I) 值、极值去解决 (若h(x)m不存在，则须求函数h(x)的下 确界)，而这用导数往往容易解决， 跟踪训练 跟踪训练 已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有 设a为实数，函数f(x)=e一2x+2a,x∈R. 极大值 (1)求f(x)的单调区间与极值； (1)求实数c的值： (2)求证：当a>ln2-1且x>0时，e≥ (2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同 x2-2ax+1. 的零点，求实数a的取值范围. ©温馨提西 学习至此，请完成配套训练课时冲关20 54 [热点强化课2]三次函数的图象与性质 三次函数f(x)=a.x3+bx2+cx+d(a≠0) ①当定点P在对称中心N或在I和Ⅲ区 的性质 域时，过点P的切线有且仅有一条； 1.奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当 ②当定点P在曲线上或在切线1上且不 b=d=0时是奇函数 在对称中心N时，过点P的切线有两条； 2.对称性：中心对称，且对称中心是 ③当定点P在Ⅱ和W区域时，过点P的 (-品品》若fx)有极值，则它 切线有三条 的对称中心是两个极值点的对称中心 引申性质：若y=f(x)是可导函数， ①若函数图象关于点(m,n)对称，则 a< a> 图1 图2 y=f'(x)图象关于直线x=m对称； [典例] [多选]三次函数f(x)=x3十a.x+2 ②若函数图象关于直线x=m对称，则 叙述正确的是 ( y=f(x)图象关于点(m,0)对称； A.当a=1时，函数f(x)无极值点 ③奇函数的导数是偶函数，偶函数的 B.函数f(x)的图象关于点(0,2)中心 导数是奇函数，周期函数的导数还是 对称 周期函数. C.过点(0,2)的切线有两条 3.韦达定理 D.当a<一3时，函数f(x)有3个零点 设ax3+bx2+cx+d=0的三个根分别为 x1,x2,x3,则a.x3十bx2+cx十d=a(x 名师点拨 x1)(x-x2)(x-x3)=ax-a(x1+x2+ 三次函数是一类重要的函数，其规律性 xs)x2+a (I1I2+z2xs Isx1)x 强，内容相对独立，且有一些独有的结论 和技巧.如果能得当运用三次函数的有关 axx2x3. 6 结论，可以大大简化解题过程 比较系数可得x十x2十x3=- x1x2 0跟踪训练 x2x3十x3x1= x1x2x3= d a a 已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-号，则 4.三次函数切线条数 设f(x)=ax3十bx2+cx+d(a>0)在对 f202s+f226+f20z+… 称牛心N[一一品处的切线为1· 2025 f八2026 f(x)的图象及l把坐标平面分成I、Ⅱ、 A.2024 B.2025 2 Ⅲ、V四个区域，如图1(a<0)、图2(a> C.2025 D.2026 0)所示. 55 [热点强化课3]导数与数列的综合问题 [典例]已知函数f(x)=lnx一ax+1,其 跟踪训练 中a∈R. (1)若函数f(x)的图象恒不在x轴上方， 已知函数fx)=e-ar-x 求实数a的取值范围； (1)若f(x)在x∈R上单调递增，求a (2)证明：1+号+号++}>1h(a+1D 的值； 其中n∈N*. 2)证明：1+)〔+》(+ e2(n∈N*且n≥2). 名师点拨… 由函数不等式化为数列不等式的方法 x-1≥lnx→ln(1+x)≤x(x>-1), 取x-分则}>1h时》，聚x 士1则1n”十1） 56题型2 [例2][解] (D因为f()=n1+x)-x+22 x,∈(0，号） 所以f(x)=1十x 1 1+x-3kx =1-1-x十x+x-3kx2-3kx 1+x (+1-) 当x>0时，令了（)=0，解得x=-1>0, 所以当0K<证-1时，f)>0fx)单洞递掉：当立 >-1时，f)0,)单调延支. 