3.3 导数与函数的极值、最值-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

题型3 函数单调性的应用 (2)f(x)单调递增（减）的充要条件是对 D[角度1] 比较大小或解不等式 任意的x∈(a,b)都有f(x)≥0 (f(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子 [例3-1] (1)设a= 。,6=n2 In 3 2,c 3 区间上，(x)不恒为零，应注意此时式 子中的等号不能省略，否则会漏解. 则 ( (3)函数在某个区间上存在单调区间可转 A.b<a<c B.c<a<b 化为不等式有解问题 C.c<b<a D.b<c<a 跟踪训练 (2)已知函数f(x)=3x-sinx,若f(a) +十f(a2-2)>0,则实数a的取值范围为 1.已知函数f(x)=mx-专，设a f(log32),b=f(logo.20.5),c=f(1n4), 则a,b,c的大小关系为 () >[角度2]根据函数单调性求参数 A.c>a>b B.a>c>b [例3-2]已知函数f(x)= 2+2ax C.b>c>a D.c>b>a 2.(2024·新课标Ⅱ卷，T1)设函数f(x)= n,若f)在区间[2]上单调递增， 2x3-3a.x2+1,则 则实数a的取值范围为 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 …规律方法 C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对 根据函数单调性求参数的一般思路 称轴 (1)利用集合间的包含关系处理：y= D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y= f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是 f(x)的对称中心 ©温馨提西 相应单调区间的子集， 学习至此，请完成配套训练课时冲关17 §3.3 导数与函数的极值、最值 ★[考试要求] 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大 值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 小，f'(a)=0;而且在点x=a附近的左 1.函数的极值 侧 ,右侧 ,则a叫做 (1)函数的极小值 函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a) 比它在点x=a附近其他点的函数值都 数y=f(x)的极小值. 48 (2)函数的极大值 3.极值有可能是最值，但最值只要不在区间 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b) 端点处取得，其必定是极值 比它在点x=b附近其他点的函数值都 自主诊断查验 大，f(b)=0:而且在点x=b附近的左 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 侧 ,右侧 ,则b叫做 “√”或“X”) 函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函 (1)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值. 数y=f(x)的极大值。 ( (3)极小值点、极大值点统称为 ,极 (2)函数的极小值一定是函数的最小值. 小值和极大值统称为 ( 2.函数的最大（小）值 (3)函数的极小值一定不是函数的最大值. (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的 条件： (4)函数y=f'(x)的零点是函数y=f(x) 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图 的极值点 象是一条 的曲线，那么它 2.[多选]如图是导函数 必有最大值和最小值， y=f(x)的图象，则 y=f(x) (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大（小） 下列说法正确的是 10 值的步骤： ( ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 A.(3,5)为函数y=f(x)的单调递减 区间 ②将函数y=f(x)的各极值与 B.(4,5)为函数y=f(x)的单调递增 比较，其中最大的一 区间 个是最大值，最小的一个是最小值· C.函数y=f(x)在x=3处取得极大值 知识拓展用活 D.函数y=f(x)在x=4处取得极小值 1.对于可导函数f(x),f'(xo)=0是函数 3.函数f(x)=lnx-x在区间(0，e]上的最 f(x)在x=x。处有极值的必要不充分 大值为 ()》 条件. A.1-e B.-1 2.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个 C.-e D.0 极值点，则该极值点一定是函数的最 4.若函数f(x)=e+ax在x=2处取得极 值点. 值，则a= 跃升，关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 利用导数求解函数极值问题 B.在（一∞，1）上单调递减 ●[角度1]求已知函数的极值 C.有极大值三，无极小值 [例1-已知-延则) D.有极小值三，无极大值 A.在（一∞，十∞）上单调递增 49 [角度2]已知函数的极值（点）求参数 (i)设函数g(t)=f(x1十t)一f(x1一t), [例1-2]若函数f(x)=x(x-c)2在x 证明：g(t)在区间(0，x,)单调递减； =一2处有极小值，则c= ( (ⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的 A.-6 B.-2 结论 C.-6或-2 D.-4 规律方法 求函数f(x)极值这类问题的一般解题 步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f(x); ③解方程f(x)=0,求出函数定义域 内的所有根；④列表检验f'(x)在 f(x)=0的根x。左右两侧值的符号， 如果左正右负，那么f(x)在x。处取极 大值，如果左负右正，那么f(x)在x。 处取极小值. 跟踪训练 规律方法 2x2-ax(x>0)在 12 函数f(x)=lnx十 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小 值的步骤 [合3上有且仅有一个极值点，则实数a (1)求函数在(a,b)内的极值. 