2.4 函数的周期性与对称性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（苏教版）

题型2 函数奇偶性的应用 (2)求解析式：将待求区间上的自变量转 》[角度1门利用函数的奇偶性求值 化到已知区间上，再利用奇偶性求出 [例2-1](2025·全国一卷)已知f(x)是定 解析式. 义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3 (3)求解析式中的参数：利用待定系数法 时)-5-2x,则-) 求解，根据f(x)士f(一x)=0得到关 于参数的恒等式，由系数的对等性得 c D.2 出参数的方程或方程（组），进而得出 参数的值 [角度2]利用函数的奇偶性求解析式 [例2-2]已知f(x)为R上的奇函数，当 跟踪训练 x>0时，f(x)=x3+2x+1,则x<0时， 1.(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R f(x)的解析式为 ( 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2- A.f(x)=-x3-2x-1(x<0) 3)e+2,则 B.f(x)=-x3-2.x+1(x<0) A.f(0)=0 C.f(x)=x3+2x-1(x<0) B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 D.f(x)=-x3+2x+1(x<0) C.f(x)≥2当且仅当x≥3 [角度3]利用函数的奇偶性求参数 D.x=一1是f(x)的极大值点 [例2一3]已知函数f(x)是定义在R上 2.已知函数f(x)=ax3十bx十1，若f(2)= 的奇函数，且x≤0时，f(x)=2.x2-3x+ 4,则f(-2)= ( m,则f(1)= A.-4 B.-2 C.0 D.2 规律方法… 3.设a∈R,函数y=f(x)是奇函数.若f(1) 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 e“-3,f(-1)=1,则a= (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化 ©温馨提 为已知区间上的函数值求解， 学习至此，请完成配套训练课时冲关8 §2.4函数的周期性与对称性 ★[考试要求] 1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式 和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零 1.函数的周期性 常数T叫做这个函数的周期。 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所 有周期中存在一个 的正 为A,如果存在一个非零常数T,使得对每 数，那么这个 就叫 一个x∈A都有x+T∈A,且 做f(x)的最小正周期. 22 2.奇函数、偶函数的对称性 (2)函数y=f(x+1)是偶函数，则函数y= (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x), f(x)关于直线x=1对称， () 则函数的图象关于直线x=a对称； (3)函数y=f(x一1)是奇函数，则函数y= (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a十 f(x)关于点(1,0)对称. () x),则函数的图象关于点 对称. (4)若函数f(x)满足f(x一1)+f(x+1)=0, (3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象 则f(x)关于y轴对称. ) 的对称轴为 ;若f(x十a)是奇 2.函数y=f(x)与函数y=f(一x)的图象 函数，则函数f(x)图象的对称中心为 关于 对称 ( A.x轴 B.y轴 3.两个函数图象的对称 C.坐标原点 D.不能确定 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 3.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足 对称： f(2+x)=f(-x),且当x≥1时，f(.x) (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于 =lnx,则 对称； A.f(-1)<f(0) (3)函数y=f(x)与y=一f(一x)的图象关 B.f(-1)>f(0) 于 对称。 C.f(0)=f(2) 自主诊断查验 D.f(0)<f(2) 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打 4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任 “”或“X”) 意实数x,恒有f(x+4)=f(x).当x∈ (1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈ [0,2]时，f(x)=2x-x2,则f(2026)= N)也是函数f(x)的一个周期.( 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 函数的周期性 规律方法 [例1] (1)定义在R上的函数f(x)满足 函数周期性的判定与应用 f(x十1)=f(x)一2，则下列是周期函数 (1)判断函数的周期性只需证明f(x十 的是 ( T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是 A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x 周期函数，且周期为T,函数的周 C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x 期性常与函数的其他性质综合 (2)已知f(x)是定义域为（一∞，十∞）的奇 命题. 函数，满足f(x)=f(2-x),若f(1)=1,则 (2)根据函数的周期性，可以由函数局部 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+ 的性质得到函数的整体性质，在解决 f(2026)= 具体问题时，要注意结论：若T是函 A.1 B.0 数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是 C.1013 D.2026 函数的周期 23 0跟踪训练 (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+ 台f(a+x)+f(a-x)=2b台2b-f(x) 2)f(x)=1,若f(1)∈(1,2)，则f(2027) f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a十 的取值范围为 x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关 A.