3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

第三章 一元函数的导数及其应用 §3.1导数的概念及其意义、导数的运算 ★[考试要求] 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能 够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如f(ax十b) 的导数. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 以备知识掌握 4.导数的运算法则 1.导数的概念 若f(x),g(x)存在，则有 (1)函数y=f(x)在x=x。处的导数记作 [f(x)±g(x)]' 或 [f(x)g(x)]'= (o)=limAY=lim f(xo十△x)-f(xo) △x -tooro [g(x)] (2)函数y=f(x)的导函数 (g(x)≠0)； f'(x)=limf(x+Ar)-f(x) △x [cf(x)]'= 2.导数的几何意义 5.复合函数的定义及其导数 函数y=f(x)在x=x。处的导数的几何 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= 意义就是曲线y=f(x)在点P(xo, f(u),u=g(x)的导数间的关系为y',= f(xo)处的切线的 相应的切 ,即y对x的导数等于y对u的 线方程为 导数与u对x的导数的乘积. 3.基本初等函数的导数公式 自主诊断查验 基本初等函数 导函数 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 f(x)=c(c为常数) f(x)= “/”或“X”) f(x)=x"(a∈Q,且a≠0) f(x)= (1)f(xo)是函数y=f(x)在x=x。附近的 f(x)=sin x f(x)= 平均变化率. f(x)=cos x f(x)= (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲 f(x)=a(a>0,且a≠1) f(x)= 线的切线。 ( f(x)=e" f(x)= (3)f(xo)=[f(xo)]'. () f(.x)=logx(a>0,且a≠1)f(x)= (4)若fx)=sin(-x),则f(x)=cos（-x). f(x)=In x f(.x)= 44 2.若函数fx)=nx-2x+1,则f{2} A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x·ln2-y-1=0 A.0 B c D.号 D.x·ln2-y+1=0 3.已知函数f(x)=2,则函数f(x)的图象 4.已知函数f(x)=ln(3-2x)+cos2x,则 在点(0，f(0))处的切线方程为( f(0)= 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 导数的计算 [角度2]求参数的值（范围） [例2一2](2025·全国一卷)若直线y= [例1] (1)[多选]下列求导运算正确的是 2x+5是曲线y=e+x十a的一条切线， ( 则a= A.( [角度3]切线的应用 [例2一3]设点P在曲线y=e上，点Q在直 B.(x2e)'=2x+e c[osf2r-]=-sin2r-引 线y=x上，则IPQ的最小值为() A. 1 B. 2 D.(--1+ e+1 e+1 C. e D.3 (2)函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)= e+1 √e+1 +fm则f 规律方法 利用导数求切线方程的一般过程 跟踪训练 已知曲线y=f(x)过点P(xo,y),求曲 1.[多选]下列求导数运算正确的是( 线过点P的切线方程，需分点P是切点 A.(2025)'=x2025-1 和不是切点两种情况求解： B.（x2+1og2x）/-2025x2a十xn2 1 1.若P(xo,yo)是切点，则曲线的切线方 程为y-=f(x0)(x-x); cos x sin'x-cos'x 2.若P(x,y)不是切点，则分以下几个 sin x sin'x 步骤： D.(x23)=2x3+x3x1n3 (1)设出切点坐标P(x1y1). 2.已知函数f(x)=e2r+f(0)ln(x+4),则 (2)写出过P(x1y1)的切线方程y一y1 f'(0)= =f(x1)·(x-x1). 题型2 导数的几何意义 (3)将点P(xo,y)的坐标代入切线方程 [角度1]求切线方程 求出x1 [例2-1]曲线y=lnx过坐标原点的两 (4)将x1的值代入方程y-y1=f(x1) 条切线的方程为 (x一x1)得到所求切线方程. 45 1跟踪训练 规律方法 若曲线y=3(x2一x)e-1在点(1,0)处的 公切线问题，应根据两个函数在切点处 切线与y=ax十2平行，曲线y=1n在 的斜率相等，且切点既在切线上又在曲 x+1 点(1,0)处的切线与直线x一by+1=0垂 线上，列出有关切点横坐标的方程组， 直，则a十b= 通过解方程组求解.