的取值范围是 ( (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b). B[9 (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比 较，其中最大的一个为最大值，最小的 c(] [] 个为最小值 跟踪训练 题型2 利用导数求函数的最值 1.已知函数f(x)=x-√2sinx,x∈[0，π]， [例2] (2025·全国二卷)已知函数f(x) 则f(x)的最大值为 =ln(1+x)-x+ 合-r,其中0<及 2.已知函数f(x)=a+lnx在区间[1，e] x 上的最小值为，则口的值为 (1)证明：f(x)在区间(0，+∞)存在唯一 A.1 c D.e 的极值点和唯一的零点； (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0， ©温攀提 学习至此，请完成配套训练课时冲关18 +∞)的极值点和零点. 50§3.2导数与函数的单调性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.单调递增单调递减常数函数2.定义域零点 自主诊断查验 1.(1)√(2)×(3)/(4)/2.D3.e-24.1 跃升·关键能力题型1 [例1] (-,受)和(0受) 跟踪训练B 题型2 [例2][解]()当a=合时，x)=nx+合x-合 2 22, 求学得f(x)=是十x-2 1 2 则f(1)=3 f1)=0,即切点为(1,0)， 切线的斜率为之· 3 所以切线方程为y-0=号(z-1),即3x一2y3=0 （2)函数1x)=lnx+2d-ar的定义城为0，十o) 求号得fx)=+x-a… 百a≤2时，f(x)=+xa≥2a≥0 则函数f(x)在(0，十∞)上单调递增： 当a>2时，由f(x)=1+x-a=x-ax+1=0, x x 得x,=0二a4 2 ,=十匠4 2 由∫(x)>0,得0<x<x1或x>x2,由f'(x)<0,得 x1<x<x2, 因此函数f(x)在(0，x1),(x2,十∞)上单调递增， 在(x1,x2）上单调递减， 所以当a≤2时，函数f(x)在(0，十co)上单调递增： 上单调递增，在 2 递减 跟踪训练 解：因为g(x)=lnx十a.x2-(2a十1)x, 所以g(x)=2ax-(2a+1Dx+1 =(2a.x-1)(x-1) 由题意知函数g(x)的定义域为(0，十∞)， 21 若<1,即a> 由g(x)>0得x>1或0<x<2a <x<1, 由g(x)<0得2a 所以画数g)在(0)1，+∞)上单调递增. 在(a)上单调递减： 若>1脚0<a< 由R(>0得>六或0<<1. 由R)<0得1K<云 所以画教g)在(0,1（品十）上单调递增， 在(1，a)上单调递减： 若=1，即a=7,则在(0，+∞)上恒有g()20, 2 所以函数g(x)在(0，十○)上单调递增. 1 综上可得，当0<a<2时，函数g（x)在(0,1)， (a+∞）上单调递增，在(1，云)上单调递减： 当a=2时，函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， 当a>号时，函数g(z)在(0，品）1，十∞)上单润运 增，在（品）上单润递减。 题型3[例3-1](1)D(2)(-c∞，-2)U(1,+∞) [例3-2] [合+∞） 跟踪训练1.A2.AD §3.3导数与函数的极值、最值 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x)<0f(x)>0(2)f(x)>0f(x)<0 (3)极值点极值2.(1)连续不断(2)极值端点处的 函数值f(a),f(b) 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)×2.AC3.B4.-e 跃升·关键能力题型1[例1一1]C [例1-2]A 跟踪训练2.B 题型2 [例2][解] (D因为f()=n1+x)-x+22 x,∈(0，号） 所以f(x)=1十x 1 1+x-3kx =1-1-x十x+x-3kx2-3kx 1+x (+1-) 当x>0时，令了（)=0，解得x=-1>0, 所以当0K<证-1时，f)>0fx)单洞递掉：当立 >-1时，f)0,)单调延支. 所以x=3-1是f八x)在(0，+o)上唯一的极值点，是 极大值，点 因为f(-1）P0)=0f()=1(1+东)六+ 8证=n(+）厂6<0， 所以3，∈(-1云）f)=0 所以x是f(x)在(0，十)上唯一的零点. (2)(i)因为g(t)=f(x1+t)-f(x1-t), 所以g'(t)=∫(x1十t)+f(x1-t) =二3(+) 1+x+t (x+1-x)+-3-) 1+5-1(x-t-西) 一件 6kt (--21) (1+x1)2-t2 因为t∈(0，x1), 所以t-x-2x1<0,(1+x1)-t>0, 所以g)=6rr--2x)<0. (1+x1)2- 即g(t)在区间(0，x1)上单调递减. (i)由(1)得，g(t)在(0，x1)上单调递减， 所以g(x1)<g(0), g(x1)=f(2x1)-f(0), g(0)=f(x1)-f(x1)=0 ∴f(2x1)-f(0)<f(x1)-f(x1)=0, 又f(0)=0,所以f(2x1)<0, 因为xg是f(x)的零，点，所以f(xg)=0, 所以f(2x1)<f(x), 又x>x1,2x1>x1,且f(x)在(x1·十∞)上单调递减， 所以2x1>x2. 跟踪训练1.π2.D §3.4函数中的构造问题 跃升·关键能力题型1[例1](1)B(2)B 跟踪训练AD 题型2[例2](1)B(2)D 跟踪训练(3，十∞) 题型3[例3]CD 跟踪训练（至，x） 题型4[例4](1)A(2)B 跟踪训练D §3.5函数中的综合问题 跃升·关键能力题型1 [例1][解](1)f(x)的定义城为R,(x)=1二 e 所以当x<1时，(x)>0;当x>1时，f'(x)<0. 所以f(x)的增区间为（一∞，1），减区间为(1，十∞). (2)读证f)≤e-1,脚证若≤e-1,令Ax)= -e 十1，即证h(x)0. ()=1-1c心，令m(x)=1-工-e2,则m'(x)=-1 e -2er<0,所以m(x)在R上单调递减，又m(0)=0, .当x<0时m(x)>0,h'(x)>0:当x>0时，m(x)0, h'(x)<0. ∴h(x)在（一0,0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， h(r)≤h(0)=0,所以工≤e-1,即f(x)≤e-1得证. (3)当0≤a≤号时g(0)=2a-4a=2a(1-2a)≥0，即存 在=0满足题意：当。>分时，由(2)知， g(x)=f(x）-er+2ae2-4a2+1≤(e-1)-e2r+2ae -4a2+1 =-产+(2a+1c-4=-(e-2a) (6a+1)1-2a2≤(6a+1D0-2a）<0, 4 4 ',此时g(x)<0恒成立，不满足题意； 综上，所以a的最大值为2 78