所以x=3-1是f八x)在(0，+o)上唯一的极值点，是 极大值，点 因为f(-1）P0)=0f()=1(1+东)六+ 8证=n(+）厂6<0， 所以3，∈(-1云）f)=0 所以x是f(x)在(0，十)上唯一的零点. (2)(i)因为g(t)=f(x1+t)-f(x1-t), 所以g'(t)=∫(x1十t)+f(x1-t) =二3(+) 1+x+t (x+1-x)+-3-) 1+5-1(x-t-西) 一件 6kt (--21) (1+x1)2-t2 因为t∈(0，x1), 所以t-x-2x1<0,(1+x1)-t>0, 所以g)=6rr--2x)<0. (1+x1)2- 即g(t)在区间(0，x1)上单调递减. (i)由(1)得，g(t)在(0，x1)上单调递减， 所以g(x1)<g(0), g(x1)=f(2x1)-f(0), g(0)=f(x1)-f(x1)=0 ∴f(2x1)-f(0)<f(x1)-f(x1)=0, 又f(0)=0,所以f(2x1)<0, 因为xg是f(x)的零，点，所以f(xg)=0, 所以f(2x1)<f(x), 又x>x1,2x1>x1,且f(x)在(x1·十∞)上单调递减， 所以2x1>x2. 跟踪训练1.π2.D §3.4函数中的构造问题 跃升·关键能力题型1[例1](1)B(2)B 跟踪训练AD 题型2[例2](1)B(2)D 跟踪训练(3，十∞) 题型3[例3]CD 跟踪训练（至，x） 题型4[例4](1)A(2)B 跟踪训练D §3.5函数中的综合问题 跃升·关键能力题型1 [例1][解](1)f(x)的定义城为R,(x)=1二 e 所以当x<1时，(x)>0;当x>1时，f'(x)<0. 所以f(x)的增区间为（一∞，1），减区间为(1，十∞). (2)读证f)≤e-1,脚证若≤e-1,令Ax)= -e 十1，即证h(x)0. ()=1-1c心，令m(x)=1-工-e2,则m'(x)=-1 e -2er<0,所以m(x)在R上单调递减，又m(0)=0, .当x<0时m(x)>0,h'(x)>0:当x>0时，m(x)0, h'(x)<0. ∴h(x)在（一0,0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， h(r)≤h(0)=0,所以工≤e-1,即f(x)≤e-1得证. (3)当0≤a≤号时g(0)=2a-4a=2a(1-2a)≥0，即存 在=0满足题意：当。>分时，由(2)知， g(x)=f(x）-er+2ae2-4a2+1≤(e-1)-e2r+2ae -4a2+1 =-产+(2a+1c-4=-(e-2a) (6a+1)1-2a2≤(6a+1D0-2a）<0, 4 4 ',此时g(x)<0恒成立，不满足题意； 综上，所以a的最大值为2 78 跟踪训练 解：(1)证明：由题意可知f(x)=4十x-2≥0在(0， 十o)上恒成立， 即a≥(2.x-x)msx=1,.amim=1, 此时)=nx+号-2 设()=fx)-(合x-x-1）=lnx-x+1, h(x)=-1=1- x x 令h'(x)>0→0x<1,令h'(x)<0→x>1, .h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o)上单调递减 .h(x)h(1)=0 x)<-x-1版成立， (2)[1,+o) 题型2[例2](-0，号】 (2)3 跟踪训练(1)一3(2)（一4,0） 题型3 [例3][解](1)0是f(x)的极小值点，理由如下： f(x)=xln(x十1)定义城为(-1，+oo), 0 f()=hx+1)+千其中f(0)=ln1+7=0. 当x∈(-1,0)时，lnx+1)<0z+<0, 故f(x)=ln(x+1)+千<0， 当x∈(0，+o∞)时，lnx+1)>0,千>0 故广x)=lnz+1)+克>0. 故f(x)=xln(x十1)在（一1,0）上单调递减， 在(0，十∞)上单调递增， 故0是f(x)的极小值点： (2)2-+1等价+D- 2x+1, n(x+10+22- 即 一>0， x K(z)=l(z+1)+-(>-1), 则g'(x)= x+1+x-1= x+1x>-1), 当x>-1时，g'(x)≥0， 所以g(x)在x>一1上单调递增， 又g(0)=0, 故当x>0时，g(x)>g(0)=0,当-1<x<0时， g(x)<g(0)=0, x+1+子- 则 ->0恒成立， 2 故f0>-号+1. 跟踪训练 解：(1)由f(x)=e-2x+2a(.x∈R), 知(.x)=e-2.令f'(.x)=0,得x=ln2. 当x<ln2时，f'(x)<0, 故函数f(x)在区间（一o,ln2)上单调递减； 当x>ln2时，f'(x)>0, 故函数f(.x)在区间(ln2,+∞)上单调递增 所以f(x)的单调递减区间是（一o,ln2),单调递增区间 是(ln2,+o),f(.x)在x=ln2处取得极小值f(ln2)= em-2ln2+2a=2-2ln2+2a,无极大值. (2)证明：要证当a>ln2-1且x>0时， e>x2-2a.x+1, 即证当a>ln2-1且x>0时， e2-x2+2a.x-1>0. 