或者分别求出两函 两曲线的公切线 数的切线，利用两切线重合列方程组 题型3 求解， [例3](1)已知点P是曲线y=xe与曲 线y=ex的公共点，则两曲线在点P处 跟踪训训练 的公共切线方程是 已知曲线y=e在点(x1,y1)处的切线与 A.y=0 曲线y=lnx在点(x2,y2)处的切线相 B.2ex-y-e-0 同，则(x1十1)(x2一1)= C.y=0或2ex-y-e=0 A.-1 B.-2 D.y=0或ex-y-1=0 C.1 D.2 (2)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2: ©温馨提 y=e存在公共切线，则a的取值范围为 学习至此，请完成配套训练课时冲关16 §3.2 导数与函数的单调性 ★[考试要求] 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域 1.函数的单调性与导数的关系 划分为若干个区间，列表给出f(x)在各 条件 恒有 区间上的正、负，由此得出函数y=f(x) 结论 在定义域内的单调性。 f(x)在区间(a,b)上 f'(x)>0 知识拓展用活 函数y= f(x)在区 f(x)在区间(a,b)上 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则x∈ f'(x)<0 间(a,b)上 (a,b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x) 可导 在(a,b)上单调递减，则x∈(a,b)时， f(x)在区间(a,b)上 f(x)=0 是 f(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区 2.利用导数判断函数单调性的步骤 间，则x∈(a,b)时，f(x)>0有解；若函 第1步，确定函数的 数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间，则 第2步，求出导数f'(x)的 x∈(a,b)时，f'(x)<0有解. 46(2,x<0 其因象可由y=(合)的图象保窗 x≥0时的图象，然后将该部分关于y 0 轴对称得到， x-1 则（合）】 一1的图象如图所示. 跟踪训练 解：(1)设m(x)=y =2-2x+1+ m(x) -x,x<0, 一x十2,0<x1, 0 x,x>1, 其图象如图」 (2)当x≥2，即x-2≥0时，y= (x-2)(x+1)=x2-x-2= <0时，y=-(x-2)(x+1)=-x ++2=-(-)+是 e-)-≥2. ∴.y 这是分段函数，每段函 -(-2)+是<2 数的图象可根据二次函数图象作出（如图）， 题型2[例2]D 跟踪训练A 题型3[例3-1]ABD[例3-2]D[例3-3]B 跟踪训练1.ABD2.C §2.9函数的零点与方程的解 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f.x)=0(2)零点x轴(3)f(a)·fb)<0(a,b) f(c)=02.f(a)·fb)<0一分为二函数f(x)的零点 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.C3.C4.0和√2 跃升·关键能力题型1[例1](1)B(2)A 跟踪训练1.B2.2 题型2[例2](1)B(2)3 跟踪训练1.B2.C 题型3[例3-1]D [例3-2]B 跟踪训练1.A2.BD 21 热点强化课1嵌套函数的零点 [典例]A 跟踪训练C §2.10函数模型的应用 复盘·必备知识必备知识掌握 2,增函数增函数增函数越来越快越来越慢 y轴x轴 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.D3.C4.18 跃升·关键能力题型1[例1]ABC 跟踪训练AD 题型2[例2]B 跟踪训练C 题型3 [例3]1)d=30+u+2060≤u区33.3) (2)20m/s 跟踪训练C 第三章一元函数的导数及其应用 §3.1导数的概念及其意义、导数的运算 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x)y1x=。2.斜率y-f(x)=(x)(x一) 3.0 ax"cos x-sin x a'ln a e zlnd 11 4.f'(x)+g'(z)f(z)g(z)+f(x)g'(z)cf(z) 5.y。·u' 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.A3.D4.- 2 3 跃升·关键能力题型1[例1](1)AD(2)+ 2π 36 3 跟踪训练1.BD么.令 题型2 [例2-刀y=名：y=-x[例2-2习4 [例2-3]B 跟踪训练之 5 题型3[例3]1)B(2)[,+∞） 跟踪训练B 6