2.5 二次函数与幂函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

§2.5二次函数与幂函数 ★[考试要求] 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律，2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、 对称性、顶点、最值等)。 复盘必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (2)二次函数的图象和性质 1.幂函数 y-ax2+bx+c y=ax2+bx+c 函数 (1)幂函数的定义 (a>0) (a0) 一般地，函数 叫做幂函数，其中 图象 (抛物 x是自变量，a为常数， 线) (2)常见的五种幂函数的图象 定义域 R 值域 T4ac-,+∞ Aa 对称轴 =品 (3)幂函数的性质 顶点 b 4ac-b2 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义； 坐标 2a4a ②当α>0时，幂函数的图象都过点 当b=0时是偶函数，当b≠0时是 奇偶性 和 ,且在(0，+∞)上单调 非奇非偶函数 递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点 在（∞]上在（]上 ,且在(0，+∞)上单调递减； 单调递 单调递 单调性 ④当a为奇数时，y=x为 在 【会+∞）上在【+)上 当a为偶数时，y=x为 单调递 单调递 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 知识拓展用活 一般式：f(x)= 一元二次不等式恒成立的条件 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶 (1)“ax2+bx十c>0(a≠0)恒成立”的充要 点坐标为 条件是“a>0且△<0”. 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a千 (2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要 0),x1,x2为f(x)的 条件是“a<0且△<0”. 25 自主诊断查验 2.已知幂函数f(x)=k·x“的图象过点 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 1② ,则k十a等于 22 “/”或“X”) 1)函数y=x是幂函数 A.2 B.1 c D.2 3.函数f(x)=2x2-x-1(-1≤x≤1)的值 (2)若幂函数y=x“是偶函数，则α为偶数. 域是 ) ( A.[0,1 (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x a[- 轴下方，则a<0且△<0. ( C.[1,2] D.2 (4)若二次函数y=ax2十bx十c的两个零 4.已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y= 点确定，则二次函数的解析式确定 f(x)在区间[一4,6]上是单调函数，则实 数a的取值范围为 跃升，关键能力 核心考点分类突破 题型1 幂函数的图象与性质 规律方法 [例1](1)下列命题中正确的是( 幂函数的性质与图象特征的关系 A.当m=0时，函数y=x"的图象是一 (1)幂函数的形式是y=x(a∈R),其中 条直线 只有一个参数α，因此只需一个条件 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1) 即可确定其解析式. 两点 (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大， C.幂函数y=x”图象不可能在第四象 函数图象越靠近x轴（简记为“指大图 限内 低”)，在区间(1，十∞)上，幂函数中指 D.若幂函数y=xm为奇函数，则y=x” 数越大，函数图象越远离x轴. 是定义域内的严格增函数 (3)当a>0时，幂函数y=x“在(0，十∞) (2)若四个幂函数y=x“,y=x,y=x, 上单调递增，当α<0时，幂函数y= y=x,在同一平面直角坐标系中的图象 x“在(0，十o∞)上单调递减. 如图所示，则a,b,c,d的大小关系是 跟踪训练 [多选]已知f(x)=x“(a∈R),则下列说 法正确的是 () A.当a=一1时，f(x)的值域为R 一y=x9 B.当a=3时，f(π)>f(3) 0 A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.当a=2时2)是偶函数 C.d>c>a>b D.a>b>d>c D.当e=时，f()是奇函数 26 题型2 二次函数的解析式 >[角度2]二次函数的单调性与最值 [例2]已知二次函数f(x)满足f(2)=一1， [例3-2]（1)设二次函数f(x)=a.x2 f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8，试 2ax+c在区间[0,1]上单调递减，且 确定此二次函数的解析式. f(m)≤f(0),求实数m的取值范围； (2)已知函数f(x)=x2+2ax+1,求 f(x)在区间[一1,2]上的最大值. 