3.4 函数中的构造问题-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

题型2 [例2][解] (D因为f()=n1+x)-x+22 x,∈(0，号） 所以f(x)=1十x 1 1+x-3kx =1-1-x十x+x-3kx2-3kx 1+x (+1-) 当x>0时，令了（)=0，解得x=-1>0, 所以当0K<证-1时，f)>0fx)单洞递掉：当立 >-1时，f)0,)单调延支. 所以x=3-1是f八x)在(0，+o)上唯一的极值点，是 极大值，点 因为f(-1）P0)=0f()=1(1+东)六+ 8证=n(+）厂6<0， 所以3，∈(-1云）f)=0 所以x是f(x)在(0，十)上唯一的零点. (2)(i)因为g(t)=f(x1+t)-f(x1-t), 所以g'(t)=∫(x1十t)+f(x1-t) =二3(+) 1+x+t (x+1-x)+-3-) 1+5-1(x-t-西) 一件 6kt (--21) (1+x1)2-t2 因为t∈(0，x1), 所以t-x-2x1<0,(1+x1)-t>0, 所以g)=6rr--2x)<0. (1+x1)2- 即g(t)在区间(0，x1)上单调递减. (i)由(1)得，g(t)在(0，x1)上单调递减， 所以g(x1)<g(0), g(x1)=f(2x1)-f(0), g(0)=f(x1)-f(x1)=0 ∴f(2x1)-f(0)<f(x1)-f(x1)=0, 又f(0)=0,所以f(2x1)<0, 因为xg是f(x)的零，点，所以f(xg)=0, 所以f(2x1)<f(x), 又x>x1,2x1>x1,且f(x)在(x1·十∞)上单调递减， 所以2x1>x2. 跟踪训练1.π2.D §3.4函数中的构造问题 跃升·关键能力题型1[例1](1)B(2)B 跟踪训练AD 题型2[例2](1)B(2)D 跟踪训练(3，十∞) 题型3[例3]CD 跟踪训练（至，x） 题型4[例4](1)A(2)B 跟踪训练D §3.5函数中的综合问题 跃升·关键能力题型1 [例1][解](1)f(x)的定义城为R,(x)=1二 e 所以当x<1时，(x)>0;当x>1时，f'(x)<0. 所以f(x)的增区间为（一∞，1），减区间为(1，十∞). (2)读证f)≤e-1,脚证若≤e-1,令Ax)= -e 十1，即证h(x)0. ()=1-1c心，令m(x)=1-工-e2,则m'(x)=-1 e -2er<0,所以m(x)在R上单调递减，又m(0)=0, .当x<0时m(x)>0,h'(x)>0:当x>0时，m(x)0, h'(x)<0. ∴h(x)在（一0,0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， h(r)≤h(0)=0,所以工≤e-1,即f(x)≤e-1得证. (3)当0≤a≤号时g(0)=2a-4a=2a(1-2a)≥0，即存 在=0满足题意：当。>分时，由(2)知， g(x)=f(x）-er+2ae2-4a2+1≤(e-1)-e2r+2ae -4a2+1 =-产+(2a+1c-4=-(e-2a) (6a+1)1-2a2≤(6a+1D0-2a）<0, 4 4 ',此时g(x)<0恒成立，不满足题意； 综上，所以a的最大值为2 78§3.4函数中的构造问题 ★[考试要求] 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解 答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒 成立等问题 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 利用f(x)与x构造函数 跟踪训练 [例](1)已知f(x)是定义在R上的偶 [多选]已知函数f(x)是定义在R上的奇 函数，当x>0时，xf(x)+2f(x)>0恒 函数，f(x)是f(x)的导函数，当x≥0 成立，则 时，f(x)-2x>0,且f(1)=3,则f(x) A.f(1)<4f(2)B.f(-1)<4f(-2) >x2+2的解集是 C.16f(4)<9f(3)D.4f(-2)>9f(-3) A.(-1,0)U(1,+o∞) 题型2 利用f(x)与e构造 B.(-∞，-1)U(1,+∞) [例2](1)已知定义在R上的函数f(x) C.(-1,0)U(0,1) 满足f(x)<f(x)一2，则 D.(-∞，-1)U(0,1) A.f(2026)-ef(2025)<2(e-1) B.f(2026)-ef(2025)>2(e-1) (2)已知函数f(x)的定义域为（一∞，0）， C.f(2026)-ef(2025)>2(e+1) f(-1)=一1，其导函数f(x)满足 D.f(2026)-ef(2025)<2(e+1) xf(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2025) (2)f(x)是定义在R上的函数，满足 +(x+2025)2<0的解集为 2f)+f)=心，f(-1D=-2,则 A.(-2026,0) 下列说法正确的是 ( B.（-2026,-2025) A.f(x)在R上有极大值 C.(-∞，-2026) B.f(x)在R上有极小值 D.(-∞，-2025) C.f(x)在R上既有极大值又有极小值 规律方法 D.f(x)在R上没有极值 规律方法 (1)出现nf(x)十xf'(x)形式，构造函数 (1)出现f'(x)十nf(x)形式，构造函数 F(x)=x”f(x); F(x)=ef(x); (2)出现xf(x)一nf(x)形式，构造函数 (2)出现f(x)一nf(x)形式，构造函数 F(z)=f(z) F(z)=f(z) e 51 1跟踪训练 0跟踪训练 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x) 函数f(x)定义域为(0，π)，其导函数是 十f(x)>0,且有f(3)=3,则f(x)> f(x),当(0，π)时，有f(x)sinx-f(x) 3e3-x的解集为 cosx<0,则关于x的不等式f(x)< 题型3利用f(x)与sinx、cosx构造 2f )sinx的解集为 [例3][多选]定义在0，上的函数 题型4 构造具体函数关系 f(x),已知f(x)是它的导函数，且恒有 [例4] (1)设a= 1 10,c 2,则 cosx·f'(x)+sinx·f(x)<0成立， ( 则有 A.c<b<a B.c<a<b A.ff到 C.b<c<a D.b<a<c (2)已知e是自然对数的底数，a= }>f 2ln√元 b=e sinn2,则 () e c. A.a>b>c B.c>a>b ff C.a>c>b D.b>c>a 规律方法 规律方法 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜 函数f(x)与sinx,cosx相结合构造可 明的结构特点，然后依据此特点构造新函 导函数的几种常见形式 数.常用的不等式：sinx<x<tanx F(x)=f(x)sin x, F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x; 0<<}ln(x+1<x(>0),lnx≤ F(x)=f(z) x-1≤x2-x(x>0),e≥x+1,e≥ex sin x >x(x>0) B(r)-P()sin af(a)cos; 跟踪训练 sinx F(x)=f(x)cos x, 已知a-sm晋6-1n多c-2则() F'(x)=f'(z)cos z-f(x)sin x; A.>b>c B.c>a>b F(x)=f(z) C.c>b>a D.a>c>b cos x ()=f(a)cos z+f(r)sin ©温馨提今 cos'z 学习至此，请完成配套训练课时冲关19 52