设g(x)=e-x2+2a.x-1(x>0). 则g'(x)=e-2x+2a, 由(1)知g'(x)n=g'(ln2)=2-2ln2+2a. 又a>ln2-l,则g'(x)mim>0. 于是对Hx∈R,都有g'(x)>0, 所以g(x)在R上单调递增. 于是对Hx>0,都有g(x)>g(0)=0. 即e-x2+2a.x-1>0, 故e>x2-2ax+1. 热点强化课2三次函数的图象与性质 [典例]ABD 跟踪训练B 热点强化课3导数与数列的综合问题 [典例][解](1)由函数f(x)的图象恒不在x轴上方， 且f(x)=lnx-a.x+1, 即f(x)=lnx-a.x十1≤0恒成立， 即a≥血r+1在(0，十0)上恒成立， x 令g(x)=血x+1(x>0),可得g()=-h2, x 2 当x∈(0,1)时，g'(x)>0: 当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以g(x)mx=g(1)=1,所以a≥1， 即实数a的取值范围为[1，十o∞). 279 (2)由(1)知，当a=1时，f(x)=lnx-x+1≤0， 即x-1≥lnx,当且仅当x=1时取等号， 令z=+1(meN),可得上>n+1, n n 所以1+子++…+>h子+号++…+ 3 即EN时，1+子+…+>a+1 跟踪训练 解：1)画教f()=e-名4m2-x, 求导得f(x)=e一ax-1, 由于函数f(x)在R上单调递增， 则f(x)=e一ax一1≥0恒成立， 令h(x)=e-a.x-l,则h'(x)=e-a, 当a=0时，f(x)=e-1, 当x<0时，f(x)<0,不满足条件； 当a<0时，h'(x)>0,h(x)在R上单调递增， 又h(日）=e-a…日-1=位-2<0 即了（日）<0.不满足条件： 当a>0时，令h'(x)=0,得x=lna,则当x<lna时， h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>lna时，h'(x)>0, h(x)单调递增，于是当x=lna时，h(x)取得最小值， h(In a)=eln"-aln a-1=a-aln a-1, 于是h(lna)≥0，即a-1-alna≥0， 令u(a)=a-l-alna,则u'(a)=-lna, 当0<a<1时，'(a)>0,u(a)单调递增： a>l时，u(a)<0,u(a)单调递减，则u(a)mx=u(1)=0, 由于a-1一alna≥0恒成立， 因此a-1-alna=0,则有a=l, 所以f(x)单调递增时，a的值为1. (2)由(1)知，当a=1时，e一x一1≥0，即有e≥x十1，当且 仅当x=0时取等号，即当>0时，n(x十1)<x, 因此当n∈N”且n≥2时， n[a+D(+)-(1+)月=h1+)+i(+) ++(+是)1++…+ 11 而当n≥2时，元<n(n一1nn1 ++1<1+ 所以1+ n 必 [(-)十(2-合)++(n马-品)川 =1+1-元<2， 则[1+D(+)(1+)]<2. 所以，a+D(1+)(1+)Kc. 第四章三角函数与解三角形 §4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)端点(2)正角负角零角象限角(3)一a 2.(1)半径长 (2)/180 lalr tir 1 3.(1)yx 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.AC3.A 4.- 跃升·关键能力题型1[例1](1)B(2)B 跟踪训练1.C2.AC 题型2 [例2][解]（1a=60°=子1=10X子-19(cm). (2)设弓形面积为S.由题知1=2cm ,=S-SA=×X2-×2×sim吾 3 (5-)cm). (3)由已知得，1+2R=20, 所以S=号1R=号(20-2R)R=10R-R =-(R-5)2+25. 所以当R=5时，S取得最大值25cm, 此时l=10,a=2. 跟踪训练ABC 题型3[例3-1] 、6 3 [例3-2]AB 跟踪训练1.D2.AC §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1）sina+cosa=1 (2)sina tan a cos a (a≠+kx,k∈Z）2.-sina-sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a- tan a