(-2,-1) B.[1,4] 于点 a十b,成中心对称. 22 c.2 ( 跟踪训练 题型2 函数的对称性 已知函数y=f(x十1)与y=g(x)的定义域 [角度1] 轴对称 均为R,且它们的图象关于x=1对称，若奇 [例2一1]已知定义在R上的函数f(x), 函数g(x)满足g(x)=g(2一x),下列关于函 对Hx∈R,都有f(x十2)=一f(x)+2, 数f(x)的性质说法不正确的有 ( 若函数f(x一1)的图象关于直线x=1对 A.f(x)关于x=2对称 称，则f(2027)= ( B.f(x)关于点(4,0)对称 A.-2 B.-1 C.2 D.1 C.f(x)的周期T=4 [角度2]中心对称 D.f(2027)=0 [例2一2][多选]函数y=f(x)的图象关 题型3 两个函数图象对称 于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件 [例3] 设函数y=f(x)的定义域为R,则 是y=f(x十a)一b为奇函数，下列结论正 函数y=f(x-3)与函数y=f(1一x)的 确的是 图象关于 A.函数f(x)=ax+b没有对称中心 A.直线x=-1对称B.直线x=一2对称 B.函数)=2十的对称中心为(-1,2) C.直线x=2对称 D.直线x=1对称 x+1 规律方法 C.函数f(x)=x3一2x2的对称中心的横 函数y=f(a十x)与函数y=f(b一x)图 坐标为 象关于直线x b一a对称。 2 D.定义在[一3,3]的函数f(x)的图象关 于点(0，一1)成中心对称.当0≤x≤3 跟踪训练 时，f(x)=x2一2x一3，则f(x)的值域 已知y=f(x十4)是定义域为R的奇函 为[-4,2] 数，y=g(x-2)是定义域为R的偶函数， 规律方法 且y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴 对称，则 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称台f(x)=f(2a-x)台f(a-x) A.y=f(x)是奇函数 B.y=g(x)是偶函数 =f(a十x); C.y=f(x)关于点(2,0)对称 若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b D.y=g(x)关于直线x=4对称 一x),则y=f(x)的图象关于直线x =a十b对称. ©温馨提 2 学习至此，请完成配套训练课时冲关9 24§2.4函数的周期性与对称性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x+T)=f(x)(2)最小最小正数 2.(2)(a,0)(3)x=a(a,0) 3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 自主诊断查验 1.(1)/(2)/(3)×(4)×2.B3.BC4.0 跃升·关键能力题型1[例1](1)D(2)A 跟踪训练C 题型2[例2-1]D [例2一2]BD 跟踪训练B 题型3[例3]C 跟踪训练A §2.5二次函数与幂函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)y=x(3)(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数 2.(1)a.x2+bx十c(a≠0)(m,n)零点(2)减增增减 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)×2.C3.D 4.(-∞，-6]U[4,+∞) 跃升·关键能力题型1[例1](1)C(2)B 跟踪训练BC 题型2 [例2]f(x)=-4.x2+4x+7 跟踪训练 x2-4.x+3或2x2-4x十1或4.x2-8.x+3或2x2-4.x十 3.(不唯一) 题型3[例3一1]BD [例3-2](1)[0,2] 4a+5,a>- 2, (2)f(x)m 2-2a,a≤- 1 跟踪训练1.D2.[2,4] §2.6指数与指数函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)x(2)根式(3)aa2.03.a+a”a'b 4.(2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1 增函数减函数 自主诊断查验 1.(1)×(2)/(3)×(4)×2.B3.A4.√2 跃升·关键能力题型1[例1]BD 跟踪训练BC 题型2[例2]AD 跟踪训练ABD 题型3[例3-1]C [例3-2】aB(②)号 [例3-3] (1)g(x)=a-a (2)-1 跟踪训练1.D2.ACD §2.7对数与对数函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.对数N log,M log.N log,M log.N2.(0,+o∞) (1,0)增函数减函数3.y=log.y=x 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/2.B3.44.g(x)=2 跃升·关键能力题型1[例1](1)AC(2)2 跟踪训练AD 题型2[例2](1)ABD e( 跟踪训练D 题型3[例3-1]A[例3-2](2，+∞) [例3-初C[例3-41【-1，号] 跟踪训练1.B2.C §2.8函数的图象 复盘·必备知识必备知识掌握 2.(1)f(x)-k(2)fa.x)afx)(3)-f(x)f-x) -f(-x)log.x(a>0且a≠1)(4)lf(.x)lf(lxl) 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C3.C4.e+ 跃升·关键能力题型1 [例1][解](1)原函数解析式可 化为y=2十 故函数图泉可 1 由函数y= 的图象向右平移1 x 0 123x 个单位长度，再向上平移2个单 位长度得到，如图所示。 2y=(2) -1,共图象可看作由画数y=(合)》 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长 度得到， 275