规律方法 规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数 求解二次函数的单调性及最值的策略 法，其关键是根据已知条件恰当选择二次 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方 函数解析式的形式，一般选择规律如下： 向与对称轴的位置，若开口方向或对称 三点坐标 →宜选用一般式 轴的位置不确定，则需要分类讨论求解. 顶点坐标 (2)解决二次函数最值的方法，抓住“三点 对称轴 宜选用顶点式 一轴”数形结合，“三点”是指区间两个 知 最大（小）值 端点和中点，“一轴”指的是对称轴，可 与x轴两交点坐标→宜选用零点式 用下面的思维流程图表示： 0跟踪训练 看已知 图象开口方向，区间，对称轴 写出一个同时具有下列四个性质中的三 定类型 轴定区间定 轴动区间定 个性质的二次函数：f(x)= ①f(x)的最小值为-1；②f(x)的一次项系 抓关键 画草图，确定对称轴与区间的关系 数为-4；③f(0)=3;④f(x)=f(-x+2) 解答 利用分类讨论思想求解 题型3 二次函数的图象与性质 ◆[角度1]二次函数的图象 0跟踪训练 [例3-1][多选]函数f(x)=ax2-2x+1 1.已知函数f(x)=a,x2+(a-3)x+1在区 与g(x)=x“在同一直角坐标系中的图象 间[-1，十∞)上单调递减，则实数a的取 不可能为 值范围是 A.[-3,0) B.(-∞，-3] C.[-2,0] D.[-3,0] 2.函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上 的值域为[一2,2]，则b-a的取值范围是 ©温馨提西 学习至此，请完成配套训练课时冲关10 D 27§2.4函数的周期性与对称性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x+T)=f(x)(2)最小最小正数 2.(2)(a,0)(3)x=a(a,0) 3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 自主诊断查验 1.(1)/(2)/(3)×(4)×2.B3.BC4.0 跃升·关键能力题型1[例1](1)D(2)A 跟踪训练C 题型2[例2-1]D [例2一2]BD 跟踪训练B 题型3[例3]C 跟踪训练A §2.5二次函数与幂函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)y=x(3)(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数 2.(1)a.x2+bx十c(a≠0)(m,n)零点(2)减增增减 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)×2.C3.D 4.(-∞，-6]U[4,+∞) 跃升·关键能力题型1[例1](1)C(2)B 跟踪训练BC 题型2 [例2]f(x)=-4.x2+4x+7 跟踪训练 x2-4.x+3或2x2-4x十1或4.x2-8.x+3或2x2-4.x十 3.(不唯一) 题型3[例3一1]BD [例3-2](1)[0,2] 4a+5,a>- 2, (2)f(x)m 2-2a,a≤- 1 跟踪训练1.D2.[2,4] §2.6指数与指数函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)x(2)根式(3)aa2.03.a+a”a'b 4.(2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1 增函数减函数 自主诊断查验 1.(1)×(2)/(3)×(4)×2.B3.A4.√2 跃升·关键能力题型1[例1]BD 跟踪训练BC 题型2[例2]AD 跟踪训练ABD 题型3[例3-1]C [例3-2】aB(②)号 [例3-3] (1)g(x)=a-a (2)-1 跟踪训练1.D2.ACD §2.7对数与对数函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.对数N log,M log.N log,M log.N2.(0,+o∞) (1,0)增函数减函数3.y=log.y=x 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/2.B3.44.g(x)=2 跃升·关键能力题型1[例1](1)AC(2)2 跟踪训练AD 题型2[例2](1)ABD e( 跟踪训练D 题型3[例3-1]A[例3-2](2，+∞) [例3-初C[例3-41【-1，号] 跟踪训练1.B2.C §2.8函数的图象 复盘·必备知识必备知识掌握 2.(1)f(x)-k(2)fa.x)afx)(3)-f(x)f-x) -f(-x)log.x(a>0且a≠1)(4)lf(.x)lf(lxl) 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C3.C4.e+ 跃升·关键能力题型1 [例1][解](1)原函数解析式可 化为y=2十 故函数图泉可 1 由函数y= 的图象向右平移1 x 0 123x 个单位长度，再向上平移2个单 位长度得到，如图所示。 2y=(2) -1,共图象可看作由画数y=(合)》 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长 度得到， 275