3.2 导数与函数的单调性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

1跟踪训练 规律方法 若曲线y=3(x2一x)e-1在点(1,0)处的 公切线问题，应根据两个函数在切点处 切线与y=ax十2平行，曲线y=1n在 的斜率相等，且切点既在切线上又在曲 x+1 点(1,0)处的切线与直线x一by+1=0垂 线上，列出有关切点横坐标的方程组， 直，则a十b= 通过解方程组求解.或者分别求出两函 两曲线的公切线 数的切线，利用两切线重合列方程组 题型3 求解， [例3](1)已知点P是曲线y=xe与曲 线y=ex的公共点，则两曲线在点P处 跟踪训训练 的公共切线方程是 已知曲线y=e在点(x1,y1)处的切线与 A.y=0 曲线y=lnx在点(x2,y2)处的切线相 B.2ex-y-e-0 同，则(x1十1)(x2一1)= C.y=0或2ex-y-e=0 A.-1 B.-2 D.y=0或ex-y-1=0 C.1 D.2 (2)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2: ©温馨提 y=e存在公共切线，则a的取值范围为 学习至此，请完成配套训练课时冲关16 §3.2 导数与函数的单调性 ★[考试要求] 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域 1.函数的单调性与导数的关系 划分为若干个区间，列表给出f(x)在各 条件 恒有 区间上的正、负，由此得出函数y=f(x) 结论 在定义域内的单调性。 f(x)在区间(a,b)上 f'(x)>0 知识拓展用活 函数y= f(x)在区 f(x)在区间(a,b)上 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则x∈ f'(x)<0 间(a,b)上 (a,b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x) 可导 在(a,b)上单调递减，则x∈(a,b)时， f(x)在区间(a,b)上 f(x)=0 是 f(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区 2.利用导数判断函数单调性的步骤 间，则x∈(a,b)时，f(x)>0有解；若函 第1步，确定函数的 数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间，则 第2步，求出导数f'(x)的 x∈(a,b)时，f'(x)<0有解. 46 自主诊断查验 (4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数. 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 ( ) “/”或“X”) 2.函数y=x一nx的单调递增区间是( (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)= A.(0,1) B.(0,2) 0,则f(x)在此区间内没有单调性.( C.(0,+∞) D.(1,+c∞) (2)函数在某区间内单调递增，则一定有 3.函数f(x)=e-2x在[1，e]上的最小值 f(x)>0. ( 为 (3)在(a,b)内f'(x)≤0且f(x)=0的根 4.已知函数f(x)=mx一cosx在R上单调 有有限个，则f(x)在(a,b)内单调递减. 递增，则m的最小值为 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 不含参函数的单调性 规律方法 [例1]已知定义在区间（一π，π）上的函数 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据 f(x)=xsin x+cosx,则f(x)的单调递 参数对不等式解集的影响进行分类 增区间是 讨论 d跟踪训练 (2)划分函数的单调区间时，要在函数定 函数f(x)=3十xlnx的单调递减区间是 义域内讨论，还要确定导数为零的点 ( 和函数的间断点 a(日e B.(o.) 日跟踪训练 已知函数g(x)=lnx+a.x2-(2a+1)x. c〔-o D.+} 若a>0,试讨论函数g(x)的单调性. 题型2 含参数的函数的单调性 [例2] 已知函数f(x)=lnx十2 -ax (1)当a-2时求曲线y=f()在点 (1,f(1)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性. 47 题型3 函数单调性的应用 (2)f(x)单调递增（减）的充要条件是对 D[角度1] 比较大小或解不等式 任意的x∈(a,b)都有f(x)≥0 (f(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子 [例3-1] (1)设a= 。,6=n2 In 3 2,c 3 区间上，(x)不恒为零，应注意此时式 子中的等号不能省略，否则会漏解. 则 ( (3)函数在某个区间上存在单调区间可转 A.b<a<c B.c<a<b 化为不等式有解问题 C.c<b<a D.b<c<a 跟踪训练 (2)已知函数f(x)=3x-sinx,若f(a) +十f(a2-2)>0,则实数a的取值范围为 1.已知函数f(x)=mx-专，设a f(log32),b=f(logo.20.5),c=f(1n4), 则a,b,c的大小关系为 () >[角度2]根据函数单调性求参数 A.c>a>b B.a>c>b [例3-2]已知函数f(x)= 2+2ax C.b>c>a D.c>b>a 2.(2024·新课标Ⅱ卷，T1)设函数f(x)= n,若f)在区间[2]上单调递增， 2x3-3a.x2+1,则 则实数a的取值范围为 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 …规律方法 C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对 根据函数单调性求参数的一般思路 称轴 (1)利用集合间的包含关系处理：y= D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y= f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是 f(x)的对称中心 ©温馨提西 相应单调区间的子集， 学习至此，请完成配套训练课时冲关17 §3.3 导数与函数的极值、最值 ★[考试要求] 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大 值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 小，f'(a)=0;而且在点x=a附近的左 1.函数的极值 侧 ,右侧 ,则a叫做 (1)函数的极小值 函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a) 比它在点x=a附近其他点的函数值都 数y=f(x)的极小值. 48§3.2导数与函数的单调性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.单调递增单调递减常数函数2.定义域零点 自主诊断查验 1.(1)√(2)×(3)/(4)/2.D3.e-24.1 跃升·关键能力题型1 [例1] (-,受)和(0受) 跟踪训练B 题型2 [例2][解]()当a=合时，x)=nx+合x-合 2 22, 求学得f(x)=是十x-2 1 2 则f(1)=3 f1)=0,即切点为(1,0)， 切线的斜率为之· 3 所以切线方程为y-0=号(z-1),即3x一2y3=0 （2)函数1x)=lnx+2d-ar的定义城为0，十o) 求号得fx)=+x-a… 百a≤2时，f(x)=+xa≥2a≥0 则函数f(x)在(0，十∞)上单调递增： 当a>2时，由f(x)=1+x-a=x-ax+1=0, x x 得x,=0二a4 2 ,=十匠4 2 由∫(x)>0,得0<x<x1或x>x2,由f'(x)<0,得 x1<x<x2, 因此函数f(x)在(0，x1),(x2,十∞)上单调递增， 在(x1,x2）上单调递减， 所以当a≤2时，函数f(x)在(0，十co)上单调递增： 上单调递增，在 2 递减 跟踪训练 解：因为g(x)=lnx十a.x2-(2a十1)x, 所以g(x)=2ax-(2a+1Dx+1 =(2a.x-1)(x-1) 由题意知函数g(x)的定义域为(0，十∞)， 21 若<1,即a> 由g(x)>0得x>1或0<x<2a <x<1, 由g(x)<0得2a 所以画数g)在(0)1，+∞)上单调递增. 在(a)上单调递减： 若>1脚0<a< 由R(>0得>六或0<<1. 由R)<0得1K<云 所以画教g)在(0,1（品十）上单调递增， 在(1，a)上单调递减： 若=1，即a=7,则在(0，+∞)上恒有g()20, 2 所以函数g(x)在(0，十○)上单调递增. 1 综上可得，当0<a<2时，函数g（x)在(0,1)， (a+∞）上单调递增，在(1，云)上单调递减： 当a=2时，函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， 当a>号时，函数g(z)在(0，品）1，十∞)上单润运 增，在（品）上单润递减。 题型3[例3-1](1)D(2)(-c∞，-2)U(1,+∞) [例3-2] [合+∞） 跟踪训练1.A2.AD §3.3导数与函数的极值、最值 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x)<0f(x)>0(2)f(x)>0f(x)<0 (3)极值点极值2.(1)连续不断(2)极值端点处的 函数值f(a),f(b) 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)×2.AC3.B4.-e 跃升·关键能力题型1[例1一1]C [例1-2]A 跟踪训练2.B